机械能守恒定律 同步练习
例1：如图1质量为m的小球自由下落到A时速度v1,求到B时小球的速度v2多大？
例2：如图2倾角为θ的光滑斜面固定在地面上，质量为m的木块以速度v1从A处开始向上冲，求到B时木块的速度v2多大？
从动能定理的角度看
重力做的功WG
动能变化量ΔEk
用动能定理列出方程
例1
例2
从机械能的角度看
初状态机械能E1
末状态机械能E2
用动能定理得到
初末状态机械能关系
重力势能
动能
重力势能
动能
例1
例2
例3：如图1质量为m小球从A以速度v1开始向下运动，受到恒定阻力f,求到B时小球的速度v2多大？
例4：如图2倾角为θ的光滑斜面固定在地面上，质量为m木块在拉力F作用下以速度v1从A处开始向上冲，求到B时木块的速度v2多大？
用动能定理列出方程
初末状态机械能关系
例3
例4
比较以上4个例题：
例1
例2
例3
例4
受力情况
做功情况
机械能
守恒情况
总结：从表中可得到机械能守恒的条件是——
练习
1．下列描述中正确的是 （ ）
A．某一物体所受合外力为零，则该物体机械能守恒
??? B．某一物体外力对它的总功为零，则该物体机械能守恒
???C．物体除重力和弹力外，没有其它力做功，该物体的机械能守恒
???D．某一物体做匀速直线运动，该物体机械能守恒
2．如图，两固定的光滑斜面，如果物体分别从两斜面顶端滑到底端的速度大小是vA 和vB，比较它们的大小？
3．如图，从高为h的地方分别以同样大小的初速度向上，倾斜，水平，向下抛出A、B、C、D四个小球，比较落地时它们的速度VA、VB、VC、VD的大小。
4．将一物体以4V0的速度竖直上抛，物体的质量为m，物体能上升的最大高度为________。当物体速度为2V0时，动能为________，势能为_________， 这时物体离地面高度为________。
课后思考
1．什么样的力做功才能改变机械能？
2．质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有 （ ）
A．物体的重力势能增加了mgH B．物体的动能减少了FH
C．物体的机械能增加了FH D．物体重力势能的增加小于动能的减少
3．如图所示，半径为R，光滑的半圆轨道与地面垂直，一小球经过最高点飞出后，落在水平面上的C点，测出AC=2R，求小球自A点进入轨道时的速度大小。
机械能守恒定律 同步练习
1.下列关于机械能守恒的说法中，正确的是（ ）
A.做匀速运动的物体，其机械能一定守恒
B.做匀加速运动的物体，其机械能一定不守恒
C.做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒
D.以上说法都不正确
2．质量为m的物体以速度v离开高为H的平台，当它落到距离地面高为h的A点时速度为vA，在不计空气阻力的情况下，下列说法正确的是（取地面为零势能面）（ ）
A.在物体A点的机械能为补充
B.物体在A点的机械能为补充
C.物体落地时的动能为补充
D.物体落地时的动能为补充
3．一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（ ）
A.重物的重力势能减少
B.重物的重力势能增大
C.重物的机械能不变
D.重物的机械能减少
4．质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下加速运动距离h，则（ ）
A.物体的重力势能减少mgh
B.物体的动能增加2mgh
C.物体的机械能增加mgh
D.物体的机械能保持不变
5．质量相同的两个小球，分别用长l和2L的细绳悬挂在天花板上，分别拉起小球，使细绳伸直呈水平状态后轻轻释放，当小球到最低位置时（ ）
A.它们的线速度相等
B.它们的角速度相等
C.它们的向心加速度相等
D.绳对球的拉力相等
6．质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为0.8g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）]
A.物体的动能增加了0.8mgh
B.物体的机械能减少了0.8mgh
C.物体克服阻力所做的功为0.2mgh
D.物体的重力势能减少了mgh
7．浸没在水中的物体质量为M，拴在细绳上，手提细绳将其向上提高h，设提升过程是缓慢的，则（ ）
A.物体的重力势能增加了Mgh
B.细绳拉力对物体做功Mgh
C.水和物体系统的机械能增加Mgh
D.水的机械能减小，物体机械能增加
8．从离水平地面同样的高度分别竖直上抛质量不同的甲、乙两个小球，甲球的初速度为v1，乙球的初速度为v2，不计空气阻力，当两球落地时，甲的速率为乙速率的两倍，则（ ）
A. v1 >v2
B. v1 =v2
C. v2D.以上三种情况都有可能
9．在一个很长的斜面上某处A，水平抛出一个物体，已知物体抛出时的动能为1.5J，斜面的倾角＝30°.空气阻力不计，求它落到斜面上B点时的动能.
10.一根不可能伸长的轻质细绳，一端固定于O点，另一端拴有一质量为m的小球，可在竖直平面内扰O点摆动，现拉紧细绳使小球位于于O点在统一竖直面的A位置，细线与水平方向呈30°角，从静止释放该小球，当小球运动至悬点正下方C位置时，细绳承受的拉力多大？
答案：
B
ABC
AD
A
CD
ACD
AD
A
3.5J
10、3.5mg
机械能守恒定律 同步练习
1.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
2．一个人站在阳台上，以相同的速率v0分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速度 （ ）
A.上抛球最大
B. 下抛球最大
C. 平抛球最大
D.三球一样大
3．某人将一重物由静止举搞h，并获得速度v，下列说法正确的是（ ）
A.合外力对物体做的功等于物体机械能的增加
B.物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加
C.人对物体做的功等于物体克服重力做的功与物体获得的动能之和
D.人对物体做的功等于物体机械能的增加
4．从同一地点同时抛出几个质量均为m的物体，若它们的初动能相等，初速度不同，下列说法正确的是（不计空气阻力） （ ）
A.到达最高点时势能相等
B.到达最高点时动能相等
C.到达最高点时机械能相等
D.在同一时刻动能一定相等
5．质量为m的小球，在桌面上竖直抛出，桌面离地面高为h，小球能达到的最大高度离地面为H，若以桌面作为重力势能的参考面，不计空际阻力，则小球落地时的机械能为 （ ）
A.mgH
B.mgh
C.mg(H+h)
D.mg（H－h）
6．一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示，在A点，物体开始于弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回，下列说法正确的是（ ）
A.物体从A下降到B的过程中，动能不断变小，重力势能不断增大
B.物体从B上升到A的过程中，动能不断变小，重力势能不断增大
C.物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大，
后减小；从A到B重力势能减小，从B到A重力势能增加
D.物体在B 点时，所受合力最大，弹性势能最大
7．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F木块所受的外力，方向如图所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个所示的过程中机械能守恒的是（ ）
8．如图所示，斜面置于光滑的水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.物体的重力势能减少，动能增大
B.斜面的机械能不变
C.物体的机械能减小
D.物体和斜面组成的系统机械能守恒
9．把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆，如图所示，摆长为l，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？
10．挣竿跳高运动员助跑时，在3s内跑完30m，试估计运动员能跳过的高度大约为多少？
答案：
BD
D
BCD
C
D
CD
C
ACD
10、5m
机械能守恒定律 同步练习
1.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
答案：BD 判断机械能是否守恒，依据是重力以外的力是否做了功，不管物体是做匀速运动还是变速运动，也不管物体是做直线运动还是做曲线运动，只要重力以外的力不做功，机械能就一定守恒.外力做功为零，并不意味着重力以外的力做功为零，所以，机械能不一定守恒，选项B、D正确.
2.绳子拉着物体沿竖直方向减速上升，下面关于物体上升过程中的叙述正确的是（ ）
A.动能减小，重力势能增加
B.机械能不变
C.机械能一定增加
D.机械能一定减小
答案：AC 物体减速上升，则动能减小，重力势能增加.除重力以外，绳子的拉力对绳子做正功，则物体的机械能一定增加，故A、C正确.
3.一个人站在高出地面h处，抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速率为v.不计空气阻力，则人对物体所做的功为（ ）
A.mgh B.mgh/2
C.mv2/2－mgh D.mgh+mv2/2
答案：C 设人对物体所做的功为W，则由抛出前到落地整个过程中由动能定理知W+mgh=mv2解得W=mv2－mgh.
4.一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在A中，A、B是用一根弹性良好的弹簧连在一起，如图4－4－6所示.则在子弹打击木块A并压缩弹簧的整个过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（ ）
A.系统机械能守恒
B.系统机械能不守恒
C.仅对A、B系统，机械能守恒
D.无法判定
图4－4－6 图4－4－7
答案：B 此题分为两个过程，一是子弹射入木块A中，二是弹簧被压缩，这两个过程并非独立，而是同时发生的.
当子弹射入木块A中时，子弹受摩擦力的作用，与木块A发生相对运动，摩擦生热，机械能有损失，转化为内能.
当子弹相对A静止以后，木块A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，内部有动能与弹性势能的转化.
思路导引
←机械能守恒定律条件是看做功的力（重力或弹力），与其他因素无关.
←有拉力做功，机械能不守恒.
←子弹打击木块A的过程有阻力做功，有内能产生.
5.如图4－4－7所示，两个质量相同的物体A和B，在同一高度处，A物体自由落下，B物体沿光滑斜面下滑.则它们到达地面时（空气阻力不计）（ ）
A.速率相同，动能相同
B.B物体的速率大，动能也大
C.A、B两物体在运动过程中机械能都守恒
D.B物体重力所做的功比A物体重力所做的功多
答案：AC A、B下落，都只有重力做功，机械能守恒且重力所做的功相同mgh=mv2，所以v=，速度的大小相等，故A、C正确.
6.如图4－4－8所示，小球自高h处以初速度v0竖直下抛，正好落在弹簧上，把弹簧压缩后又被弹起，弹簧质量不计.空气阻力不计.则（ ）
图4－4－8
A.小球落到弹簧上后立即做减速运动，动能不断减小，但动能与弹性势能总和保持不变
B.在碰到弹簧后的下落过程中，系统的弹性势能与重力势能之和先变小后变大
C.在碰到弹簧后的下落过程中，重力势能与动能之和一直减小
D.小球被弹起后，最高点仍是出发点
答案：BC 由于没有空气阻力等做功，小球、弹簧、地球三者组成的系统机械能守恒，小球运动过程中，动能、重力势能与弹性势能之和保持不变.
小球碰到弹簧后，开始时弹力小于重力，合力方向向下，小球加速向下运动，动能增加，重力势能减少，弹性势能增加，但弹性势能与重力势能之和将随动能的增加而减少，当小球运动到弹力大小与重力相等时，加速度为零，速度达到最大值.再继续向下运动时，弹力大于重力，合力方向向上，小球将做减速运动，动能减少，弹性势能继续增加，重力势能继续减少，但重力势能与弹性势能之和将随动能的减少而增加，当到达最低点时，小球的速度变为零，即此时动能为零，重力势能与弹性势能之和达到最大值.在小球的下落过程中，重力势能与弹性势能之和经历了先变小后变大的过程.
接触弹簧后，因弹簧不断被压缩，弹性势能不断增加，因而重力势能与动能之和一直减少，从最低点反弹后，动能、重力势能、弹性势能经历了相反的变化过程，最后离开弹簧回到出发点时，由机械能守恒知道小球还有方向向上、大小为v0的速度，从而继续上升到最高点.
←A、B两物体都是只有重力做功.
←重力和弹力对物体做功.
7.将物体由地面竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍.则这一位置的高度为________.（取地面为参考面）
答案：2.5 m 设物体上升到高h处时，动能是重力势能的2倍，即mv2=2mgh，由机械能守恒定律得
h== m=2.5 m.
8.球以10 m/s的速度匀速上升，当它上升到离地15 m高时，从气球里掉下一个物体.如果不计空气阻力，则物体落地时的速度为________m/s.
答案：20 物体离开气球后，以10 m/s的初速度做竖直上抛运动，由机械能守恒定律得
mgh+mv02=mvt2
物体落地时的速度为v1=
t= m/s=20 m/s.
9.图4－4－9所示，轻弹簧k一端与墙相连，处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度运动并开始挤压弹簧.求弹簧的最大弹性势能及木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能.
图4－4－9
答案：物体和弹簧构成的系统机械能守恒，当弹簧的弹性势能最大时，物体的动能为零，由机械能守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为
Epm=mv02=×4×52 J=50 J
当物体的速度为v=3 m/s时，弹簧的弹性势能为
Ep，由机械能守恒定律得
Ep+mv2=mv02
Ep=mv02－mv2=50 J－×4×32 J=32 J.
←利用机械能守恒定律：解题时只需注意初、末状态，而不必考虑物体的运动过程.
←掉下的物体做竖直抛运动，只有重力做功.
←只有弹力做功，机械能守恒.
10.如图4－4－10所示，在一个很长的斜面上的某处A，水平抛出一个物体.已知物体抛出时动能为1.5 J，斜面的倾角θ=30°，空气阻力不计，求它落到斜面上B点时的动能.
图4－4－10
答案：设物体的质量为m，初速度为v0，A、B两点的高度差为h，水平距离为s，则h＝stan30°由平抛运动规律可得h=gt2,s=v0t
解得h=
以B点所在平面为参考平面，根据机械能守恒定律得
EkB=mv02+mgh
则EkB=mv02=EkA=×1.5 J=3.5 J.
←由平抛知识，结合机械能守恒知识求解.
机械能守恒定律 同步练习
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.关于功率公式和P=Fv的说法正确的是 （ ）
A.由知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B.由P=Fv只能求某一时刻的瞬时功率
C.从P=Fv知汽车的功率与它的速度成正比
D.从P=Fv知当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
2.下列物体中，机械能守恒的是 （ ）
A.做平抛运动的物体
B.被匀速吊起的集装箱
C.光滑曲面上自由运动的物体
D.以的加速度竖直向上做匀减速运动的物体
3.下列几种情况下力F都对物体做了功
①水平推力F推着质量为m的物体在光滑水平面上前进了s ②水平推力F推着质量为2m的物体在粗糙水平面上前进了s ③沿倾角为θ的光滑斜面的推力F将质量为ｍ的物体向上推了s。下列说法中正确的是（ ）.
A.③做功最多 B.②做功最多 C.做功都相等 D.不能确定
4.两个物体质量比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为（ ）
A.1∶1 B.1∶4 C.4∶1 D.2∶1
5.下列关于运动物体所受合外力做功和动能变化的关系正确的是（ ）
A.如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零
B.如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零
C.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合外力一定为零
6.质量为m的子弹，以水平速度v射入静止在光滑水平面上质量为M的木块，并留在其中，下列说法正确的是（ ）
A.子弹克服阻力做的功与木块获得的动能相等
B.阻力对子弹做的功与子弹动能的减少相等
C.子弹克服阻力做的功与子弹对木块做的功相等
D.子弹克服阻力做的功大于子弹对木块做的功
7.关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
8.物体在地面附近以2 ｍ/s2的加速度沿竖直方向匀减速上升，则在上升过程中，物体的机械能的变化是（ ）
A.不变 B.减少 C.增加 D.无法确定
9.质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是（ ）
A.物体重力势能减少 B.物体的机械能减少
C.物体的动能增加 D.重力做功mgh
10.如图所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是（ ）
A.当车匀速运动时，F和F′所做的总功为零
B.当车加速运动时，F和F′的总功为负功
C.当车加速运动时，F和F′的总功为正功
D.不管车做何种运动，F和F′的总功都为零
二、填空题（每题4分，共20分）
11.如图：用F =40 Ｎ的水平推力推一个质量m＝3.0 kg的木块，使其沿着光滑斜面向上移动2 ｍ，则在这一过程中，F做的功为_____J，重力做的功为_____J.（g＝10ｍ/s2）
12.设飞机飞行时所受的阻力与其速度的平方成正比.如果飞机以速度v匀速飞行时其发动机的功率为P，则飞机以2 v的速度匀速飞行时其发动机的功率为__ ___.
13.从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受到的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，则小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程为
14.一个质量为m的小球拴在绳一端，另一端受大小为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图所示.今将力的大小变为F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R2，则此过程中拉力对小球所做的功为 .
15.用汽车从井下提重物，重物质量为m，定滑轮高H，如图所示.已知汽车由A点静止开始运动至B点时速度为vB，此时细绳与竖直方向夹角为θ，则这一过程中绳的拉力做的功为 .
三、实验题（12分）
16. 在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50Hz。查得当地的重力加速度为g＝9.80m／s2，某同学选择了一条理想的纸带，用刻度尺测量时各计数点对应刻度尺的读数如图所示。图中O点是打点计时器打出的第一个点，A、B、C、D分别是每打两个点取出的计数点，则重物由O点运动到B点时，求；（重物质量为m）
（1）重力势能减小量为多少？（4分）
（2）动能的增加量是什么？ （4分）
（3）根据计算的数据可得出什么结论？产生误差的主要原因是什么？（4分）
四、计算题（共28分）
17.（8分）某人利用如图所示的装置，用100N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点.已知α1=30°，α2＝37°，h=1.5m.不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦.求绳的拉力对物体所做的功.
18. （8分）人的心脏每跳一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1.5×104Pa，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率.
19.（12分）人从一定的高度落地容易造成骨折。一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5×108N/m2，胫骨最小横截面积大多为3.2cm2。假若一质量为50kg的人从某一高度直膝双足落地，落地时其重心又下降约1cm。试计算一下这个高度超过多少时，就会导致胫骨骨折。（g取10m/s2）
参考答案
1.D 2.AC 3.C
4.C 由动能定义：Ek1∶Ek2＝m1v12∶m2v22＝4∶1.
5.A 如果合外力做的功为零，但合外力不一定为零.可能物体的合外力和运动方向垂直而不做功，B选项错.物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不变.所以，做变速运动的物体，动能可能不变，C选项错.物体动能不变，只能说合外力不做功，但合外力不一定为零，D选项错.
6.BD 子弹击中木块打入一定的深度并留在其中.子弹和木块所受水平作用力（相互摩擦力）大小相等，可认为是恒力.但二者的位移大小不同，做功不同，故二者的动能变化并不相等.
7.BD 判断机械能是否守恒，依据是重力以外的力是否做了功，不管物体是做匀速运动还是变速运动，也不管物体是做直线运动还是做曲线运动，只要重力以外的力不做功，机械能就一定守恒.外力做功为零，并不意味着重力以外的力做功为零，所以，机械能不一定守恒.选项B、D正确.
8.C 物体加速度2m/s2，方向向下，除重力外，必定受到向上的作用力，物体上升过程中除重力外其它力对物体作正功，其机械能一定增加。
9.B D
10.A B
11. 69.3 J；－30 J
12.8P
13.H/k
14.（F2R2-F1R1）
15.WT = mgH（）+mvB2sin2θ
16. 解： （1）重力势能的减小量为：（J）
（2）重锤下落到B点时的速度为（m/s）
重锤下落到B点时增加的动能为（J）
（3）在实验误差允许的范围内，重锤减小的重力势能等于其动能的增加，验证了机械能守恒定律。
重锤减小的重力势能略大于其增加的动能，其原因是重锤在下落时要受到阻力作用（对纸带的摩擦力、空气阻力），必须克服阻力做功，减小的重力势能等于增加的动能加上克服阻力所做的功。
点拨：本题是一个非常典型的验证机械能守恒定律的题目。它涉及到了验证机械能守恒定律的基本原理和误差来源的分析。要验证机械能守恒定律必须利用力学知识及动能、势能知识来解决。
17. 解析：绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以，不能直接根据W=Fscosα求绳的拉力对物体做的功.由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F做的功和绳的拉力对物体做的功相等.本题可以通过求恒力F所做的功求出绳的拉力对物体所做的功.由于恒力F作用在绳的端点，需先求出绳的端点的位移s，再求恒力F的功.由几何关系知，绳的端点的位移为
=0.5m.
在物体从A移到B的过程中，恒力F做的功为
W=Fs=100×0.5J=50J
所以，绳的拉力对物体做的功为50J.
18. 解析：人的心脏每跳一次输送的血液看作长为L，截面积为S的液柱，心脏每跳一次需做的功为Ｗ＝FL＝pSL=pΔV
心跳每分钟70次，则心脏工作的平均功率为
W=1.4W
说明：这类题目的研究对象不是太明确.解题时首先要明确心脏对血液做功，其次，要建立研究对象的模型（如本题中的圆柱体模型），从而推出功和功率的表达式.
19解析：由题意知，胫骨最小处所受冲击力超过
F=时会造成骨折。
设下落的安全高度为h1，触地时重心又下降高度为h2，落地者质量为m，落地速度为v，与地碰撞时间为
由动能定理mg（h1+h2）-Fh2=0
所以h1=
代入数据得h1=
机械能守恒定律 同步测试题
一、选择题
1、下列说法正确的是：（ ）
A、物体机械能守恒时，一定只受重力和弹力的作用。
B、物体处于平衡状态时机械能一定守恒。
C、在重力势能和动能的相互转化过程中，若物体除受重力外，还受到其他力作用时，物体的机械能也可能守恒。
D、物体的动能和重力势能之和增大，必定有重力以外的其他力对物体做功。
2、从地面竖直上抛两个质量不同而动能相同的物体(不计空气阻力)，当上升到同一高度时，它们( )
A.所具有的重力势能相等 B.所具有的动能相等
C.所具有的机械能相等 D.所具有的机械能不等
3、一个原长为L的轻质弹簧竖直悬挂着。今将一质量为m的物体挂在弹簧的下端，用手托住物体将它缓慢放下，并使物体最终静止在平衡位置。在此过程中，系统的重力势能减少，而弹性势能增加，以下说法正确的是（ ）
A、减少的重力势能大于增加的弹性势能
B、减少的重力势能等于增加的弹性势能
C、减少的重力势能小于增加的弹性势能
D、系统的机械能增加
4、如图所示，桌面高度为h，质量为m的小球，从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为（ ）
A、mgh B、mgH C、mg（H+h） D、mg（H-h）
5、某人用手将1kg物体由静止向上提起1m, 这时物体的速度为2m/s, 则下列说法正确的是（ ）
A.手对物体做功12J B.合外力做功2J
C.合外力做功12J D.物体克服重力做功10J
6、质量为m的子弹，以水平速度v射入静止在光滑水平面上质量为M的木块，并留在其中，下列说法正确的是（ ）
A.子弹克服阻力做的功与木块获得的动能相等
B.阻力对子弹做的功与子弹动能的减少相等
C.子弹克服阻力做的功与子弹对木块做的功相等
D.子弹克服阻力做的功大于子弹对木块做的功
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题
7、从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受到的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，则小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程为____________。
8、如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砖码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为______在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为________。
9、物体以J的初动能从斜面底端沿斜面向上运动，当该物体经过斜面上某一点时，动能减少了80J，机械能减少了32J，则物体滑到斜面顶端时的机械能为_______。（取斜面底端为零势面）
三、计算题
10、以10m/s的初速度从10m高的塔上水平抛出一颗石子，不计空气阻力,求石子落地时速度的大小．
11、如图所示，一根长为，可绕轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆，已知，质量相等的两个球分别固定在杆的端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？
12、如图所示，AB为一长为L的光滑水平轨道，小球从A点开始做匀速直线运动，然后冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在A点运动的速度为多大？
13、如图6所示，桌面距地面0.8m，一物体质量为2kg，放在距桌面0.4m的支架上．
（1）以地面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中，势能减少多少？
（2）以桌面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计
算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少？
14．如图7所示，重物A质量为m，置于水平地面上，其上表面竖直固定着一根轻弹簧，弹簧长为L0劲度系数为k，下端与物体相连结，现将上端P缓缓地竖直提起一段距离L，使重物离开地面，这时重物具有的重力势能为多少？（以地面为零势面）．
参考答案
1—6、 CD C A B ABD BD
7、H/K
8、
9、60J
10、m/s
11、
12、
13、7.84J 7.84J
14、mg(L-mg/k)
机械能守恒定律 学案
【学习目标】
⒈正确理解机械能及机械能守恒定律的内容。
⒉能判断物体的机械能是否守恒。
⒊掌握利用机械能守恒定律解题的基本方法。
【自主学习】
⒈ 机械能包括 能和 能，重力做功 能和 能可以转化，弹力做功 能和 能可以转化。
⒉ 机械能守恒定律：在 做功的物体系统内， 与 可以
而总的 保持不变。
⒊一个小球在真空中自由下落，另一个质量相同的小球在粘滞性较大的液体中匀速下落，它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。在这两种情况下，重力所做的功相等吗？重力势能各转化成什么形式的能量？
⒋只有重力做功和只受重力是一回事吗？
⒌怎样判断物体的机械能是否守恒？
⒍利用机械能守恒定律解题的基本步骤是什么？
【典型例题】
例题 ⒈关于机械能守恒的叙述，下列说法中正确的
A 做匀速直线运动的物体机械能一定守恒。
B 做变速运动的物体机械能可能守恒。
C 外力对物体做功为零，则物体的机械能守恒。
D 若只有重力对物体做功，则物体的机械能守恒。
例题 ⒉ 以10m/S的速度将质量为M的物体从地面竖直上抛，若忽略空气阻力，求
⑴ 物体上升的最大高度？ ⑵上升过程中何处重力势能和动能相等？
例题 ⒊ 某人在距离地面⒉6m的高处，将质量为0.2㎏的小球以V0=12m/S的速度斜向上抛出，小球的初速度的方向与水平方向之间的夹角300，，g=1Om/S2，求：
⑴ 人抛球时对小球做的功？ ⑵若不计空气阻力，小球落地时的速度大小？
⑶若小球落地时的速度大小为V1=13m/S，小球在空气中运动的过程中克服阻力做了
多少功？
例题 ⒋小钢球质量为M，沿光滑的轨道
由静止滑下，如图所示，圆形轨道
的半径为R，要使小球沿光滑圆轨道
恰好能通过最高点，物体应从离轨道
最底点多高的地方开始滑下？
【针对训练】
⒈在下列实例中运动的物体，不计空气阻力，机械能不守恒的是： A、起重机吊起物体匀速上升； B、物体做平抛运动； C、圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动； D、一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物在竖直方向上做上下振动（以物体和弹簧为研究对象）。 ⒉从离地高为Hm的阳台上以速度v竖直向上抛出质量为M的物体，它上升 hm后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是（不计空气阻力，以地面为参考面） A、物体在最高点时机械能为Mg(H+h); B、物体落地时的机械能为Mg(H+h)+1/2Mv2; C、物体落地时的机械能为MgH+1/2Mv2; D、物体在落回过程中，过阳台时的机械能为MgH+1/2MV2
⒊如图所示，桌面高度为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为：
A、mgh；
B、mgH；
C、mg(H+h)；
D、mg(H-h)。
⒋一个人站在阳台上，以相同的速度V0分别把三个小球竖直上抛，竖直下抛，水平抛出，不计空气阻力，关于三球落地的速率下列说法中正确的是
A 上抛球最大 B下抛球最大
C 平抛球最大 D 三个球一样大
【能力训练】
1.从高处自由下落的物体，它的重力势能Ep和机械能E随高度h的变化图线如图所示，正确的是
⒉如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的应是
A.重力势能和动能之和总保持不变。
B.重力势能和弹性势能之和总保持不变。
C.动能和弹性势能之和保持不变。
D.重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变。
⒊一个质量为m的物体以a=2g的加速度竖直向上运动，则在此物体上升h的过程中，物体的
A重力势能增加了2mgh B 动能增加了2mgh
C机械能保持不变 D机械能增加了mgh
⒋当物体克服重力做功时，物体的
A重力势能一定减少，机械能可能不变。
B重力势能一定增大，机械能一定增大。
C重力势能一定减少，动能可能减小。
D重力势能一定增大，动能可能不变。
⒌某同学身高⒈8m,在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了⒈8m高的横杆，据此可估算出他起跳高时竖直向上的速度大约为
A 2m/S B 4m/S C 6m/S D 8m/S
⒍质量为1㎏的物体在地面上高20m的地方在一拉力的作用下以7m/㎡的加速度竖直下落5m的过程中，物体的机械能改变量是
A 5J B 10J C 15J D 20J
⒎ 如图所示，轻质弹簧一端与墙相连，质量为4㎏的木块沿光滑的水平面以V0=5m/S
的速度运动并压缩弹簧K，求弹簧在被压缩的过程中的最
大弹性能以及木块的速度V1=3m/S时的弹簧的弹性势能？
⒏ 气球以10m/S的速度匀速上升，当它上升到离地15m的
高空时，从气球上掉下一个物体，若不计空气阻力，求
物体落地的速度是多少？
⒐ 质量为50㎏的跳水运动员，从1m的跳板上向上跳
起，最后以⒐8m/S的速度入水，不计空气阻力，取g
=9.8m/S2，求 ⑴ 跳板对运动员做的功是多少？
⑵ 运动员在空中的最大高度离跳板多高？
⒑一根长细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的物体,且M>m，开始时用手握住M，使系统处于如图所示的状态，如果M下降h刚好触地，那么m能上升的高度是多少？
【学后反思】_________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
参考答案
典型例题
⒈ BD ⒉ 5m 2.5m ⒊ 14.4J 13m/S 0J ⒋ 2.5R
针对训练
⒈ A ⒉ ACD ⒊ B ⒋ D
能力训练
⒈ AC ⒉ D ⒊ B ⒋ D ⒌ B ⒍ C ⒎ 50J 32J
⒏ 20m/S ⒐ 1911J 3.9m ⒑ 2Mh/(M+m)
机械能守恒定律 拓展练习
1.图4－20表示了撑杆跳运动的几个阶段：助跑、撑杆起跳、越横杆，试定性说明撑杆跳运动员在这几个阶段中能量的转化情况.
图4－20
答案：略
2.在下面各个实例中，除A外都不计空气阻力，判断哪些机械能是守恒的，并说明理由.
A.伞兵带着张开的降落伞在空气中匀速下落
B.抛出的手榴弹做抛物线运动
C.物体沿着光滑的曲面滑下(如图4－21所示)
D.拉着物体沿着光滑的斜面匀速上升(如图4－22所示)
E.在光滑水平面上运动的小球，碰到弹簧上，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来
图4－21 图4－22
答案：略
3.一个人站在阳台上，以相同的速率v0分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三个球落地时的速率
A.上抛球最大 B.下抛球最大
C.平抛球最大 D.三个球一样大
答案：D
4.质量为m的小球，从桌面上竖直抛出，桌面离地高为h，小球能到达的离地高度为H，若以桌面为重力势能的参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为
A.mgH B.mgh
C.mg(H+h) D.mg(H－h)
答案：D
5.在地面上将质量为m的小球以初速度v0斜上抛出.当它上升到离地面某一高度时，它的势能恰好等于当时的动能.则这个高度是(以地面为零势能面)
A. B.
C. D.
答案：B
6.质量为m的物体，从静止开始以a=g/2的加速度竖直向下运动h m，下列说法中正确的是
Ａ．物体的动能增加了mgh/2
Ｂ．物体的机械能减少了mgh/2
Ｃ．物体的势能减少了mgh/2
Ｄ．物体的势能减少了mgh
答案：ABD
7.如图4－23所示，小球m分别从A点和B点无初速地释放，求经过最低点C时，轻质细绳的张力之比TA∶TB(阻力不计).
图4－23
答案：3∶2
8.一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的方形物块，且M>m,开始时用手握住M，使系统处于如图4－24所示状态.求:
图4－24
(1)当M由静止释放下落h高时的速度(h远小于一半绳长，绳与滑轮的质量不计).
(2)如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？
答案：(1)v=h
9.如图4－25所示，竖直轻质橡皮筋上端固定于O，下端A与放在水平面上的质量为m=0.4 kg的小物块P相连，P对水平地面的压力恰为小物块P的重力的3/4.紧靠OA右侧有一光滑的钉子B，B到O点的距离恰为橡皮筋的原长.对P施加一恒定拉力F=20 N，使P从静止开始向右滑行s=0.40 m后，到达C点时的速度为v=4 m/s.已知P与水平地面间的动摩擦因数为μ=0.2，橡皮筋的形变始终在弹性限度内，且形变过程中劲度系数k保持不变，橡皮筋的弹力T和伸长量Δx成正比：T=kΔx,g=10 m/s2，求小物块P从A到C的过程中橡皮筋增加的弹性势能.
图4－25
答案：4.2 J
第四节 机械能守恒定律
教学目标
知识技能：
1、掌握机械能守恒定律的含义，知道机械能守恒的条件，会合理选择零势面；
2、掌握应用机械能守恒定律分析、解决力学问题的基本方法；
3、掌握应用机械能守恒定律的解题步骤，知道机械能守恒定律处理问题的优点，提高运用所学知识综合分析、解决问题的能力。
过程与方法：
1、通过讨论与交流，使学生知道物体的动能和势能之间是如何转化的；
2、通过理论推导，掌握机械能守恒定律的推导过程；
3、通过讨论与交流，对机械能守恒定律的条件加以推广；
4、通过例题的讲解，掌握应用机械能守恒定律解题的一般步骤，知道利用机械能守恒定律解题的优点，
情感态度与价值观：
1、通过讨论与交流，培养学生勤于思考的习惯、积极合作的态度、敢于提出问题的胆识、准确的表达能力；
2、通过理论推导机械能守恒定律，培养学生灵活应用所学知识的能力，提高学生的推理能力
教学重点：
1、机械能守恒定律
2、机械能守恒成立的条件
教学难点
1、机械能守恒定律的应用
课时计划：1课时
教学过程
复习提问：动能定理的内容。
一、动能和势能之间可以相互转化
例子：蹦床运动——重力势能、弹性势能、动能之间的相互转化
瀑布————重力势能转化为动能
撑杆跳高——重力势能、弹性势能、动能之间的相互转化
结论：不同形式的能量之间是可以相互转化的，动能和势能亦如此。
过渡：动能和势能可以相互转化，转化是通过什么途径完成的呢？在转化的过程中有哪些规律可以遵循呢？
二、机械能守恒定律
1、推导过程：以做自由落体运动的物体的运动过程为例进行分析
分析：小球运动过程中只受到重力的作用，所以依据动能定理
可得： ①
另外，由重力做功和重力势能变化之间的关系可得：
②
由①②可得
所以
或
结论：机械能守恒定律
2、机械能守恒定律
在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而总的机械能保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律。
过渡：由学生分析机械能守恒定律成立的条件，并逐渐展开。
3、机械能守恒定律成立的条件
只有重力做功
（1）只受重力作用；
（2）物体受几个力的作用，但只有重力做功；
（3）其它的力也做功，但其它力的总功为零；
（4）没有任何力做功，物体的能量不会发生变化。
跟踪练习：课本P78/2
过渡：在前面分析过的例子中，不仅有动能和重力势能相互转化的情况，也有动能和弹性势能相互转化的情况，后者转化的过程中，机械能是否也是守恒的呢？
4、机械能守恒定律的推广
若物体运动过程中，不只是只有重力做功，还有弹力做功，或只有弹力做功时，物体的动能和弹性势能相互转化，机械能的总量也是保持不变的。
三、机械能守恒定律的应用
1、验证性练习：课本练习 P78/1
2、应用性练习：课本练习 P78/5
四、本课小结
这节课我们主要以自由落体运动为例，讨论了势能和动能相互转化的情况，并总结出了在只有重力或弹力做功的情况下。物体的机械能是守恒的结论，同学们课下要认真体会守恒定律的意义，并能够判断定律成立的条件并应用定律求解相关的问题。
机械能守恒定律-例题解析
应用机械能守恒定律时需要注意下面的步骤：
(1)明确研究对象及要研究的物理过程，分析其受力和做功情况，判定机械能是否守恒.
(2)根据物体的位置及速度，明确初、末状态的动能和势能.
(3)利用机械能守恒定律列出方程并求解、讨论等.
(4)机械能守恒定律只涉及初、末两状态的机械能，而不涉及中间运动细节.不管是直线运动还是曲线运动，是加速运动还是减速运动，都可用机械能守恒定律解决.
有了机械能守恒定律,我们就可以解决动力学中许多用牛顿运动定律难以求解的复杂问题了.
当满足守恒条件，要把守恒定律变成具体的数学方程时，可用两种方法：
方法一：按初状态的机械能等于末状态的机械能列方程;
方法二：按减少的能量与增加的能量相等列方程.
方法一必须规定零势能面，方法二则不需要规定零势能面.
无论哪条思路都要注意，机械能包含了重力势能、弹性势能、动能三种能量.
【例1】 在距离地面20 m高处以15 m/s的初速度水平抛出一小球，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求小球落地速度的大小.
思路:(1)小球下落过程中，只有重力对小球做功，满足机械能守恒条件，可以用机械能守恒定律求解；
(2)应用机械能守恒定律时，应明确所选取的运动过程，明确初、末状态小球所具有的机械能.
解析:方法一：取地面为参考平面，抛出时小球具有的重力势能Ep1＝mgh，动能为Ek1=mv02.落地时,小球的重力势能Ep2=0,动能为Ek2=mv2.
根据机械能守恒定律,有E1=E2,即
mgh+mv02=mv2
落地时小球的速度大小为
v== m/s=25 m/s.
方法二：本题也可以这样理解：小球下落过程中减少的重力势能等于小球动能的增加，即mgh=mv2－mv02
同样可求出落地速度v的值，而且，这种方法不需要规定零势能面.
请比较：本题如果用运动的合成与分解知识求解，是简单还是复杂？
【例2】 已知山谷间有一轨道ACB，AC高度为h1，BC高度为h2.若有一小车要从A滑到B，则在A处小车的速度至少为多大(图4－15)？
图4－15
思路:小车从A到B，如果不考虑轨道上的阻力，机械能是守恒的.很明显，小车在A处的速度越大，它的机械能就越大.小车只要能滑到B处，在B处速度可以是零.
解析:设车在A处时，其重力势能为零，则
EA=mvA2,EB=mg(h2－h1)
EA=EB,即mvA2=mg(h2－h1)
所以在A处小车的速度至少是
vA=.
【例3】 图4－16所示是游乐园里的滑车，滑车至少要从多高处冲下才能使它从圆环内顶端滑过？
图4－16
思路:游乐园中的滑车从倾斜轨道高处下滑时，速度越来越大，到了圆环底端速度达到最大，接着就沿圆环冲上去，速度逐渐变小.为了滑车能安全地从圆环顶端通过，滑车在顶端必须要有一定的速度，滑车做圆周运动，因此，本题要考虑用圆周运动规律和能量规律求解.
解析:在圆环顶点，滑车受到重力、弹力的作用，这两个力的合力为N＋mg，此合力提供滑车所需的向心力
图4－17
N+mg=
为使vC最小，让N=0，则vC=
滑车在运动过程中，只受重力和轨道对它的弹力作用，摩擦力很小可以忽略不计.弹力方向处处与滑车运动方向垂直，因此弹力做功为零，这样小球在运动过程中机械能是守恒的，即EA=EC，则
mgH=mvC2+mg·2R
将vC=代入上式，得H=R.
【例4】 一根长为L的均匀绳索，一部分放在光滑水平桌面上，长为L1的另一部分自然垂在桌面下，如图4－18所示，开始时绳索静止，释放后绳索将沿桌面滑下.求绳索刚滑离桌面时的速度大小．
图4－18
思路:绳索下滑过程中，只有重力做功，整根绳索的机械能守恒．
解析:设整根绳索的质量为m，把绳索分为两部分：下垂部分的质量为m1=L1m/L，在桌面上部分质量为m2=m(L－L1)/L.选取桌面为零势能参考面．
释放时绳索的机械能E1=－m1gL1/2=－mgL12－2L
刚离开桌面时绳索的机械能
E2=mv2/mgL
由机械能守恒定律得
解得v=.
点评:(1)对绳索、链条之类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的．能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键.一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能．至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末重力势能便于表示为宜．
(2)此题也可运用等效法求解：绳索要脱离桌面时重力势能的减少，等效于将图中在桌面部分移至下垂部分下端时重力势能的减少,然后由ΔEp=ΔEk列方程求解．
【例5】 如图4－19所示，一根轻质弹簧和一根细绳共同拉住一个重2 N的小球，平衡时细绳恰好水平，若此时烧断细绳，并且测出小球运动到悬点正下方时弹簧的长度正好等于未烧断细绳时弹簧的长度.试求：小球运动到悬点正下方时向心力的大小.
图4－19
解析:由于已知量太少，需引入一些分析问题需要的辅助参数.设弹簧原长为L0，初始状态平衡时弹簧长为L，令此时弹簧与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，开始为平衡态，有k(L－L0)cosθ=mg=2 N ①
设小球运动到最低点时速度为v，由向心力公式有
m=k(L－L0)－mg ②
未烧断线时的位置和最低点位置弹簧的长度相同，所以初、末位置的弹性势能相同，设为Ep(从初位置到末位置的整个过程中，弹性势能变不变？)
从初位置到末位置的整个过程用机械能守恒定律有：
Ep+mgL(1－cosθ)=mv2+Ep
所以2mg(1－cosθ)=m ③
①②代入③得
2(1－cosθ)=－1
所以θ=60°
所以k(L－L0)= =2mg
所以向心力为：F向=k(L－L0)－mg=mg=2 N.
点评:本题是一道综合题，虽然已知数据只有一个，但是由于条件恰到好处，使得问题巧妙地解决了.
该题表面上涉及弹性势能的计算，实际上计算时并不需要.
机械能守恒定律-备课资料
学习导航
1.通过实验演示，了解动能与重力势能之间的相互转化，初步领会机械能守恒定律的内容.
2.会正确推导自由落体运动、竖直上抛运动的上升过程中的机械能守恒定律.
3.正确理解机械能守恒定律的含义及适用条件.
4.分析实际生活中的事例，进一步理解机械能守恒定律的含义及适用条件.
学习提示
机械能守恒定律的内容是本节学习的重点，定律的适用条件是重点，更是难点.通过本节学习要学会以能量守恒的观点来处理、分析力学问题.
教材习题探讨
1.
下降距离/m
v/m/s
重力势能EP/J
动能EK/J
（EP＋EK）/J
5
10
150
50
200
10
14.14
100
100
200
15
17.32
50
150
200
20
20
0
200
200
方法点拨
找好参考面,选好初末状态.
2.BCF
3.卫星从近地点向远地点运动时，引力对卫星做负功，使卫星的动能减小，速度减小.
卫星从远地点向近地点运动时，引力对卫星做正功，使卫星的动能增大，速度增大.
4.（1）上升过程机械能守恒，选地面为参考面，则
mv02=mgh
h== m=5 m.
（2）设距地面h′处动能与重力势能相等，由机械能守恒定律得
mv02=2·mgh′
h′== m=2.5 m.
（5）小球抛出后只有重力做功，选地面为参考面，由机械能守恒定律得
mgh+m=mv2
v== m/s=20 m/s
（2）重力势能减小量ΔEp=mgh=2.0×10×15 J=300 J.
人造卫星绕地球匀速圆周运动时机械能保持不变.是守恒.
从动能和势能转化的角度分析.用机械能守恒定律解决.
选准参考平面，找出初末状态，利用机械能守恒定律求解.
互动学习
1.物体由于运动而具有的能被称为________，物体由于被举高而具有的能称为________.
答案：动能 重力势能
2.重力功和重力势能的变化量有何区别？
答案：重力功与重力势能尽管都用mgh表示，尽管重力功等于重力势能增量的负值，数值相等，但它们的物理意义是不同的.功是过程量，而重力势能是状态量，物体位置状态与mgh相对应，Ep=mgh，是势能的定义式，它的这一状态说明它具有做mgh功的能力，而不一定有做功过程，重力势能可以转化为动能、内能、电能等，它的转化是通过做功而实现，但不是重力功转化为其他形式的能，这是应该搞清楚的.
3.试分析自由落体和竖直上抛过程中，动能与势能的转化.
答案：自由下落的物体，由于重力做功，所以其势能减少，动能增加，势能转化为动能.竖直上抛的物体，由于要克服重力做功，所以其动能减小，势能增加，动能转化为势能.
知识链接
在初中我们已学过，重力势能和动能之间可以发生相互转化，如物体自由下落或竖直向上抛出时，前者下落过程中高度不断减小，重力势能减小，速度增加，动能增大，是一个重力势能向动能转化的过程；后者在上升过程中高度不断增大，重力势能增加，速度减小，动能减小，是一个动能向重力势能转化的过程.重力势能和动能之间可以相互转化，“转化”过程中的动能和重力势能之和（即机械能）不变.
知识总结
机械能守恒可以细分为三种情况：
1.只有重力做功时，只有动能和重力势能相互转化，其中一方的增加量和另一方的减少量相等，其他形式的能量不参与变化.例如，自由落体运动、竖直上抛运动等.
2.只有弹力做功时，只有动能和弹性势能相互转化，其中一方的增加量和另一方的减少量相等，其他形式的能量不参与变化.
3.只有重力和弹力做功时，动能、重力势能、弹性势能相互转化，其中增加的能量和减少的能量相等，机械能总量不变.ΔEk+ΔEG+ΔEN=0.
重力、弹力以外的力做正功，机械能增加；重力、弹力以外的力做负功，机械能减少.
通常在不涉及时间和加速度的情况下，应用机械能守恒定律解题较为简便.
最后要特别注意：机械能守恒定律是针对系统而言的，即便我们平时说某个物体具有重力势能，实际上是指由该物体和地球组成的系统所具有的重力势能.
机械能守恒定律-知识探讨
合作与讨论
通过本节的学习，你能不能准确理解“守恒”的含义？如图4－14所示，物体由斜面上滑下，运动到水平面上，如果测得物体在A、D两点的速度大小都相同，能否说物体在AD间的运动机械能守恒？
“机械能守恒”是一种有限条件的“守恒”，你能准确地表述机械能守恒的条件吗？(我们即将要学习的普遍意义上的“能量守恒定律”是无条件的“守恒”)
图4－14
我的思路:“守恒”和“初、末状态相等”是不同的，前者是“恒定不变”，后者只是处在两个状态时相等.显然,在CD段,重力势能不变、动能越来越小,机械能是在减少的.
典型例题
【例1】下列物体中，机械能守恒的是（ ）
A.做平抛运动的物体
B.被匀速吊起的集装箱
C.光滑曲面上自由运动的物体
D.物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动
解析:物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦阻力，在曲面上弹力不做功，都只有重力做功，机械能守恒，所以AC项正确.匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒.物体以g的速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律F－mg=m（－g），有F=mg,则物体受到竖直向上的大小为mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒.
答案:AC
【例2】 如图4－4－4所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下.不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（ ）
图4－4－4
A.重物的重力势能减少
B.重物的重力势能增大
C.重物的机械能不变
D.重物的机械能减少
解析：物体从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，物体的重力势能逐渐减小，动能逐渐增加，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大，所以，物体减小的重力势能一部分转化为物体的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能.对物体和弹簧构成的系统，机械能守恒，但对物体来说，其机械能减小，选项A、D正确.
答案：AD
规律发现
物体的运动形式可能有多种，判断机械能是否守恒，关键看是否只有重力做功.机械能守恒常见的情况有（1）物体只受重力作用；（2）物体虽然受到重力以外的其他力作用，但它们在物体运动过程中始终不做功.
应用机械能守恒定律解题时，要注意对哪一系统机械能是守恒的，对哪一系统机械能是不守恒的，要分析清楚.
【例3】 如图4－4－5所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它达B点时速度的大小.
图4－4－5
解析：物体抛出后运动过程中只受重力作用，机械能守恒. 选地面为参考面，则
mgH+mv02=mg（H－h）+mvB2
解得vB=
若选桌面为参考面，则
mv02=－mgh+mvB2
解得vB=.
答案：vB=
利用机械能守恒定律解题的一般步骤：（1）明确研究对象；（2）对物体进行受力分析，研究运动中各力是否做功，判断物体的机械能是否守恒；（3）选取参考平面，确定物体在初、末状态的机械能；（4）根据机械能守恒定律列方程求解（选取不同的参考平面，方程式不同，但不影响解题结果，故参考平面的选取应以解题方便为原则）
第四节 机械能定恒定律
要点精讲
一、机械能
1、机械能的的概念：动能、重力势能和弹性势能统称为机械能.即E=EK+EP.
2、机械能是标量，且具有相对性。由于重力势能具有相对性，所以要取参考平面，动能具有相对性，所以要取参考系，通常取地面为参考平面和参考系。
3、动能、重力势能和弹性势能间可以相互转化。
二、机械能守恒定律
1、机械能守恒定律的内容：在只有重力(或弹簧弹力)做功的情形下,物体只发生动能和重力势能(或弹性势能)间的相互转化,机械能的总量保持不变,这就是机械能守恒定律.即EK1+EP1=EK2+EP2.
2、机械能守恒定律成立的条件：只有重力或弹簧的弹力做功，其它外力做功的代数和为零。
3、机械能守恒定律的三种主要表示方式：
（1）.系统初态的总机械机械能守恒定律
能E1等于末态的总机械能E2,即E1=E2.
（2）.系统减小的总重力势能△EP等于系统增加的总动能△EK,即△EP=△EK.
（3）若系统只有A、B两物体,则物体A减少的机械能等于B物体增加的机械能,即△EA减=△EB增
4、应用机械能守恒定律解题的一般步骤：
（1）.选取研究对象,确定物理过程.
（2）.判定研究对象在物理过程中是否满足机械能守恒的条件,如不满足可考虑用动能定理等来处理.
（3）.规定零势能的参考平面.
（4）.根据机械能守恒定律列等式,统一单位,代入数据从而解出结果.
典型题解析
例1：如图所示桌面离地高为h,质量为m的小球从离桌面高H处自由下落,不计空气阻力,假设桌面为零势能的参考平面,则小球落地前瞬间的机械能为( )
A.mgh
B.mgH
C.mg(H+h)
D.mg(H-h)
分析：以桌面为参考平面,小球开始时的机械能为mhH,而小球下落过程中,只有重力做功,机械能守恒,小球在着地前任一时刻的机械能都是mgH.
答案：B
例2：在下列的物理过程中,机械能守恒的有( )
A.把一个物体竖直向上匀速提升的过程
B.人造卫星沿椭圆轨道绕地球运行的过程
C.汽车关闭油门后沿水平公路向前滑行的过程
D.从高处竖直下落的物体落在竖立的弹簧上,压缩弹簧的过程,对弹簧、物体和地球这一系统
分析：向上匀速提升物体的过程,除重力作功外,还有向上的拉力对物体做正功,物体的机械能增加;卫星绕地球沿椭圆轨道运动时,只有重力做功,机械能守恒;汽车关闭油门后滑行,要克服阻力做功,机械能减小;物体压缩弹簧的过程只有重力,弹簧的弹力做功,所以对物体、弹簧和地球组成的系统,总机械能守恒(仅对于物体或弹簧机械能不守恒)
答案：BD
例3：如图所示,在光滑的水平桌面上放一条长为L的均匀铁链,铁链沿桌边下垂的长度为L/3,现将铁链由静止释放,求铁链刚好全部滑出桌面时的速度多大?
分析：铁链在滑动的过程中只有重力做功,所以铁链和地球组成的系统机械能守恒,可用机械能守恒定律列式求解.
设桌面为零势能参考面,铁链的总质量为m ,则初态的机械能为
E1=-mg×L=-mgL
末态的机械能为
E2=-mg×L+mv2
由 E1= E2得
-mgL=-mg×L+mv2
求此式即可得
v=
答案：v=
例4：质量为m的小球,沿光滑的弯曲轨道滑下,轨道的形状如图所示,与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R,要使小球沿光滑圆轨道恰能通过最高点,则小球应从离轨道最低处多高的地方由静止开始滑下?
分析：小球在运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒.设小球从高h处由静止滑下,过轨道最高点时的速度为v,则
以开始下滑时为初状态,小球的机械能为E1=mgh
以小球过最高点时为末状态,小球的机械能为E2=mg×2R+mv2
据机械能守恒定律又得mgh=mg×2R+mv2
要使小球刚好沿轨道通过最高点应有mg=m
联解得h=2.5R
答案：2.5R
基础演练与综合应用
1、关于机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A、做匀速直线运动的物体机械能守恒
B、做匀变速直线运动的物体的机械能守恒
C、外力对物体做功为零时，物体的机械能守恒
D、只有重力对物体做功，物体的机械能守恒
2、有关机械能，下列说法中正确的是（ ）
A、机械能守恒时，物体一定不受摩擦力和介质阻力的作用
B、物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C、物体机械能的变化等于合外力对它做的功
D、物体所受合外力不为零时，其机械能可以守恒
3、物体在地面附近以2m/s2的加速度匀减速上升，则在上升过程中，物体的机械能（ ）
A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定
4、如图所示，DO是水平面，初速v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零）
A.大于v0 B.等于v0
C.小于v0 D.取决于斜面的倾角
5、在高为H的平台上,将一个质量为m 的物体以速率v0水平抛出,不计空气阻力,当它运动到平台下方h处时具有的动能是( )
A.mv02+mg(H-h) B.mv02+mgh
C.mv02+mgH D.mv02-mgh
6、一质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固
定在天花板上，如图所示。今在最低点C施加一竖直
向下的力，将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置将（ ）
A.逐渐升高 B.逐渐降低
C.先降低后升高 D.始终不变
7、将物体从A点以60J的初动能竖直上抛,当物体上升过程中到达B点时,其动能损失50J,而机械能损失10J,设物体在运动过程中所受阻力大小不变,则当物体落回到A点时,它所具有的动能为 ( )
A.60J B.50J C.48J D.36J
8、如图所示,m1和m2由不可伸长的轻绳通过滑轮连接, m1>m2,滑轮光滑且质量不计,两物体由图示位置无初速释放,在m1下降一段距离h的过程中(不计空气阻力),下列说法中正确的是( )
A.m1的机械能守恒
B.m2的机械能增加
C.m1和m2的总机械能减少
D.m1和m2的总机械能守恒
9、如图所示,一质量为m的小球,用长为L的轻绳悬挂于O点,小球在水平力F作用下,从平衡位置P点很缓慢地移动到悬绳与竖直方向成θ角的Q点,则力F做功为 .
10、将一物体以速度v从地面竖直向上抛出,当运动到h 高度处时,它的动能恰好为势能的一半.若取抛出点所在的水平面为零势能参考平面,则这个高度h应为 。
11、如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端各系一个物体,B物体的质量是A物体质量的一半,在不计摩擦阻力的情况下,A物体自高H高度处由静止开始下落,且B物体始终在平台上,若以地面为参考平面,当物体A的动能与其重力势能相等时,物体A离地的高度是多少?
12、如图所示,质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上,杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可视作质点),杆长为L.将轻杆从水平位置由静止释放,当轻杆竖直位置时,小球A、B速度各是多少?
1、D 2、D 3、A 4、B 5、B 6、A 7、D 8、BD
9、mgL(1-cosθ). 10、 11、2H/5 12、vA=,vB=
