广东省清远市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

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名称 广东省清远市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
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文件大小 499.1KB
资源类型 试卷
版本资源
科目 数学
更新时间 2023-10-09 18:20:55

文档简介

广东省清远市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1.已知函数,则(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】导数的四则运算;导数的加法与减法法则;导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为 ,所以.
故答案为:B.
【分析】根据导数的运算法则求导,进而求 .
2.已知随机变量,若,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意可得:,
所以 .
故答案为:C.
【分析】根据正态分布的对称性运算求解.
3.(2023高二下·清远期末)为提高学生的身体素质,某校开设了游泳和篮球课程,甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加,则不同的选法共有(  )
A.5种 B.6种 C.8种 D.9种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为每位同学均有2门课程可以选择,所以 不同的选法共有种.
故答案为:C.
【分析】根据分步乘法计数原理运算求解.
4.已知x和y之间的几组数据如下表:
x 0 1 2
y 5 4 2 2 1
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为,则预测当时,(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数;线性回归方程
【解析】【解答】由题意可得:,,
可知样本中心点为,可得,即,
所以 回归方程为,
当时,, 预测当时,.
故答案为:D.
【分析】根据题意先求样本中心点,根据线性回归方程过样本中心点可得,代入,即可得结果.
5.(2023高二下·清远期末)袋子中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球,每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到黑球的概率为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件A为” 第1次摸到白球 “,事件B为” 第2次摸到黑球 “,
则,
所以.
故答案为:A.
【分析】根据题意利用独立事件概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.
6.已知函数在上单调递增,则a的取值范围为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】因为 ,
由题意可得:在上恒成立 ,
整理得,令,
可知在上恒成立,
则,解得,
所以 a的取值范围为 .
故答案为:C.
【分析】根据题意可得在上恒成立 ,利用参变分离结合换元,可得在上恒成立,结合恒成立问题运算求解.
7.(2023高二下·清远期末)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献,很好地展示了国际形象,增进了国际友谊.现有6支救援队前往A,B,C三个受灾点执行救援任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点,且每个受灾点至少安排1支救援队,其中A受灾点至少需要2支救援队,则不同的安排方法种数是(  )
A.180 B.320 C.345 D.360
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】若6支救援队按1,1,4分成3组,则不同的安排方法有种;
若6支救援队按1,2,3分成3组,则不同的安排方法有种;
若6支救援队按2,2,2分成3组,则不同的安排方法有种;
所以 不同的安排方法种数是.
故答案为:D.
【分析】分类讨论救援队的组成可能,结合排列组合运算求解.
8.已知直线与函数的图象相切,则的最小值为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】导数的几何意义;函数的单调性与导数正负的关系;利用导数研究函数最大(小)值;导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由题意可得:,
设切点坐标为,则切线的斜率,
所以切线方程为,整理得,
则,则,
令,则,
令,解得;令,解得;
所以在上单调递减,在上单调递增,则,
所以 的最小值为 .
故答案为:.
【分析】求导,设切点坐标为,根据导数的几何意义可得,构建,利用导数判断原函数的单调性和最值,进而可得的最小值.
二、多选题
9.(2023高二下·清远期末)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则(  )
A.a= B.a= C.E(X)= D.D(X)=
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为,解得,故A错误,B错误;
可得,
故C、D正确.
故答案为:ACD.
【分析】根据概率和为1求a,进而根据期望、方差公式运算求解.
10.已知为函数的导函数,若函数的图象大致如图所示,则(  )
A.有个极值点 B.是的极大值点
C.是的极大值点 D.在上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系;利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】令 ,即,
根据函数的图象可知:
当时,;当时,;
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)有3个的极大值点,其中是f(x)的极大值点, 是的极小值点
x=0是f(x)的极小值点,
可知ABD正确,C错误.
故答案为:ABD.
【分析】根据导数符号与单调性的关系可得的单调性,结合单调性判断极值,进而结合选项分析判断.
11.已知,则(  )
A.
B.
C.
D.
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理;二项展开式
【解析】【解答】对于A:令,可得 ,故A正确;
对于B:令,可得 ,
所以 , 故B错误;
对于C:令,可得 ,
可得 ,所以 ,故C正确;
对于D:令,可得 ,
可得 ,故D正确;
故答案为:ACD.
【分析】对A:令即可得结果;对B:令结合 运算求解;对于C:令,结合选项B运用求解;对D:令结合运算求解.
12.已知,则(  )
A. B. C. D.
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令,则当时恒成立,
所以在内单调递增,
可得,即,
可得,即;
令,则当时恒成立,
所以在内单调递减,
可得,即,则,即;
综上所述:,故ABC正确,D错误.
故答案为:ABC.
【分析】构建函数,,利用导数判断函数单调性,结合单调性分析可得,,即可得结果.
三、填空题
13.(2019高三上·武汉月考) 的展开式中的常数项为   。
【答案】240
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 ,
令 得, ,
所以 的展开式中的常数项为 .
【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数,再代入得结果
14.(2023高二下·清远期末)已知随机变量X~B(3,),则D(X)=   .
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由题意可得:.
故答案为:.
【分析】根据二项分布的方差公式直接求解即可.
15.如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在这一时刻的瞬时速度为   m/s.
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则;瞬时变化率
【解析】【解答】由题意可知:后,
可得,
所以端点A运动的路程为,
则,当时,,
所以端点A在t=2s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
故答案为: .
【分析】根据题意可得端点A运动的路程为,求导,令即可得结果.
16.(2023高二下·清远期末)某校举行了足球比赛,每个球队都和其他球队进行一场比赛,每场比赛获胜的球队得2分,失败的球队得0分,平局则双方球队各得1分,积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队),但该球队的胜场数比其他球队都要少,则参加比赛的球队数最少为   .
【答案】6
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】设获得冠军的球队为甲,其胜n场、平m场,则总得分为,
由题意可知:其余各队至少胜场,得分不少于,
则,可得,即甲对至少平3场,
若甲队与乙队踢成平局,则乙队得分至少,
则,可得,即甲对至少平4场,
若有5支球队参加比赛,则甲队的得分为4分,其他球队至少胜一场,则其他球队的得分不低于4分,不合题意,
若有5支球队参加比赛,且得分如下图,符合题意;
  甲 乙 A B C D 得分
甲   1 1 1 1 2 6
乙 1   2 0 0 2 5
A 1 0   0 2 2 5
B 2 2 2   0 0 5
C 1 2 0 2   0 5
D 0 0 0 2 2   4
所以参加比赛的球队数最少为6.
故答案为:6.
【分析】根据题中比赛规则,设甲队胜n场、平m场,分析可得甲对至少平4场,进而再取球队数5,6分析判断.
四、解答题
17.为了提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响,为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查,得到下表:
体育锻炼 性别 合计
男生 女生
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
合计 280+q 120+p 400+p+q
在本次调查中,男生人数占总人数的,女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 10.828
(1)求p,q的值;
(2)依据α=0.001的独立性检验,能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关
【答案】(1)解:由题可知,解得.
(2)解:零假设为H0:学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.
根据列联表及(1)中数据,经计算得到

根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0成立,即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.
【知识点】独立性检验的应用;2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据题意人数的比例列式求;
(2)根据题中公式结合(1)中数据求 χ2,并与临界值对比分析.
18.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求C的大小;
(2)若,且,求周长的最小值.
【答案】(1)解:因为,由正弦定理.
由,得,所以,即.
又,所以.
(2)解:由(1)知,则.
因为,所以,则.
的周长为.
因为,所以,当且仅当时,等号成立.
故周长的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;解三角形;正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理可得 ,进而可得 C的大小 ;
(2)利用余弦定理可得 ,进而可得 的周长为,结合基本不等式运算求解.
19.如图,将三棱锥的侧棱放到平面内,,,,,平面平面.
(1)证明:平面⊥平面;
(2)若,平面与平面夹角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明:因为平面平面,平面平面=,,又平面,所以平面,
又平面,所以,
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以平面⊥平面.
(2)解:记点在平面内的投影为,连接,取的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,平面与平面夹角的正切值为,
所以DE=,BE=,
则,),,
从而,,
设平面的法向量为,则由,
得到令,得,
所以,
易知,平面的一个法向量为,

故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;平面与平面垂直的性质;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得 平面,则, 再结合线面垂直的判定定理分析证明;
(2) 记点在平面内的投影为,连接,取的中点,根据平面与平面夹角的正切值为, 可得 DE=,BE=, 建系,利用空间向量求面面夹角.
20.已知数列的前n项和满足,集合.
(1)求集合A;
(2)若求数列的前30项和.
【答案】(1)解:当时,.
当时,.
因为,所以.
由,得,即,

(2)解:由(1)可知,
集合A中不大于30的元素有2,4,8,16,
则数列的前30项和.
【知识点】等差数列的前n项和;数列的前n项和;通项与前n项和的关系
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合与之间的关系可得 ,进而可得集合A;
(2)由(1)可得 利用分组求和运算求解.
21.已知是椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆交于两点(异于点),当直线的斜率不存在时,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)解:依题意,,当直线的斜率不存在时,由,得直线过点,于是,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)解:依题意,直线不垂直于y轴,设直线的方程为,
由消去整理得,则,
的面积
,令,对勾函数在上单调递增,
则,即,从而,当且仅当时取等号,
故面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意列式求解 ,即可得 椭圆C的方程;
(2) 设直线的方程为, 利用韦达定理可得 的面积换元令, 结合对勾函数运算求解.
22.已知函数.
(1)若,求的图象在处的切线方程;
(2)若有两个极值点,证明:.
【答案】(1)解:因为,所以,,
则,
故f(x)的图象在处的切线方程为,即.
(2)证明:因为,
所以,
由有两个极值点,得方程有两个不相等的正实数根,
即方程有两个不相等的正实数根.
令,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
当时,,当时,.
由有两个不相等的正实数根,可得,
即有两个不相等的正实数根.
由,得.
要证,只需证<,即证<.
不妨令,,则,<等价于t<,
即.
令,,则,
则,从而.
【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数最大(小)值;导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)求导,结合导数的几何意义运算求解;
(2)根据题意分析可得 方程有两个不相等的正实数根, 令, 利用导数可得 的单调性,进而可得 , 整理可知 有两个不相等的正实数根,分析可得 等价于 , 令,, 利用导数分析证明即可.
1 / 1广东省清远市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1.已知函数,则(  )
A. B. C. D.
2.已知随机变量,若,则(  )
A. B. C. D.
3.(2023高二下·清远期末)为提高学生的身体素质,某校开设了游泳和篮球课程,甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加,则不同的选法共有(  )
A.5种 B.6种 C.8种 D.9种
4.已知x和y之间的几组数据如下表:
x 0 1 2
y 5 4 2 2 1
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为,则预测当时,(  )
A. B. C. D.
5.(2023高二下·清远期末)袋子中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球,每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到黑球的概率为(  )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增,则a的取值范围为(  )
A. B. C. D.
7.(2023高二下·清远期末)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献,很好地展示了国际形象,增进了国际友谊.现有6支救援队前往A,B,C三个受灾点执行救援任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点,且每个受灾点至少安排1支救援队,其中A受灾点至少需要2支救援队,则不同的安排方法种数是(  )
A.180 B.320 C.345 D.360
8.已知直线与函数的图象相切,则的最小值为(  )
A. B. C. D.
二、多选题
9.(2023高二下·清远期末)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则(  )
A.a= B.a= C.E(X)= D.D(X)=
10.已知为函数的导函数,若函数的图象大致如图所示,则(  )
A.有个极值点 B.是的极大值点
C.是的极大值点 D.在上单调递增
11.已知,则(  )
A.
B.
C.
D.
12.已知,则(  )
A. B. C. D.
三、填空题
13.(2019高三上·武汉月考) 的展开式中的常数项为   。
14.(2023高二下·清远期末)已知随机变量X~B(3,),则D(X)=   .
15.如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在这一时刻的瞬时速度为   m/s.
16.(2023高二下·清远期末)某校举行了足球比赛,每个球队都和其他球队进行一场比赛,每场比赛获胜的球队得2分,失败的球队得0分,平局则双方球队各得1分,积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队),但该球队的胜场数比其他球队都要少,则参加比赛的球队数最少为   .
四、解答题
17.为了提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响,为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查,得到下表:
体育锻炼 性别 合计
男生 女生
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
合计 280+q 120+p 400+p+q
在本次调查中,男生人数占总人数的,女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 10.828
(1)求p,q的值;
(2)依据α=0.001的独立性检验,能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关
18.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求C的大小;
(2)若,且,求周长的最小值.
19.如图,将三棱锥的侧棱放到平面内,,,,,平面平面.
(1)证明:平面⊥平面;
(2)若,平面与平面夹角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值.
20.已知数列的前n项和满足,集合.
(1)求集合A;
(2)若求数列的前30项和.
21.已知是椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆交于两点(异于点),当直线的斜率不存在时,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求面积的取值范围.
22.已知函数.
(1)若,求的图象在处的切线方程;
(2)若有两个极值点,证明:.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】导数的四则运算;导数的加法与减法法则;导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为 ,所以.
故答案为:B.
【分析】根据导数的运算法则求导,进而求 .
2.【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意可得:,
所以 .
故答案为:C.
【分析】根据正态分布的对称性运算求解.
3.【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为每位同学均有2门课程可以选择,所以 不同的选法共有种.
故答案为:C.
【分析】根据分步乘法计数原理运算求解.
4.【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数;线性回归方程
【解析】【解答】由题意可得:,,
可知样本中心点为,可得,即,
所以 回归方程为,
当时,, 预测当时,.
故答案为:D.
【分析】根据题意先求样本中心点,根据线性回归方程过样本中心点可得,代入,即可得结果.
5.【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件A为” 第1次摸到白球 “,事件B为” 第2次摸到黑球 “,
则,
所以.
故答案为:A.
【分析】根据题意利用独立事件概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.
6.【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】因为 ,
由题意可得:在上恒成立 ,
整理得,令,
可知在上恒成立,
则,解得,
所以 a的取值范围为 .
故答案为:C.
【分析】根据题意可得在上恒成立 ,利用参变分离结合换元,可得在上恒成立,结合恒成立问题运算求解.
7.【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】若6支救援队按1,1,4分成3组,则不同的安排方法有种;
若6支救援队按1,2,3分成3组,则不同的安排方法有种;
若6支救援队按2,2,2分成3组,则不同的安排方法有种;
所以 不同的安排方法种数是.
故答案为:D.
【分析】分类讨论救援队的组成可能,结合排列组合运算求解.
8.【答案】B
【知识点】导数的几何意义;函数的单调性与导数正负的关系;利用导数研究函数最大(小)值;导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由题意可得:,
设切点坐标为,则切线的斜率,
所以切线方程为,整理得,
则,则,
令,则,
令,解得;令,解得;
所以在上单调递减,在上单调递增,则,
所以 的最小值为 .
故答案为:.
【分析】求导,设切点坐标为,根据导数的几何意义可得,构建,利用导数判断原函数的单调性和最值,进而可得的最小值.
9.【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为,解得,故A错误,B错误;
可得,
故C、D正确.
故答案为:ACD.
【分析】根据概率和为1求a,进而根据期望、方差公式运算求解.
10.【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系;利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】令 ,即,
根据函数的图象可知:
当时,;当时,;
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)有3个的极大值点,其中是f(x)的极大值点, 是的极小值点
x=0是f(x)的极小值点,
可知ABD正确,C错误.
故答案为:ABD.
【分析】根据导数符号与单调性的关系可得的单调性,结合单调性判断极值,进而结合选项分析判断.
11.【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理;二项展开式
【解析】【解答】对于A:令,可得 ,故A正确;
对于B:令,可得 ,
所以 , 故B错误;
对于C:令,可得 ,
可得 ,所以 ,故C正确;
对于D:令,可得 ,
可得 ,故D正确;
故答案为:ACD.
【分析】对A:令即可得结果;对B:令结合 运算求解;对于C:令,结合选项B运用求解;对D:令结合运算求解.
12.【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令,则当时恒成立,
所以在内单调递增,
可得,即,
可得,即;
令,则当时恒成立,
所以在内单调递减,
可得,即,则,即;
综上所述:,故ABC正确,D错误.
故答案为:ABC.
【分析】构建函数,,利用导数判断函数单调性,结合单调性分析可得,,即可得结果.
13.【答案】240
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 ,
令 得, ,
所以 的展开式中的常数项为 .
【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数,再代入得结果
14.【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由题意可得:.
故答案为:.
【分析】根据二项分布的方差公式直接求解即可.
15.【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则;瞬时变化率
【解析】【解答】由题意可知:后,
可得,
所以端点A运动的路程为,
则,当时,,
所以端点A在t=2s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
故答案为: .
【分析】根据题意可得端点A运动的路程为,求导,令即可得结果.
16.【答案】6
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】设获得冠军的球队为甲,其胜n场、平m场,则总得分为,
由题意可知:其余各队至少胜场,得分不少于,
则,可得,即甲对至少平3场,
若甲队与乙队踢成平局,则乙队得分至少,
则,可得,即甲对至少平4场,
若有5支球队参加比赛,则甲队的得分为4分,其他球队至少胜一场,则其他球队的得分不低于4分,不合题意,
若有5支球队参加比赛,且得分如下图,符合题意;
  甲 乙 A B C D 得分
甲   1 1 1 1 2 6
乙 1   2 0 0 2 5
A 1 0   0 2 2 5
B 2 2 2   0 0 5
C 1 2 0 2   0 5
D 0 0 0 2 2   4
所以参加比赛的球队数最少为6.
故答案为:6.
【分析】根据题中比赛规则,设甲队胜n场、平m场,分析可得甲对至少平4场,进而再取球队数5,6分析判断.
17.【答案】(1)解:由题可知,解得.
(2)解:零假设为H0:学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.
根据列联表及(1)中数据,经计算得到

根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0成立,即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.
【知识点】独立性检验的应用;2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据题意人数的比例列式求;
(2)根据题中公式结合(1)中数据求 χ2,并与临界值对比分析.
18.【答案】(1)解:因为,由正弦定理.
由,得,所以,即.
又,所以.
(2)解:由(1)知,则.
因为,所以,则.
的周长为.
因为,所以,当且仅当时,等号成立.
故周长的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;解三角形;正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理可得 ,进而可得 C的大小 ;
(2)利用余弦定理可得 ,进而可得 的周长为,结合基本不等式运算求解.
19.【答案】(1)证明:因为平面平面,平面平面=,,又平面,所以平面,
又平面,所以,
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以平面⊥平面.
(2)解:记点在平面内的投影为,连接,取的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,平面与平面夹角的正切值为,
所以DE=,BE=,
则,),,
从而,,
设平面的法向量为,则由,
得到令,得,
所以,
易知,平面的一个法向量为,

故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质;平面与平面垂直的性质;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得 平面,则, 再结合线面垂直的判定定理分析证明;
(2) 记点在平面内的投影为,连接,取的中点,根据平面与平面夹角的正切值为, 可得 DE=,BE=, 建系,利用空间向量求面面夹角.
20.【答案】(1)解:当时,.
当时,.
因为,所以.
由,得,即,

(2)解:由(1)可知,
集合A中不大于30的元素有2,4,8,16,
则数列的前30项和.
【知识点】等差数列的前n项和;数列的前n项和;通项与前n项和的关系
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合与之间的关系可得 ,进而可得集合A;
(2)由(1)可得 利用分组求和运算求解.
21.【答案】(1)解:依题意,,当直线的斜率不存在时,由,得直线过点,于是,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)解:依题意,直线不垂直于y轴,设直线的方程为,
由消去整理得,则,
的面积
,令,对勾函数在上单调递增,
则,即,从而,当且仅当时取等号,
故面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意列式求解 ,即可得 椭圆C的方程;
(2) 设直线的方程为, 利用韦达定理可得 的面积换元令, 结合对勾函数运算求解.
22.【答案】(1)解:因为,所以,,
则,
故f(x)的图象在处的切线方程为,即.
(2)证明:因为,
所以,
由有两个极值点,得方程有两个不相等的正实数根,
即方程有两个不相等的正实数根.
令,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
当时,,当时,.
由有两个不相等的正实数根,可得,
即有两个不相等的正实数根.
由,得.
要证,只需证<,即证<.
不妨令,,则,<等价于t<,
即.
令,,则,
则,从而.
【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数最大(小)值;导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)求导,结合导数的几何意义运算求解;
(2)根据题意分析可得 方程有两个不相等的正实数根, 令, 利用导数可得 的单调性,进而可得 , 整理可知 有两个不相等的正实数根,分析可得 等价于 , 令,, 利用导数分析证明即可.
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