浙江省嘉兴市海盐县2023-2024学年高二上学期返校评估测试数学试卷
一、单选题（40分）
1．（2023·）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·）已知平面向量，，，若∥，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 （ ）
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.6 8.9 8.9 8.2
方差 3.5 5.6 2.1 3.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2023·）从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·）已知直线过点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、多选题（20分）
9．（2023·）若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A．的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
10．（2023·）下列说法正确的是（ ）
A．从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同的选法有10种
B．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
C．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，则事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
11．（2023·）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．
D．函数的图象的对称轴方程为
12．（2023·）在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．对于任意点，都有平面平面
C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是
D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为
三、填空题（20分）
13．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ．
14．（2023·）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是 ．
15．（2023·）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 ．
16．（2023·）直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于 ．
四、解答题（10+12+12+12+12+12）
17．（2023·）已知平面向量.
（1）若与垂直，求的值；
（2）若向量，若与共线，求.
18．（2023·）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
19．（2023·）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足B.
（1）求角的值.
（2）sinAsinB=34，c=2，求△ABC的面积．
20．（2023·） 四棱锥中⊥平面四边形为菱形为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．
21．（2023·）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求．
22．（2023·）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
（1）求点B到平面ECD的距离；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】根据复数得除法运算求.
2．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解： ，又∥，，求得 ，，.
故答案为：C.
【分析】先求出，再根据共线向量性质求，进而求的值.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由表中数据知，甲，乙，两，丁四个人中乙和丙的射击成绩平均数最大且相等
又乙和丙两个人中丙的方差较小，丙的成绩较稳定，综合平均数和方差两个方面考虑丙是最佳人选.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的意义，选出射击成绩最高且稳定的人选即可.
4．【答案】A
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单计数与排列组合；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：从5条线段中任取3条共有种不同取法，
其中可以构成三角形的有，，共有3种不同取法，概率为
故答案为：A.
【分析】先计算从5条线段中任取3条的基本事件总数，再用列举法求这3条线段能构成三角形的基本事件个数，进而求出概率
5．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解： 设直线的倾斜角分别为，
由图可知， .
故答案为：A.
【分析】根据倾斜角与斜率的关系结合图像判断.
6．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角分别为，
直线过点，，又，，.
故答案为：B.
【分析】利用斜率公式先求出直线斜率，再根据求直线的斜率.
7．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解： ，，，
故答案为：D.
【分析】先根据取值范围求，再根据正诱导公式求的值.
8．【答案】A
【知识点】用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：由题意知，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，，，
易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为
则，令，则，，锐二面角的大小为30°.
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求锐二面角.
9．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，，求得，A错误；
B、甲组样本数据的方差为
乙组样本数据方差为，乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的4倍，B错误；
C、不妨设，
则甲组数据的极差为，乙组样本数据方差为，
各不相同，两组样本数据的极差不相等，C错误；
D、设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，
当，即时两组样本数据的中位数可能相等，D正确.
故答案为：ABC.
【分析】AB利用平均数、方差公式代入计算判断；C不妨设，再利用极差定义判断，D利用中位数定义判断.
10．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：A、从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同的选法有种，A正确；
B、甲乙两袋都取得白球的概率为，甲乙两袋都取得红球的概率为，取到同色球的概率为，B正确；
C、从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3球，有：3白，1红2白，1白2红共3种情况，事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件，C正确；
D、由题意知，，又事件和是独立事件，
，，，
，，求得，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A根据排列组合公式求解判断；B分甲乙两袋都取得白球和甲乙两袋都取得红球两种情况求出取到同色球的概率判断；C用列举法写出所有事件，再根据对立事件定义判断；D根据相互独立事件乘法公式计算判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：B，C、 ，函数的图象先向右平移个单位长度得，再向下平移1个单位长度得，B错误，C正确；
A、，函数 为偶函数，A正确；
D、令 ，求得 ，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先化简，再根据图像平移法则整理得，进而判断选项.
12．【答案】A,B
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、当点与重合时，，又平面，平面 ，平面，存在点，使得平面，A正确；
B、是正方体易得平面，又平面，平面平面，B正确；
C、，异面直线与所成角即为，平面，平面，，， 为棱上的动点（含端点），，，C错误；
D、当点与重合时，易得平面，平面即为平面，平面的周长为，D错误.
故答案为：AB.
【分析】AD当点与重合时，可证明平面，与垂直平面，求得平面的周长为，进而判断，B由于平面，进而得到平面平面；C，所以为异面直线与所成角进而求解判断.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴ = +4 +4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴| +2 |=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
14．【答案】（，）
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题意得且，求得且，的取值范围是
故答案为：.
【分析】由倾斜角为钝角得斜率为负，结合直线的斜率公式求解.
15．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解： ，又，，，又，，设外接圆半径，由正弦定理得，
故答案为： .
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理求角，再根据正弦定理求外接圆半径.
16．【答案】
【知识点】球的性质；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：根据题意，作出如下图形：
由题意得，
以点为球心，2为半径作一个球，则球与棱，，，的交点分别为，，，，，
，，，同理，
在平面相交的弧为以1为半径的的圆弧，，
在平面相交的弧为以2为半径的的圆弧，，
球面与直四棱柱的表面相交所得到的弧长之和等于.
故答案为： .
【分析】根据题意作出图形，分别求出球面与正四棱柱的表面相交所得到的每一段弧长，全部相加即可.
17．【答案】（1）解： 与 ，又与垂直，
，解得；
（2）解： 与 ，又 与共线，，解得，，.
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)先求出向量 与 的坐标，再利用向量垂直数量积为0计算求的值；
(2)先向量 与 的坐标，再利用向量共线的坐标运算求的值，进而求.
18．【答案】（1）解：第六组的频率为，
∴第七组的频率为
（2）解：由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得
（3）解：第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积和为1求第七组的频率；
(2)根据中位数的定义利用频率分布直方图求中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
19．【答案】（1）解： ，由正弦定理得，化简得，又，，又，
（2）解：由(1)知， ，，又 ，， .
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理即可求角的值.
(2)利用正弦定理结合(1)可得ab=43，再利用面积公式求解.
20．【答案】（1）证明：四边形为菱形，为的中点，，
⊥平面 平面，，
又，平面， 平面，
又 平面，平面平面；
（2）解：易证得，，两两垂直，过点作平行线交于点，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，易知平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，则，，
与平面所成角的正切值为；
（3）解：，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
易知二面角所成锐二面角设为，
，，
二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)通过证明，得到平面，进而证得平面平面；
(2)过点作平行线交于点，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成的角的正切值；
(3)先求出平面的一个法向量结合（2），再利用公式求二面角余弦值，进而求正弦值.
21．【答案】（1）证明：由正弦定理得 ，
，；
（2）解： ，，又，
，，，又，，
，，，求得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数值的符号；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)利用正定理边化角，结合在中展开化简即可证得；
(2)由结合余定理可求得，再根据求得，进而利用三角形面积公式求.
22．【答案】（1）解：取中点，连接，，
，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，又是边长为的等边三角形，，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
点到平面的距离；
（2）解：易知平面的一个法向量为，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
，平面与平面所成锐二面角的余弦值为 .
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)先证明，，两两垂直，再以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点面距离；
(2)先求出平面与平面的法向量，再利用公式求平面与平面所成锐二面角的余弦值
1 / 1浙江省嘉兴市海盐县2023-2024学年高二上学期返校评估测试数学试卷
一、单选题（40分）
1．（2023·）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】根据复数得除法运算求.
2．（2023·）已知平面向量，，，若∥，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解： ，又∥，，求得 ，，.
故答案为：C.
【分析】先求出，再根据共线向量性质求，进而求的值.
3．（2023·）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 （ ）
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.6 8.9 8.9 8.2
方差 3.5 5.6 2.1 3.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由表中数据知，甲，乙，两，丁四个人中乙和丙的射击成绩平均数最大且相等
又乙和丙两个人中丙的方差较小，丙的成绩较稳定，综合平均数和方差两个方面考虑丙是最佳人选.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的意义，选出射击成绩最高且稳定的人选即可.
4．（2023·）从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单计数与排列组合；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：从5条线段中任取3条共有种不同取法，
其中可以构成三角形的有，，共有3种不同取法，概率为
故答案为：A.
【分析】先计算从5条线段中任取3条的基本事件总数，再用列举法求这3条线段能构成三角形的基本事件个数，进而求出概率
5．（2023·）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解： 设直线的倾斜角分别为，
由图可知， .
故答案为：A.
【分析】根据倾斜角与斜率的关系结合图像判断.
6．（2023·）已知直线过点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角分别为，
直线过点，，又，，.
故答案为：B.
【分析】利用斜率公式先求出直线斜率，再根据求直线的斜率.
7．（2023·）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解： ，，，
故答案为：D.
【分析】先根据取值范围求，再根据正诱导公式求的值.
8．（2023·）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【知识点】用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：由题意知，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，，，
易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为
则，令，则，，锐二面角的大小为30°.
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求锐二面角.
二、多选题（20分）
9．（2023·）若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A．的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，，求得，A错误；
B、甲组样本数据的方差为
乙组样本数据方差为，乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的4倍，B错误；
C、不妨设，
则甲组数据的极差为，乙组样本数据方差为，
各不相同，两组样本数据的极差不相等，C错误；
D、设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，
当，即时两组样本数据的中位数可能相等，D正确.
故答案为：ABC.
【分析】AB利用平均数、方差公式代入计算判断；C不妨设，再利用极差定义判断，D利用中位数定义判断.
10．（2023·）下列说法正确的是（ ）
A．从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同的选法有10种
B．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
C．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，则事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：A、从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同的选法有种，A正确；
B、甲乙两袋都取得白球的概率为，甲乙两袋都取得红球的概率为，取到同色球的概率为，B正确；
C、从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3球，有：3白，1红2白，1白2红共3种情况，事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件，C正确；
D、由题意知，，又事件和是独立事件，
，，，
，，求得，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A根据排列组合公式求解判断；B分甲乙两袋都取得白球和甲乙两袋都取得红球两种情况求出取到同色球的概率判断；C用列举法写出所有事件，再根据对立事件定义判断；D根据相互独立事件乘法公式计算判断.
11．（2023·）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．
D．函数的图象的对称轴方程为
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：B，C、 ，函数的图象先向右平移个单位长度得，再向下平移1个单位长度得，B错误，C正确；
A、，函数 为偶函数，A正确；
D、令 ，求得 ，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先化简，再根据图像平移法则整理得，进而判断选项.
12．（2023·）在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．对于任意点，都有平面平面
C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是
D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为
【答案】A,B
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、当点与重合时，，又平面，平面 ，平面，存在点，使得平面，A正确；
B、是正方体易得平面，又平面，平面平面，B正确；
C、，异面直线与所成角即为，平面，平面，，， 为棱上的动点（含端点），，，C错误；
D、当点与重合时，易得平面，平面即为平面，平面的周长为，D错误.
故答案为：AB.
【分析】AD当点与重合时，可证明平面，与垂直平面，求得平面的周长为，进而判断，B由于平面，进而得到平面平面；C，所以为异面直线与所成角进而求解判断.
三、填空题（20分）
13．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴ = +4 +4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴| +2 |=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
14．（2023·）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是 ．
【答案】（，）
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题意得且，求得且，的取值范围是
故答案为：.
【分析】由倾斜角为钝角得斜率为负，结合直线的斜率公式求解.
15．（2023·）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解： ，又，，，又，，设外接圆半径，由正弦定理得，
故答案为： .
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理求角，再根据正弦定理求外接圆半径.
16．（2023·）直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于 ．
【答案】
【知识点】球的性质；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：根据题意，作出如下图形：
由题意得，
以点为球心，2为半径作一个球，则球与棱，，，的交点分别为，，，，，
，，，同理，
在平面相交的弧为以1为半径的的圆弧，，
在平面相交的弧为以2为半径的的圆弧，，
球面与直四棱柱的表面相交所得到的弧长之和等于.
故答案为： .
【分析】根据题意作出图形，分别求出球面与正四棱柱的表面相交所得到的每一段弧长，全部相加即可.
四、解答题（10+12+12+12+12+12）
17．（2023·）已知平面向量.
（1）若与垂直，求的值；
（2）若向量，若与共线，求.
【答案】（1）解： 与 ，又与垂直，
，解得；
（2）解： 与 ，又 与共线，，解得，，.
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量加法运算；平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)先求出向量 与 的坐标，再利用向量垂直数量积为0计算求的值；
(2)先向量 与 的坐标，再利用向量共线的坐标运算求的值，进而求.
18．（2023·）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
【答案】（1）解：第六组的频率为，
∴第七组的频率为
（2）解：由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得
（3）解：第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积和为1求第七组的频率；
(2)根据中位数的定义利用频率分布直方图求中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
19．（2023·）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足B.
（1）求角的值.
（2）sinAsinB=34，c=2，求△ABC的面积．
【答案】（1）解： ，由正弦定理得，化简得，又，，又，
（2）解：由(1)知， ，，又 ，， .
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理即可求角的值.
(2)利用正弦定理结合(1)可得ab=43，再利用面积公式求解.
20．（2023·） 四棱锥中⊥平面四边形为菱形为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：四边形为菱形，为的中点，，
⊥平面 平面，，
又，平面， 平面，
又 平面，平面平面；
（2）解：易证得，，两两垂直，过点作平行线交于点，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，易知平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，则，，
与平面所成角的正切值为；
（3）解：，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
易知二面角所成锐二面角设为，
，，
二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)通过证明，得到平面，进而证得平面平面；
(2)过点作平行线交于点，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成的角的正切值；
(3)先求出平面的一个法向量结合（2），再利用公式求二面角余弦值，进而求正弦值.
21．（2023·）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求．
【答案】（1）证明：由正弦定理得 ，
，；
（2）解： ，，又，
，，，又，，
，，，求得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数值的符号；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)利用正定理边化角，结合在中展开化简即可证得；
(2)由结合余定理可求得，再根据求得，进而利用三角形面积公式求.
22．（2023·）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．
（1）求点B到平面ECD的距离；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：取中点，连接，，
，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，又是边长为的等边三角形，，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
点到平面的距离；
（2）解：易知平面的一个法向量为，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
，平面与平面所成锐二面角的余弦值为 .
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)先证明，，两两垂直，再以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点面距离；
(2)先求出平面与平面的法向量，再利用公式求平面与平面所成锐二面角的余弦值
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