第二十二章 二次函数单元检测试题（含答案）

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第二十二章《二次函数》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（　　）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
3．设A（ ， ），B（ ， ），C（3， ）是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
9．已知二次函数与轴的交点是（1，0）和（3，0），关于的方程（其中）的两个解分别是和5，关于的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是（　　）
A．1和4 B．2和5 C．0和4 D．0和5
10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 ______，对称轴是 ______，顶点是 ______．
12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．
13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．
14．抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k=　 　．
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为　 　．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
18．某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为　 　元．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19. 已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
20. 已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
23．如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.
24．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件.商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件.若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答.
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 元；②每天的销售量为 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B C C C C C
二、填空题
11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 　上　，对称轴是 　x=1　，顶点是 　（1，6）　．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，
∴二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，
顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1．
故答案为：上，x=1，（1，6）．
　
12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=　2　．
【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，
代入（0，0）得：2m﹣m2=0，
解得：m=2，m=0；
又∵m≠0，
∴m=2．
故答案为：2．
　
13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是　y=2（x+1）2+3　．
　
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【分析】设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。
15．【答案】2
16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为　﹣1＜x＜3　．
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以直接写出函数值小于0时x的取值范围．
【解答】解：由图象可知，
抛物线与x轴的两个交点时（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向上，
∴函数值小于0时x的取值范围为﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为　y＝（60﹣x）（300+20x）　．
【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
y＝（60﹣x）（300+20x），
故答案为：y＝（60﹣x）（300+20x）．
【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
18.【解答】解由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，△＝b2﹣4ac＞0，对称轴为x＝
∴abc＞0，4ac＜b2，当x＜时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确
∵﹣＝＜1
∴2a+b＞0
故③正确
由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误
当x＝1时，y＝a+b+c＜0
故⑥错误
故答案为①②③⑤
三.解答题
19. 解：（1）依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
20. 解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
，
即a的值是1，b的值是﹣2．
　
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. 解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，
∴
解得
故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.
23．【答案】解：如图所示，以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∵CD＝200，
∴抛物线与 轴的交点为 ， ，
∴设这条抛物线的解析式为 ，
∵AB＝100，AB与CD的距离为150，
∴点B的坐标为（50，150），
抛物线经过点 ，
，
解得： ，
，
当 时， 取得最大值，此时 ，
即拱门的最大高度是200米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，易得C（-100，0），D（100，0），B（50，150），设抛物线的解析式为y=a(x-100)(x+100)，然后将点B坐标代入求出a的值，得到抛物线的解析式，进而可得拱门的最大高度.
24．【答案】解：（I）（145﹣x）；
（Ⅱ）（40+2x）；（II）根据题意可得：y＝（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
＝﹣2x2+80x+2400，
＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145﹣20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（I）由题意可知：①每件商品的售价为：（145﹣x）元；
②每天的销售量为：（40+2x）件；
故答案为：①（145﹣x），②（40+2x）；
【分析】（1）①利用开始的售价减去降低的钱数即为售价；
②首先表示出增加的件数，然后加上40即可；
（2）根据每天的总利润=每件商品的利润乘以每天的销售数量建立函数关系式，对其进行化简，然后结合二次函数的性质进行求解.