2.6正多边形与圆 提优训练（含答案） 苏科版九年级数学上册

2023-2024学年苏科版九年级数学上《2.6正多边形与圆》提优训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形( )
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为(　 　)
A.1 B.　 C.2 D.2
3.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
4.如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=(　　)
A．75° B．54° C．72° D．60°
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5.如图,平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的顶点A、B在x轴上,顶点F在y轴上,若AB=2,则中心P的坐标为(　　)
A.(2,)　　　　B.(1,)　　　　C.(2,2)　　　　D.(3,2)
6.如图,A、B、C、D、E为一个正九边形的顶点,O为正九边形的中心,点P为动点,从点C出发,沿CD向点D运动,在运动的过程中,下列关于∠APB大小的说法,正确的是(　　)
A.始终为20°　　　　B.由大变小 C.由小变大　　　　D.由小变大再变小
7.如图所示,在正六边形ABCDEF内,以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI=(　　)
A.10°　　　　B.12°　　　　C.14°　　　　D.15°
8.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,过点A作☉O的切线交CB的延长线于点G,交CE的延长线于点F,则下列结论中正确的是 (　　)
A.EC=2AB　　　　B.∠BCD=118° C.∠F=36°　　　　D.∠G=70°
图1 图2
第8题图 第0题图 第10题图
9 大自然中有许多小动物都是“小数学家”,图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AD的长约为8 mm,则正六边形ABCDEF的边长约为 (　)
A.2 mm　　　　B.2 mm　　　　D.4 mm
10. 如图,取正六边形ABCDEF的各边中点并依次连接,得到正六边形A1B1C1D1E1F1,再取正六边形A1B1C1D1E1F1的各边中点并依次连接,得到正六边形A2B2C2D2E2F2,则正六边形A2B2C2D2E2F2与正六边形ABCDEF的边长之比为(　　)
A.1∶2　　　　B.2∶3　　　　C.3∶4　　　　D.4∶5
二．填空题(30分)
11.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是________.
12.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过____
13.如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7= °．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14、如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为_______
15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．
16、如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝____.
17. 如图,正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为　　　　.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18.如图,A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点,AE与CF交于点G,若∠EGF=30°,则n=　　　.
19.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,半径为2 cm,则CD等于　　　 　cm;G为CD的中点,连接AG,AG等于　　　　cm.
20 如图,M,N分别是正六边形ABCDEF的对角线BE,AD上的点,则△CMN为等腰直角三角形时,∠BCM的度数为　　　　　　.
三.解答题（60分）
21、（8分）已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.
22、（8分）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
23、（8分）如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，
（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
24.（12分）如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案).
25、（12分）（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
26.(12分)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法　如图2,①作直径AF;②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
图1 图2
教师样卷
一．选择题(30分）
1.一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形( C )
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为(　B 　)
A.1 B.　 C.2 D.2
3.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( A )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
4.如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=(　C　)
A．75° B．54° C．72° D．60°
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5.如图,平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的顶点A、B在x轴上,顶点F在y轴上,若AB=2,则中心P的坐标为 (　A　)
A.(2,)　　　　B.(1,)　　　　C.(2,2)　　　　D.(3,2)
6.如图,A、B、C、D、E为一个正九边形的顶点,O为正九边形的中心,点P为动点,从点C出发,沿CD向点D运动,在运动的过程中,下列关于∠APB大小的说法,正确的是(　D　)
A.始终为20°　　　　B.由大变小 C.由小变大　　　　D.由小变大再变小
7.如图所示,在正六边形ABCDEF内,以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI=(　B　)
A.10°　　　　B.12°　　　　C.14°　　　　D.15°
8.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,过点A作☉O的切线交CB的延长线于点G,交CE的延长线于点F,则下列结论中正确的是 (　C　)
A.EC=2AB　　　　B.∠BCD=118° C.∠F=36°　　　　D.∠G=70°
图1 图2
第8题图 第0题图 第10题图
9 大自然中有许多小动物都是“小数学家”,图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AD的长约为8 mm,则正六边形ABCDEF的边长约为 (D　)
A.2 mm　　　　B.2 mm　　　　D.4 mm
10. 如图,取正六边形ABCDEF的各边中点并依次连接,得到正六边形A1B1C1D1E1F1,再取正六边形A1B1C1D1E1F1的各边中点并依次连接,得到正六边形A2B2C2D2E2F2,则正六边形A2B2C2D2E2F2与正六边形ABCDEF的边长之比为(　C　)
A.1∶2　　　　B.2∶3　　　　C.3∶4　　　　D.4∶5
二．填空题(30分)
11.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ________.
12.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过__12mm___
13.如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7= 54 °．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14、如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为__（2，2）_____
解：连接OA，∠AOH＝30°，AH＝2，∴OH＝＝2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，2023÷6＝337…1，
∴当n＝2023时，顶点A的坐标为（2，2），故选：D．
15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．
解:如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）=S十二边形-S八边形=12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45°=3-2．故答案为：3-2．
16、如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝__48°__.
解:连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB==72°，∵△AMN是正三形，∴∠AOM==120°，∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，故答案为48°．
17. 如图,正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为　　　4　.
解:设AF=x,则AB=x,AH=6-x,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF==120°,∴∠HAF=60°,∵∠AHF=90°,∴∠AFH=30°,∴AF=2AH,∴x=2(6-x),解得x=4,∴AB=4,即正六边形ABCDEF的边长为4.
18.如图,A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点,AE与CF交于点G,若∠EGF=30°,则n=　　18　　.
解:如图,连接CE,正n边形的中心角的度数为,则∠ECF=,∠AEC=.∵∠EGF=30°,∴∠ECF+∠AEC=30°,∴=30°,解得n=18.
19.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,半径为2 cm,则CD等于　　　2 　cm;G为CD的中点,连接AG,AG等于　　　　cm.
解:如图,连接OC、OD,连接GO并延长交AF于H,∵正六边形ABCDEF内接于☉O,∴∠COD==60°.又∵OC=OD,∴△COD是正三角形,∴CD=OC=OD=2 cm.∵G是CD的中点,∴CG=1 cm,OG⊥CD,∴OG= cm,由正六边形和圆的对称性可知,GH⊥AF,OH=OG,∴HG=2OG=2 cm,AH=×2=
1 cm,∴AG= cm.
20 如图,M,N分别是正六边形ABCDEF的对角线BE,AD上的点,则△CMN为等腰直角三角形时,∠BCM的度数为　75°或90°或15°　　　　　.
解:如图1,当MN=MC时,利用正六边形ABCDEF关于直线BE对称可知N与A重合,
∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=30°+45°=75°.如图2,当NC=NM时,由正六边形ABCDEF关于直线AD对称可知M与E重合,∴∠BCM=∠BCD-∠DCE=120°-30°=90°.如图3,当CM=CN时,连接CF,易知∠MCF=45°,∴∠BCM=∠BCF-∠MCF=60°-45°=15°.综上,∠BCM=75°或90°或15°.
图1 图2 图3
三.解答题（60分）
21、（8分）已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.
解:（1）作法:①作直径AC,②作直径BD⊥AC,③依次连接A,B,C,D四点,
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形,①分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,交⊙O于E,H,F,G,②顺次连接A,E,F,C,G,H各点,六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形.
（2）连接OE,DE,∵∠AOD==90°，∠AOE==60°,∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,
∴ DE为⊙O的内接正十二边形的一边.
22、（8分）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：连接BE，如图，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴，∴，
∴，∴BE为直径，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四边形BCEF为矩形．
23、（8分）如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，
（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
【解析】（1）如图1：连接CF，BD交于点G，则CG即为所求；理由：∵正六边形ABCDEF的边长1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°，
又∵CF是正六边形的对称轴，∴CG⊥BD，在Rt△CBG中，CG=BC=0.5；
（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．解法二：菱形AGDH即为所求．
24.（12分）如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案).
解：(1)如图，连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90°，72° （3）∠MON=
25、（12分）（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边 分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边 分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．
26.(12分)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法　如图2,①作直径AF;②以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N;③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
图1 图2
解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC==108°.
(2)△AMN是正三角形.理由如下:连接ON,NF,如图.由题意可得,FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形,∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°.同理可得,∠ANM=60°,∴∠MAN=60°,∴△MAN是正三角形.
(3)连接OD,如图.∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°.∵∠AOD=×2=144°,
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.∵360°÷24°=15,∴n的值是15.