人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为 (　　)
A.40° B.50° C.90° D.150°
2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:
①m⊥n,m∥α,α∥β n⊥β;
②m⊥n,m⊥α,α∥β n⊥β;
③m⊥α,n∥β,α∥β m⊥n;
④m⊥α,m∥n,α∥β n⊥β.
其中正确的是 (　　)
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 (　　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为 (　　)
A.72° B.90° C.108° D.180°
5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是 (　　)
图L8-6-10
A.60° B.45°
C.30° D.120°
6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为 P,点P在△AEF 内的射影为O,则下列说法中正确的是 (　　)
图L8-6-11
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF 的内心
C.O是△AEF 的外心 D.O是△AEF的重心
7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则 (　　)
图L8-6-12
A.AB·BC=1
B.AB·BC=2
C.AE·CD=1
D.AE·CD=2
8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,E为CD的中点,则 (　　)
A.A1E⊥DD1 B.A1E⊥DB
C.A1E⊥D1C1 D.A1E⊥DB1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件　　　　　　　　　　时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)
图L8-6-13
10.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是　　　　.
11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为　　　　.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=BC=1,PA=,△PBC是正三角形.
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)求点P到平面ABC的距离.
图L8-6-14
14.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.
(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;
(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.
图L8-6-15
15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足=3,点P在棱AB上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sin θ的最大值为　　　　.
图L8-6-16
16.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.
(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;
(2)当△VAB是边长为2的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.
参考答案与解析
1.B　[解析] 若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.
2.D　[解析] 若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.
3.C　[解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.
4.B　[解析] 当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时, 直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.
5.A　[解析] ∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.故选A.
6.A　[解析] 由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.
7.D　[解析] 取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB 平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴=,即=,∴AE·CD=2.故选D.
8.B　[解析] 连接AE.因为AB=AD,E为CD的中点,所以==,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.
9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)
10.垂直　[解析] ∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.
11.3　[解析] 记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且OC=,所以tan∠SCO==3.
12.　[解析] 如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O===.
13.解:(1)证明:∵AB=BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.
∵PA=,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.
又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,∴AB⊥平面PBC.
(2)设点P到平面ABC的距离为h.
由(1)知AB⊥平面PBC,由VP-ABC=VA-PBC,得S△ABC·h=S△PBC·AB,
即××1×2×h=××2×2××1,解得h=,
则点P到平面ABC的距离为.
14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,
因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.
因为DD1⊥平面ABCD,AF 平面ABCD,所以AF⊥DD1.
又DB∩DD1=D,DB 平面BB1D1D,DD1 平面BB1D1D,
所以AF⊥平面BB1D1D.
(2)连接D1B,D1C,如图所示.
因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,
故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.
又BC⊥平面D1DCC1,D1C 平面D1DCC1,
所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC==.
15.　[解析] 依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(016.解:(1)DE⊥平面VBC,证明如下:
∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,
∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,
AC 平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,
∴AC⊥平面VBC.∵D,E分别是VA,VC的中点,
∴DE∥AC,∴DE⊥平面VBC.
(2)∵△VAB是边长为2的正三角形,
∴VB=VA,又∠VCB=∠VCA=90°,VC=VC,∴△VBC≌△VAC,
∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8,
∴AC=BC=2,∴VC==2.
∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE=AC=1,
∴四面体V-DEB的体积VV-DEB=VD-VBE=×S△BEV×DE=××S△VBC×DE=×××2×2×1=.