人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,则下列条件中能推出a∥b的是 (　　)
A.b∥α B.b α
C.b⊥α D.b与α相交
2.已知△ABC所在的平面为α,l,m是两条不同的直线,l⊥AB,l⊥AC,m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是 (　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
3.若P为△ABC所在平面外一点,分别连接PA,PB,PC,则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,AB的中点,AB=4,则MN与平面BCC1B1的距离为 (　　)
A.4 B.2
C.2 D.
5.若直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC,则l与m的位置关系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.不确定
6.如图L8-6-17所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是 (　　)
图L8-6-17
A.BD1∥B1C
B.A1D1∥平面AB1C
C.BD1⊥AC
D.BD1⊥平面AB1C
7.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
8.如图L8-6-18,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,则这个条件可能是 (　　)
图L8-6-18
A.AC⊥β
B.AC⊥CD
C.AC∥BD
D.AC与α,β所成的角相等
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面BB1C1C与平面AA1D1D的距离为　　　　.
10.直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,则使a∥b成立的条件是　　　　.(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
11.如图L8-6-19所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　.
图L8-6-19
12.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=PA=,AC=1,则三棱锥P-ABC的侧面积为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L8-6-20,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.
求证:=.
图L8-6-20
14.(10分)如图L8-6-21,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角为60°,设AA1=a.
(1)求a的值;
(2)求直线B1C1到平面A1BC的距离.
图L8-6-21
15.(5分)如图L8-6-22所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到C'的位置,且点C'在平面ABD上的射影O恰在AB上.若EF⊥平面AC'D,且DC'=2DE,BF=λFD,则λ的值为　　　　.
图L8-6-22
16.(15分)如图L8-6-23,在四面体P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=BC=1,AC=.
(1)求证:BC⊥平面PAB.
(2)在PC上是否存在点D,使得AC⊥BD 若存在,求PD的值;若不存在,请说明理由.
图L8-6-23
参考答案与解析
1.C　[解析] 若b∥α,由a⊥α,可得a⊥b,故A不满足题意;若b α,由a⊥α,可得a⊥b,故B不满足题意;若b⊥α,由a⊥α,可得a∥b,故C满足题意;若b与α相交,由a⊥α,可得a与b异面、相交或平行,故D不满足题意.故选C.
2.C　[解析] 因为l⊥AB,l⊥AC,AB α,AC α,AB∩AC=A,所以l⊥α.同理m⊥α.所以l∥m.故选C.
3.A　[解析] 设△ABC为直角三角形,∠ABC为直角,若PA⊥平面ABC,如图所示.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,所以△PAB,△PAC为直角三角形.因为BC⊥AB,PA⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC是直角三角形.所以△ABC,△PAB,△PAC,△PBC四个三角形都是直角三角形,故选A.
4.C　[解析] 如图,连接BC1.∵MN∥BC1,MN 平面BCC1B1,BC1 平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B1,∴MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离.又N到平面BCC1B1的距离为NB=AB=2,∴MN与平面BCC1B1的距离为2.故选C.
5.D　[解析] 设梯形ABCD所确定的平面为α.∵l⊥AB,l⊥CD,AB和CD相交,∴l⊥α.由于AD∥BC,m⊥AD,m⊥BC,则m⊥α或m∥α或m α或m与α斜交,则l∥m或l与m异面或l与m相交.故选D.
6.C　[解析] 连接BD.由题意知四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥DD1,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1,∴AC⊥BD1.故选C.
7.A　[解析] 如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4.故选A.
8.A　[解析] 由AB⊥α,CD⊥α,EF α,得AB⊥EF,CD⊥EF,AB∥CD.显然BD 平面ABDC,但由EF垂直于平面ABDC内的两条平行直线不能推出EF垂直于平面ABDC,进而不能推出EF垂直于BD,所以增加的条件只要能推出EF垂直于平面ABDC内与AB(或CD)相交的一条直线即可.分析选项知A符合题意.
9.1　[解析] 因为正方体的对面互相平行,AB⊥平面BB1C1C且AB⊥平面AA1D1D,所以棱AB的长即为平面BB1C1C与平面AA1D1D的距离,该距离为1.
10.①②③　[解析] ①为直线与平面垂直的性质定理的应用,②为面面平行的性质定理的应用,③为基本事实4的应用.
11.6　[解析] ∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.又AF=DE,∴四边形AFED为平行四边形,故EF=AD=6.
12.　[解析] 因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC都是直角三角形.因为AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,即△PBC是直角三角形.因为BC=PA=,AC=1,所以AB=2,PC=2,故所求侧面积S=×1×+×2×+×2×=.
13.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,
BD 平面ABD,BD,EF 平面BCD,
∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.
又PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,∴EF⊥平面PAC.
∴EF∥BD,∴=.
14.解:(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角,即∠A1BC=60°.
∵AB=AC=1,AA1⊥平面ABC,∴A1B=A1C,∴△A1BC为等边三角形.
∵AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC=,∴A1B==,∴a=1.
(2)易知B1C1∥平面A1BC,则直线B1C1到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离,设其为d.连接B1C.
∵CA⊥A1A,CA⊥AB,A1A∩AB=A,∴CA⊥平面A1B1B.
∵=×1×1=,=×××sin 60°=,
=,∴··AC=··d,∴d==,
∴直线B1C1到平面A1BC的距离为.
15.1　[解析] ∵点C'在平面ABD上的射影O在AB上,∴C'O⊥平面ABD.∵DA 平面ABD, ∴C'O⊥DA.又∵AD⊥AB,AB∩C'O=O,∴DA⊥平面ABC'.又BC' 平面ABC', ∴DA⊥BC'.又∵BC'⊥C'D,DA∩C'D=D,∴BC'⊥平面AC'D.又∵EF⊥平面AC'D,∴EF∥BC'.∵DC'=2DE,即E为C'D的中点,∴F为BD的中点,∴BF=FD,即λ=1.
16.解:(1)证明:∵AB=BC=1,AC=,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∵PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
(2)当点D为PC的中点,即PD=时,使得AC⊥BD,理由如下:
在平面ABC内,过点B作BE⊥AC,垂足为E,
在平面PAC内,过点E作DE∥PA,交PC于点D,连接BD.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,∴DE⊥AC,
又BE⊥AC,BE∩DE=E,∴AC⊥平面DBE,
∵BD 平面DBE,∴AC⊥BD.
在△ABC中,∵AB=BC=1,BE⊥AC,∴点E为AC的中点,则点D为PC的中点.
在Rt△APC中,AP=1,AC=,∴PC=,∴PD=.