第22章《二次函数》单元检测卷 （含解析）

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人教版2023年九年级上册第22章《二次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x﹣1 C．y＝ D．y＝x+2
2．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
3．二次函数y＝x2+8x+9的对称轴为直线（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C． D．
4．若函数y＝（k+3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣2 B．k≥4 C．k≤﹣2或k＝﹣3 D．k≤﹣2且k≠﹣3
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a的图象不经过（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
6．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（0，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
7．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（　　）
A．a＝﹣3或a＝1 B．a＝3或a＝﹣1 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝﹣3或a＝3
8．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（　　）
A．4 B．4 C．5 D．5
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论；①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如果是关于x的二次函数，则m＝　 　．
12．如果二次函数y＝（2a﹣1）x2的图象开口向下，则a的取值范围是 　 　．
13．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为 　 　．
14．将二次函数y＝x2+2x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 　 　．
15．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 　 　．
16．如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作AG⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，则阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
19．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该二次函数图象的顶点坐标为 　 　；
（3）如图，用五点画图法在给出的坐标系中画出该二次函数的图象；
x ﹣1 0 1 2 3
y 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
（4）根据图象，直接写出当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．
20．（10分）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线y＝ax2+x+c运动，然后准确落入篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离AO＝2.25米．以O为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心D的坐标为（4，3.05），对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求点B到DH所在直线的距离及点B到地面的距离BC．
21．（10分）卡塔尔世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于45元，且获利不高于50%．试销售期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出310本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2600元？
22．（12分）已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
人教版2023年九年级上册第22章《二次函数》单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据二次函数的定义可得答案．
【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
C、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
D、该函数符合一次函数的定义，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
3．【分析】将该函数解析式化为顶点式，即可写出该函数的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+8x+9＝（x+4）2﹣7，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣4，
故选：B．
4．【分析】当函数为一次函数时，其函数图象必定与x轴交点；当函数为二次函数时，根据函数图象与x轴交点的特点可知，（k+3）x2+2x+1＝0的判别式Δ≥0，即可求解；
【解答】解：当函数为一次函数时，即k+3＝0，k＝﹣3，
此时函数为：y＝2x+1，
即一次函数与x轴有交点；
当函数为二次函数时，即k+3≠0，k≠﹣3，
令y＝（k+3）x2+2x+1＝0，
根据二次函数与x轴有交点，可知方程（k+3）x2+2x+1＝0，方程的判别式Δ≥0，
即Δ＝22﹣4×（k+3）×1≥0，
解得：k≤﹣2，
此时k的取值范围是k≤﹣2且k≠﹣3；
综上：k的取值范围是k≤﹣2．
故选：A．
5．【分析】先根据二次函数图象与系数的关系得到a＜0，b＞0，再根据一次函数图象与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b＞0，
∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：C．
6．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+2的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，函数的对称轴为x＝﹣1，
∴当x＜﹣1，y随x的增大而增大；当x＞﹣1，y随x的增大而减小；且距x＝﹣1距离越远，y越小，
∵0＜1＜2，
∴y1＞y2＞y3，
故选：C．
7．【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴，将y＝1代入函数求出对应的x值，分情况讨论即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为，
将y＝1代入y＝x2﹣2x﹣2得1＝x2﹣2x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
当1≤a≤x≤a+2时，在x＝a+2＝3取得最大值，a＝1．
当a≤x≤a+2≤1时，在x＝a＝﹣1取得最大值，a＝﹣1．
∴a＝﹣1或a＝1．
故选：C．
8．【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时t＝﹣，进而得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
9．【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD＝CE＝4，从而得出A的纵坐标为8，设点A坐标为（m，8），将点坐标代入解析式求解．
【解答】解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形，
∴CD＝CE＝4，
设点A横坐标为m，则A（m，8），
代入y＝x2得m2＝8，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去）．
∴AB＝2m＝4．
故选：B．
10．【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）由此即可判断①②；根据，可得b+2a＝0即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，
故①②正确；
∵，
∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，
故③正确；
由函数图象可知当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，当x＜0时，y随x增大而增大，故④错误，⑤正确；
∴正确的一共有4个，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：根据二次函数的定义：m2﹣m＝2，m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．【分析】根据二次函数图象开口方向即可判断；
【解答】解：∵二次函数y＝（2a﹣1）x2的图象开口向下，
∴2a﹣1＜0，
∴．
故答案为：．
13．【分析】依据题意，令x＝0，则y＝8，从而可得点C的坐标．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，
∴令x＝0，则y＝8．
∴C（0，8）．
故答案为：（0，8）．
14．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【解答】解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴二次函数y＝x2+2x的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣1），
图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
15．【分析】设飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间的二次函数关系为h＝at2+bt，用待定系数法求出h＝﹣5t2+8t，令h＝0即可解得答案．
【解答】解：设飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间的二次函数关系为h＝at2+bt，
将（0.5，2.75），（1.1，2.75）代入得：
，
解得，
∴h＝﹣5t2+8t，
在h＝﹣5t2+8t中，令h＝0得0＝﹣5t2+8t，
解得t＝0或t＝1.6，
∴足球从踢出到落地所需的时间是1.6s，
故答案为：1.6s．
16．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，将抛物线解析式化为顶点式的得到A（2，2），B（2，﹣2），由A、B两点关于原点对称，可得抛物线OA段绕点O旋转180°后，与抛物线OB段重合，因此S阴影＝S正方形ODBE，以此即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵抛物线＝的顶点A（2，2），
抛物线＝的顶点B（2，﹣2），
∴A、B两点关于原点对称，
∵两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同，
∴抛物线OA段绕点O旋转180°后，与抛物线OB段重合，
∴S阴影＝S正方形ODBE＝2×2＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．【分析】（1）把A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）代入二次函数解析式，列出三元一次方程组进行计算即可；
（2）利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意把A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得：，
解得：．
∴二次函数解析式为y＝﹣2x2+4x+3；
（2）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴顶点坐标是（1，5）．
18．【分析】（1）代入点（1，2m﹣4）即可求解；
（2）利用对称轴公式即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+（2m﹣6）+1＝2m﹣4，
解得：a＝1；
（2）∵a＝1，
∴y＝x2+（2m﹣6）x+1，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝＝3﹣m；
（3）当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）从左至右分布，
∵y2＜y3≤y1，
∴，
解得1＜m≤2；
当m＜0时，
∴m＜﹣m＜﹣m+3，
∴y2≥y1，不合题意，
综上，m的取值范围是1＜m≤2．
19．【分析】（1）用配方法把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据（1）中的顶点式，即可求解；
（3）利用描点法画出函数图象，即可求解；
（4）直接观察图象，即可求解．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1；
（2）由（1）得：该函数图象的顶点坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）
（3）解：列表如下：
x ﹣1 0 1 2 3
y ﹣3 0 1 0 ﹣3
画出该二次函数的图象如下：
（4）根据图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为﹣3＜y≤1．
20．【分析】（1）依据题意，由AO＝2.25米可得c＝2.25，再将D（4，3.05）代入解析式进而可以得解；
（2）根据（1）所得解析式，求出对称轴，再结合D的横坐标可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AO＝2.25米，
∴A（0，2.25）．
∴c＝2.25．
再将D（4，3.05）代入y＝ax2+x+2.25，
∴a＝﹣0.2．
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+x+2.25．
（2）由（1）所求抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+x+2.25，
∴对称轴为x＝﹣＝2.5．
∴B到DH所在直线的距离为4﹣2.5＝1.5（米）．
又当x＝2.5时，y＝1.625，
∴B到地面的距离BC为1.625米．
21．【分析】（1）根据销售单价每涨1元，每天销售量减少10本可得y与x的函数关系式，根据销售单价不低于45元，且获利不高于50%可得x的取值范围；
（2）销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）由（2）得w＝﹣10（x﹣58）2+3240，把w＝2600代入即可得销售单价．
【解答】解：（1）由题意得：y＝310﹣10（x﹣45）＝﹣10x+760，
即y＝﹣10x+760，
每本进价40元，且获利不高于50%，即最高价为60元，
即x≤60，
故：45≤x≤60；
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+760）＝﹣10（x﹣58）2+3240，
当x＜58时，w随x的增大而增大，
而45≤x≤60，所以当x＝58时，w有最大值，最大值为3240，
答：将足球纪念册销售单价定为58元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润3240元；
（3）由（2）得w＝﹣10（x﹣58）2+3240，
把w＝2600代入得﹣10（x﹣58）2+3240＝2600，
解得x1＝50，x2＝66（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2600元．
22．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程求得C（﹣1，0），由于A、C两点关于对称轴对称，则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．求得直线AB解析式为y＝x+3；于是得到P点坐标为（﹣1，2）；
（3）设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，于是得到E的坐标为（x，﹣x+3），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，3），
∴，
解得b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）对称轴为x＝﹣＝﹣1，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（1，0），
如图所示，
∵点C与点A关于直线x＝﹣1对称，
∴连接AB与对称轴x＝﹣1的交点即为所求之P点，
∵BC的长是个定值，
则此时的点P，使△PBC的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，
则此时 PB+PC＝PB+PA＝AB最小．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
由A（﹣3，0）、B（0，3）可得：
，
解得k＝1，b＝3，
∴直线AB解析式为y＝x+3；
当x＝﹣1时，y＝2，
∴P点坐标为（﹣1，2）；
（3）结论：存在．
设Q（x，﹣x2﹣2x+3）是第二象限的抛物线上一点，
过点Q作QD⊥x轴交直线AB于点E，则E的坐标为（x，x+3），
∴QE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△ABQ＝S△BQE+S△AQE＝PE OA＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，
∴当x＝时，S△ABQ取得最大值．
∴当x＝时，y＝﹣x2﹣2x+3＝，
∴Q（，）．
所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得△ABQ的面积最大；Q点的坐标为（，）．
23．【分析】（1）由直线l：y＝﹣x﹣1可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x﹣1过点A，
∴A（﹣1，0），
又∵D（5，﹣6），
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图，
设点P（x，﹣x2+3x+4），
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
则E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1），
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴﹣1＜x＜5，
∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5，
∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18．
∵﹣1＜x＜5，
∴当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求NC＝5，
∵NC是所求平行四边形的一边，
∴NCPM，设点p（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t﹣1），
由题意知：|yP﹣yM|＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5．
化简得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4，，．
则符合条件的M点有三个：，．