广东省深圳市光明区李松蓢学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（共10小题）
1．（2023八下·南山期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
2．（2023八下·深圳期末）“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·光明开学考）若x＜y，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
4．（2023八下·南山期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）
D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
5．（2022九上·余杭期中）如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023九上·光明开学考）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直
7．（2023八下·龙岗期末）如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·光明开学考）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
9．（2023八下·深圳期末）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·光明开学考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．2+3
二、填空题（共5小题）
11．（2017·宜宾）分解因式：xy2﹣4x= ．
12．（2023九上·光明开学考）如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则菱形ABCD的面积为 ．
13．（2023九上·光明开学考）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
14．（2023八下·南山期末）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ ．
15．（2023八下·南山期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
三、解答题（共7小题）
16．（2023九上·光明开学考）解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
17．（2023八下·南山期末）先化简，再求值：，其中.
18．（2023九上·光明开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
⑴若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
⑵将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
⑶将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为 ▲ ；
⑷以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 ▲ ．
19．（2023九上·光明开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
20．（2023八下·深圳期末）某服装店老板用4000元购进了一批甲款恤，用8800元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种恤的标价都定为每件100元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？
21．（2023九上·光明开学考）数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数y＝|x+1|的图象．
①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 a 1 0 1 2 3 …
其中，表格中a的值为 ▲ ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝ 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 ；
②当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 ．
22．（2023九上·光明开学考）在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
（1）【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义 ，
∴，
解得： x≠3
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件，得，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】一个图形绕一个点旋转180度后，得到的图形和原来的图形完全一样，那么这个图形叫做中心对称图形。根据中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＜y，∴x-6＜y-6，该选项不符合题意；
B、∵x＜y，∴5x＜5y，该选项不符合题意；
C、∵x＜y，∴x+2＜y+2，该选项不符合题意；
D、∵x＜y，∴，该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变.由不等式的性质并结合各选项可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2 是整式的乘法运算，不符合题意；
B、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 是整式的乘法运算，不符合题意；
C、 2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1） 从左到右的变形为因式分解，符合题意；
D、 x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，据此建立方程，求解即可.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，选项不符合题意；
B、四条边相等的四边形是菱形，选项不符合题意；
C、 矩形的对角线相等，选项符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别根据矩形、菱形的性质和判定依次判断即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：观察尺规作图的痕迹可得，垂直平分，平分，
垂直平分，
，
，
， ，
，，
，
平分，
，
故答案为：C.
【分析】观察尺规作图的痕迹可得DF是垂直平分线，AE是角平分线，先利用垂直平分线的性质证得等腰三角形进而得到的度数，再通过三角形内角和求得的度数，然后利用角平分线的定义求得的度数.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=22-4(k-2)×（-1）＞0且k-2≠0，
解得：k＞1且k≠2.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式22-4(k-2)×（-1）＞0，并根据一元二次方程的二次项系数不为0可得k-2≠0，解之可求解.
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠EBC=∠ECB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∵BC=4，∴EC=BE=BC=4，
∵AB=1，CD=6，
∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10，
∵∠A=90°，
∴AD=.
故答案为：.
【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得△BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.
11．【答案】x（y+2）（y﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
12．【答案】120
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，
∴S菱形ABCD=AC×BD=×24×10=120.
故答案为：120.
【分析】根据菱形的面积等于菱形的两条对角线乘积的一半可求解.
13．【答案】2023
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2+3a-1=0，
∴a2+3a=1，
∴2a2+6a+2021=2（a2+3a）+2021=2×1+2021=2023.
故答案为：2023.
【分析】由题意将a代入一元二次方程，变形可得a2+3a=1，然后整体代换可求解.
14．【答案】90°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置 ，
∴AD=AB，∠ADF=∠B=65°，
∴∠ABD=∠ADB=65°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，
∴∠DAF=∠BAC-∠BAD=25°，
∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=90°
故答案为：90°.
【分析】由旋转的性质得：AD=AB，∠ADF=∠B=65°，根据等边对等角得：∠ABD=∠ADB=65°，再根据三角形内角和定理，求∠BAD，进而求出∠DAF，便可求出∠AFD.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，如下图：
∴，
∵，
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵
∴四边形BHDG是矩形，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，证明得到：DG=AB=4，BC=BG，利用勾股定理求出AG=3，从而得到BC=BG=7，再证明四边形BHDG是矩形，得到DH=BG，BH=DG，则CH=BC-BH=3，即可利用勾股定理得到CD的长.
16．【答案】（1）解：3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）解：2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由题意将（x-1）看作一个整体，然后用直接开平方法可求解；
（2）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
17．【答案】解：原式=
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对于括号内的式子进行通分，除式分子分母进行因式分解，最后在进行约分即可.
18．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；
⑵如图，△A2B2C2即为所求；
⑶（1，0）；
⑷（0，7）．
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，根据题意并结合网格图的特征画图即可；
（2）如图，根据题意并结合网格图的特征画图即可；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标为（0，7）；
故答案为：（0，7）.
【分析】（1）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点A3、B3、C3即可；
（4）根据平行四边形的判定和题意画出图形即可.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB 中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCA=∠DAC，由等角对等边可得CD=AD，结合已知可得AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质可得OA=OC，BD⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=OA=OC，在Rt△AOB 中，用勾股定理求出OA=OE的值即可.
20．【答案】（1）解：设甲款T恤单价为元，则乙款T恤单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
∴
答：甲款恤单价为50元，乙款恤单价为55元；
（2）解：依题意得：甲售价（元/件）
设销售乙款T恤件
依题意得：
解得：
∴乙款T恤至少要销售40件
答：乙款恤至少要销售40件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍；购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元；这里包含两个数量关系，再设未知数，列方程，然后求解即可.
（2）根据题意求出甲售价，设销售乙款T恤a件，根据题意可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
21．【答案】（1）解：①2；
函数图象如图所示．
（2）﹣1；0；x＞﹣1
（3）﹣3＜x＜0
（4）﹣1＜k＜
【知识点】分段函数；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）①由表格中的信息可得：a=2；
②由题意画出即可；
（2）①∵，且，
∴当x=-1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0；
②由图知：当x＞-1时，y随x的增大而增大；
（3）由图知：不等式的解集为：-3＜x＜0；
（4） 若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是：-1＜x＜.
【分析】（1）①由表格中的信息可得：a=2；
②由题意画出即可；
（2）①由图知：当x=-1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0；
②由图知：当x＞-1时， y随x的增大而增大；
（3）由图知：不等式的解集为：-3＜x＜0；
（4）根据图象中的信息可求解.
22．【答案】（1）AB＝CF+BD
（2）解：CF＝AB+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥CD，∠AEC＝∠CEF＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠CDB＝∠ADE，∴∠BCD＝∠DAE，
∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BD＝BF，
∵CF＝CB+BF，∴CF＝AB+BD；
（3）3-3或3+3
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：AB=BD+CF；理由如下：
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBC=90°，∠AFB+∠BAF=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠CFE=90°，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠BCD=∠BAF，
∴△BCD≌△BAF（ASA）
∴BF=BD，
∵BC=BF+CF，
∴AB=BC=BD+CF；
（3）①点D在线段AB的延长线上，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBC=90°，∠AFB+∠BAF=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠CFE=90°，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠BCD=∠BAF，
∴△BCD≌△BAF（ASA）
∴BF=BD，
∵AB=3，CF=3，
∴BD=BF=BC+CF=AB+CF=3+3；
②点D在线段AB上，
同理可证△BCD≌△BAF，
∴BD=BF，
∵AB=3，CF=3，
∴BD=CF-CB=CF-AB=3-3；
故答案为：3+3或3-3.
【分析】（1）AB=BD+CF；理由如下：由等角的余角相等可得：∠BCD=∠BAF，结合已知用角边角可证△BCD≌△BAF，于是BF=BD，再根据线段的构成可求解；
（2）同理可求解；
（3）根据题意，分两种情况：①点D在线段AB的延长线上，②点D在线段AB上讨论即可求解.
1 / 1广东省深圳市光明区李松蓢学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（共10小题）
1．（2023八下·南山期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义 ，
∴，
解得： x≠3
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件，得，求解即可.
2．（2023八下·深圳期末）“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】一个图形绕一个点旋转180度后，得到的图形和原来的图形完全一样，那么这个图形叫做中心对称图形。根据中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
3．（2023九上·光明开学考）若x＜y，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＜y，∴x-6＜y-6，该选项不符合题意；
B、∵x＜y，∴5x＜5y，该选项不符合题意；
C、∵x＜y，∴x+2＜y+2，该选项不符合题意；
D、∵x＜y，∴，该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变.由不等式的性质并结合各选项可判断求解.
4．（2023八下·南山期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）
D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2 是整式的乘法运算，不符合题意；
B、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 是整式的乘法运算，不符合题意；
C、 2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1） 从左到右的变形为因式分解，符合题意；
D、 x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，进行判断即可.
5．（2022九上·余杭期中）如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，据此建立方程，求解即可.
6．（2023九上·光明开学考）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，选项不符合题意；
B、四条边相等的四边形是菱形，选项不符合题意；
C、 矩形的对角线相等，选项符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别根据矩形、菱形的性质和判定依次判断即可求解.
7．（2023八下·龙岗期末）如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：观察尺规作图的痕迹可得，垂直平分，平分，
垂直平分，
，
，
， ，
，，
，
平分，
，
故答案为：C.
【分析】观察尺规作图的痕迹可得DF是垂直平分线，AE是角平分线，先利用垂直平分线的性质证得等腰三角形进而得到的度数，再通过三角形内角和求得的度数，然后利用角平分线的定义求得的度数.
8．（2023九上·光明开学考）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=22-4(k-2)×（-1）＞0且k-2≠0，
解得：k＞1且k≠2.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式22-4(k-2)×（-1）＞0，并根据一元二次方程的二次项系数不为0可得k-2≠0，解之可求解.
9．（2023八下·深圳期末）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
10．（2023九上·光明开学考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．2+3
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠EBC=∠ECB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∵BC=4，∴EC=BE=BC=4，
∵AB=1，CD=6，
∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10，
∵∠A=90°，
∴AD=.
故答案为：.
【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得△BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.
二、填空题（共5小题）
11．（2017·宜宾）分解因式：xy2﹣4x= ．
【答案】x（y+2）（y﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
12．（2023九上·光明开学考）如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】120
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，
∴S菱形ABCD=AC×BD=×24×10=120.
故答案为：120.
【分析】根据菱形的面积等于菱形的两条对角线乘积的一半可求解.
13．（2023九上·光明开学考）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
【答案】2023
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2+3a-1=0，
∴a2+3a=1，
∴2a2+6a+2021=2（a2+3a）+2021=2×1+2021=2023.
故答案为：2023.
【分析】由题意将a代入一元二次方程，变形可得a2+3a=1，然后整体代换可求解.
14．（2023八下·南山期末）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ ．
【答案】90°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置 ，
∴AD=AB，∠ADF=∠B=65°，
∴∠ABD=∠ADB=65°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，
∴∠DAF=∠BAC-∠BAD=25°，
∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=90°
故答案为：90°.
【分析】由旋转的性质得：AD=AB，∠ADF=∠B=65°，根据等边对等角得：∠ABD=∠ADB=65°，再根据三角形内角和定理，求∠BAD，进而求出∠DAF，便可求出∠AFD.
15．（2023八下·南山期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，如下图：
∴，
∵，
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵
∴四边形BHDG是矩形，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】过D作DH⊥BC于H，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于G，证明得到：DG=AB=4，BC=BG，利用勾股定理求出AG=3，从而得到BC=BG=7，再证明四边形BHDG是矩形，得到DH=BG，BH=DG，则CH=BC-BH=3，即可利用勾股定理得到CD的长.
三、解答题（共7小题）
16．（2023九上·光明开学考）解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【答案】（1）解：3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）解：2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由题意将（x-1）看作一个整体，然后用直接开平方法可求解；
（2）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
17．（2023八下·南山期末）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对于括号内的式子进行通分，除式分子分母进行因式分解，最后在进行约分即可.
18．（2023九上·光明开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
⑴若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
⑵将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
⑶将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为 ▲ ；
⑷以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 ▲ ．
【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；
⑵如图，△A2B2C2即为所求；
⑶（1，0）；
⑷（0，7）．
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，根据题意并结合网格图的特征画图即可；
（2）如图，根据题意并结合网格图的特征画图即可；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标为（0，7）；
故答案为：（0，7）.
【分析】（1）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）根据旋转的性质分别作出A、B、C的对应点A3、B3、C3即可；
（4）根据平行四边形的判定和题意画出图形即可.
19．（2023九上·光明开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB 中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCA=∠DAC，由等角对等边可得CD=AD，结合已知可得AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质可得OA=OC，BD⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=OA=OC，在Rt△AOB 中，用勾股定理求出OA=OE的值即可.
20．（2023八下·深圳期末）某服装店老板用4000元购进了一批甲款恤，用8800元购进了一批乙款恤，已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的2倍，购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种恤的标价都定为每件100元，甲款恤打九折销售，乙款恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件？
【答案】（1）解：设甲款T恤单价为元，则乙款T恤单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
∴
答：甲款恤单价为50元，乙款恤单价为55元；
（2）解：依题意得：甲售价（元/件）
设销售乙款T恤件
依题意得：
解得：
∴乙款T恤至少要销售40件
答：乙款恤至少要销售40件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍；购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元；这里包含两个数量关系，再设未知数，列方程，然后求解即可.
（2）根据题意求出甲售价，设销售乙款T恤a件，根据题意可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
21．（2023九上·光明开学考）数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数y＝|x+1|的图象．
①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 a 1 0 1 2 3 …
其中，表格中a的值为 ▲ ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝ 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 ；
②当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】（1）解：①2；
函数图象如图所示．
（2）﹣1；0；x＞﹣1
（3）﹣3＜x＜0
（4）﹣1＜k＜
【知识点】分段函数；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）①由表格中的信息可得：a=2；
②由题意画出即可；
（2）①∵，且，
∴当x=-1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0；
②由图知：当x＞-1时，y随x的增大而增大；
（3）由图知：不等式的解集为：-3＜x＜0；
（4） 若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是：-1＜x＜.
【分析】（1）①由表格中的信息可得：a=2；
②由题意画出即可；
（2）①由图知：当x=-1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0；
②由图知：当x＞-1时， y随x的增大而增大；
（3）由图知：不等式的解集为：-3＜x＜0；
（4）根据图象中的信息可求解.
22．（2023九上·光明开学考）在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
（1）【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为 ．
【答案】（1）AB＝CF+BD
（2）解：CF＝AB+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥CD，∠AEC＝∠CEF＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠CDB＝∠ADE，∴∠BCD＝∠DAE，
∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BD＝BF，
∵CF＝CB+BF，∴CF＝AB+BD；
（3）3-3或3+3
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：AB=BD+CF；理由如下：
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBC=90°，∠AFB+∠BAF=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠CFE=90°，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠BCD=∠BAF，
∴△BCD≌△BAF（ASA）
∴BF=BD，
∵BC=BF+CF，
∴AB=BC=BD+CF；
（3）①点D在线段AB的延长线上，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBC=90°，∠AFB+∠BAF=90°，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠CFE=90°，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠BCD=∠BAF，
∴△BCD≌△BAF（ASA）
∴BF=BD，
∵AB=3，CF=3，
∴BD=BF=BC+CF=AB+CF=3+3；
②点D在线段AB上，
同理可证△BCD≌△BAF，
∴BD=BF，
∵AB=3，CF=3，
∴BD=CF-CB=CF-AB=3-3；
故答案为：3+3或3-3.
【分析】（1）AB=BD+CF；理由如下：由等角的余角相等可得：∠BCD=∠BAF，结合已知用角边角可证△BCD≌△BAF，于是BF=BD，再根据线段的构成可求解；
（2）同理可求解；
（3）根据题意，分两种情况：①点D在线段AB的延长线上，②点D在线段AB上讨论即可求解.
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