浙江省金华市第五中学2022-2023学年八年级上学期期初考试数学试卷
1．（2022八上·金华开学考）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2．（2022八上·金华开学考）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
3．（2022八上·金华开学考）下列命题：（1）无限循环小数是无理数；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（5）面积相等的两个三角形全等，是假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022八上·金华开学考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C，D、E在BC上，BD＝CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022八上·金华开学考）如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝52°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE＝（ ）
A．45° B．41° C．40° D．50°
6．（2022八上·金华开学考）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（2022八上·金华开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF；⑤BC＝AD．其中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2022八上·金华开学考）在△ABC中，AC＝6，中线AD＝10，则AB边的取值范围是（ ）
A．16＜AB＜22 B．14＜AB＜26 C．16＜AB＜26 D．14＜AB＜22
9．（2022八上·金华开学考）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
10．（2022八上·金华开学考）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（ ）个．
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个
11．（2022八上·金华开学考）已知a2n＝4，b4n＝36，则an b2n的值为 ．
12．（2022八上·金华开学考）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ．
13．（2022八上·金华开学考）一个三角形的两个内角分别为50°和75°，则这个三角形的外角是 度．
14．（2022八上·金华开学考）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形．
15．（2022八上·金华开学考）如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为 ．
16．（2022八上·金华开学考）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第n个图形有 个黑色棋子．
17．（2022八上·金华开学考）计算：
（1）（﹣2）﹣2﹣20220﹣；
（2）因式分解：16x4﹣16x3y+4xy3﹣y4．
18．（2022八上·金华开学考）
（1）解方程组：；
（2）解方程：＝．
19．（2022八上·金华开学考）若（m﹣3）m＝π0，求代数式2m2+3m﹣4的值．
20．（2022八上·金华开学考）如图，O是线段AC、DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，
求证：OB＝OC．
21．（2022八上·金华开学考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
22．（2022八上·金华开学考）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？
23．（2022八上·金华开学考）如图：
【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ▲ ．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
24．（2022八上·金华开学考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B和∠C互余，∠BAD和∠CAD互余，
∵AD⊥BC，
∴∠B和∠BAD互余，∠C和∠CAD互余，
∴互余的角有4对.
故答案为：C.
【分析】根据互余定义，即两锐角之和为90°时，这两锐角互为余角，由∠BAC=90°，AD⊥BC，即可得出互为余角的角.
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵2x-3y=3，3y-4z=5，
∴2x-4z=8，即x-2z=4，
又∵x+2z=8，
∴2x=12，解得x=6，
∴z=1，
∴3x2-12z2=3×62-12×12=96.
故答案为：C.
【分析】由2x-3y=3，3y-4z=5可得x-2z=4，再结合x+2z=8，可得2x=12，解得x，再代入求出z的值，最后把x和z的值代入3x2-12z2中，计算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）无限循环小数就是无理数，命题错误，符合题意；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数，命题正确，不符合题意；
（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行，命题错误，符合题意；
（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意；
（5）面积相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意，
∴是假命题的有4个.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数是无理数；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；有两边及其两边的夹角对应相等的两个三角形全等；形状一样、大小相等的两个三角形全等，面积相等的两个三角形不一定全等. 据此逐项分析，即可得出符合题意的选项.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
又∵AF=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴全等的三角形有3对.
故答案为：C.
【分析】由SAS定理可证△ABD≌△ACE，再由HL定理可证Rt△ADF≌Rt△AEF，Rt△ABF≌Rt△ACF，即可确定全等三角形的对数．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-46°-52°＝82°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×82°＝41°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝41°．
故答案为：B．
【分析】先由三角形的内角和定理求出∠BAC，再由角平分线的定义得∠BAD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°-∠A-∠ABE-∠ACD＝180°-60°-40°-30°＝50°，
∴∠D+∠E＝∠1+∠2=50°.
故答案为：C．
【分析】先由三角形内角和，求得∠1和∠2的和，再由三角形内角和得到∠D+∠E=∠1+∠2，即可求得∠D+∠E的度数．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC，
∴AD上任意一点到点C和点B的距离相等，
∴①正确，符合题意；
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD上任意一点到AB，AC的距离相等，
∴②正确，符合题意；
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴③正确，符合题意；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠CBE，
又∵BD＝CD，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DF＝DC＝BD＝DE，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠DBE＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CDF，
∴④正确，符合题意；
∵条件不足，无法证明BC＝AD，
∴⑤错误，不符合题意，
综上所述，正确的个数为4个.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，可判断①、②、③，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，因为条件不足无法判断BC和AD的数量关系，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：依据题意，画图如下：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝10，
∴AE＝2AD=20，
∵AE-AC＜CE＜AE+AC
∴14＜CE＜26，
∴14＜AB＜26.
故答案为：B.
【分析】依据题意，画出图形，延长AD至E，使DE＝AD，利用“SAS”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，最后利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知：（a+b）2-4ab＝40，
整理得：a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知：（2a+b）（a+2b）-5ab＝100，
整理得：a2+b2＝50②，
由①-②得：2ab＝10，
∴ab＝5，
∴长方形的面积为5.
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1可得a2+b2＝2ab+40①，由图2可得a2+b2＝50②，再由①-②得：2ab＝10，求出ab，即可确定小长方形的面积．
10．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵△ABC与△BDE是全等的等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠EBD＝∠BED=60°，AB＝BC＝AC＝BE＝BD＝DE，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∠BCD＝∠BDC＝30°，
∴∠AED＝90°，∠BCD+∠AEB＝60°，
∴①、②正确，符合题意；
∵∠BDC＝∠EDC＝30°，BD=DE，DO=OD，
∴△BDO≌△EDO（SAS），
∴BO＝EO，∠OBD＝∠OED＝90°，∠DOB＝∠DOE，
∴∠OBE＝∠OEB＝30°，OB⊥AD，
∴③正确，符合题意；
∴∠DOB＝∠DOE＝60°，
∴∠AOB＝60°，
∴OB平分∠AOD，
∵∠CBE＝180°-∠ABC-∠DBE＝60°，∠OBE＝30°，
∴∠CBO＝∠EBO＝30°，
∴OB平分∠CBE，
∴⑤正确，符合题意；
∵∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD＝120°，
又∵BE＝BD，AB＝BC，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∴④正确，符合题意；
∵OB＝OE，
∴AO+OB＝AO+OE＝AE，
在Rt△AED中，AD＞AE，
∴AO+OB≠AD，
∴⑥错误，不符合题意，
综上所述，一定成立的有5个.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质和等边三角形性质，以及利用“SAS”定理，角平分线的定义、三角形的三边关系，逐项进行分析即可判断.
11．【答案】±12
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵a2n＝4，b4n＝36，
∴（an）2＝4，（b2n）2＝36，
∴an＝±2，b2n＝±6，
∴anb2n＝（±2）×（±6）＝±12.
故答案为：±12．
【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则，由a2n＝4，b4n＝36，求得an＝±2，b2n＝±6，代入计算，即可求出答案．
12．【答案】
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：设第一个图形中下底面积为S，
∵正立放置时，有墨水部分的体积是aS；倒立放置时，空余部分的体积为bS，
∴墨水的体积约占玻璃瓶容积的=.
故答案为：.
【分析】设第一个图形中下底面积为为S，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，再由墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．
13．【答案】30或105或125
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和75°，
∴这个三角形的外角为：180°-50°＝130°，180°-75°＝105°，50°+75°＝125°．
故答案为：130°或105°或125°．
【分析】根据三角形的内角与相邻的外角互为补角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别求出三角形的外角，即可求解．
14．【答案】12
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴有12种可能情况，即①2、11、11；②3、10、11；③4、9、11；④4、10、10；⑤5、8、11；⑥5、9、10；⑦6、7、11；⑧6、8、10；⑨6、9、9；⑩7、7、10； 7、8、9； 8、8、8．
故答案为：12．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出12种可能情况.
15．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ABE＝S△ABC＝12，
又∵AD＝2BD，
∴S△BCD＝S△ABC＝8，
∵S△ABE-S△BCD＝（S1+S四边形BEFD） （S2+S四边形BEFD）＝S1 S2＝4.
故答案为：4．
【分析】由题意结合图形可得S△ADF-S△CEF＝S△ABE-S△BCD，分别求出三角形△ABE的面积和△BCD的面积，又由AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝24，就可以求出△ABE的面积和△BCD的面积，即可求解.
16．【答案】（3n-2）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图形可知：
第1个图形有1颗黑色棋子，
第2个图形有4颗黑色棋子，
第3个图形有7颗黑色棋子，
第4个图形有10颗黑色棋子，
……
第n个图形有棋子个数1+3（n-1）＝3n-2.
故答案为：（3n﹣2）．
【分析】据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，用含n的代数式表示即可求出答案．
17．【答案】（1）解：原式＝﹣1﹣+3
＝
（2）解：原式＝16x4﹣y4﹣16x3y+4xy3
＝（4x2+y2）（4x2﹣y2）﹣4xy（4x2﹣y2）
＝（4x2﹣y2）（4x2+y2﹣4xy）
＝（2x+y）（2x﹣y）（2x﹣y）2
＝（2x+y）（2x﹣y）3．
【知识点】实数的运算；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和算术平方根的定义计算，再计算有理数的加减运算；
（2）先分组为16x4﹣y4﹣16x3y+4xy3，再对每组分解因式得到公因式（4x2﹣y2），接着提公因式得到原式＝（4x2﹣y2）（4x2+y2﹣4xy），最后利用公式法分解因式．
18．【答案】（1）解：将2x+3y＝16记作①，x+2y＝10记作②，
②×2，得2x+4y＝20③，
③﹣①，得y＝4，
将y＝4代入②，得x+8＝10，
∴x＝2，
∴这个方程组的解为.
（2）解：∵＝，
∴，
方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得x+2+2（x﹣3）＝-2（x+3），
去括号，得x+2+2x﹣6＝﹣2x﹣6，
移项，得x+2x+2x＝﹣6+6﹣2，
合并同类项，得5x＝﹣2，
x的系数化为1，得x＝﹣，
当x＝﹣，（x+3）（x﹣3）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝﹣．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）分别给原方程组的方程编号为①、②，再利用加减消元法求解方程组即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，再由去括号、移项合并同类项、系数化为1解得x，代入最简公分母检验，即可求解分式方程.
19．【答案】解：∵（m﹣3）m＝π0，
∴（m﹣3）m＝1，
∴m＝0或m＝4或m＝2，
当m＝0时，
原式＝2×02+3×0﹣2＝﹣2；
当m＝4时，
原式＝2×42+3×4﹣2＝32+12﹣2＝42；
当m＝2时，
原式＝2×22+3×2﹣2＝8+6﹣2＝12，
综上，代数式2m2+3m﹣4的值﹣2或42或12．
【知识点】代数式求值；零指数幂
【解析】【分析】先利用零指数幂的意义，求得m的值，再分别把符合题意的m值代入代数式2m2+3m﹣4中，计算求解即可.
20．【答案】证明：如图所示，连接BC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】如图所示，连接BC，根据已知条件证明出△ABC≌△DCB，从而得出∠ACB＝∠DBC，即可证明结论.
21．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：BD⊥CE，证明如下：
由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥CE．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE＝90°，推出∠BAD＝∠CAE，又有AB＝AC，AD＝AE，利用“SAS”定理证出△BAD≌△CAE；
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，得∠ADB＝∠E，再由角的互余关系等量代换得∠BDE＝90°，从而得出BD⊥CE．
22．【答案】解：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8．
∵AP＝2t，
∴S△APE＝×2t×6＝10，
∴t＝；
如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，
∵E是DC的中点，
∴DE＝CE＝4，
∵BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，
∴S＝（4+8）×6﹣×（2t﹣8）×8﹣（14﹣2t）×4＝10，
解得：t＝7.5＞7（舍去）；
如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9时，
PE＝18﹣2t，
∴S△APE＝（18﹣2t）×6＝10，
解得：t＝，
综上所述，当t＝或时，△APE的面积等于10．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】依据题意，分为三种情况讨论：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，由S△APE＝S四边形AECB﹣S△PCE﹣S△PAB建立方程求解即可；如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9时，由S△APE＝（18﹣2t）×6＝10建立方程求解即可．
23．【答案】【问题背景】EF＝BE+FD
【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）【问题背景】：EF＝BE+FD，理由如下：
如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD.
故答案为EF＝BE+FD；
【分析】（1）【问题背景】结论：EF＝BE+FD. 如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，利用“SAS”定理分别证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，再利用线段的和差关系等量代换即可得结论；
（2）【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立. 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，同【问题背景】证明方法类似，证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，利用线段的和差关系等量代换即可得到结论仍成立.
24．【答案】（1）90
（2）解：①当点D在线段BC上移动时α+β＝180°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°；
②当点D在直线BC上移动时，分三种情况：
（Ⅰ）点D在线段BC上时α+β＝180°，证明方法同①；
（Ⅱ）点D在射线BC上时α+β＝180°，如下图：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，
∴α+β＝180°；
（Ⅲ）当点D在射线CB上时α＝β，如下图：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
∴α＝β，
综上所述，当点D在直线BC上移动时α+β＝180°或α＝β.
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∠BCE＝90°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°；
【分析】（1）利用“SAS”定理证出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，再根据角的等量关系代换得∠BCE＝∠B+∠ACB，即可求得∠BCE的度数；
（2）①问在第（1）问的基础上，将α+β转化成△ABC的内角和，即可得出结论；②问在第（1）问和第（2）问的①问基础上，分析三种情况：（Ⅰ）点D在线段BC上时α+β＝180°；（Ⅱ）点D在射线BC上时α+β＝180°；（Ⅲ）当点D在射线CB上时α＝β.
1 / 1浙江省金华市第五中学2022-2023学年八年级上学期期初考试数学试卷
1．（2022八上·金华开学考）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B和∠C互余，∠BAD和∠CAD互余，
∵AD⊥BC，
∴∠B和∠BAD互余，∠C和∠CAD互余，
∴互余的角有4对.
故答案为：C.
【分析】根据互余定义，即两锐角之和为90°时，这两锐角互为余角，由∠BAC=90°，AD⊥BC，即可得出互为余角的角.
2．（2022八上·金华开学考）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵2x-3y=3，3y-4z=5，
∴2x-4z=8，即x-2z=4，
又∵x+2z=8，
∴2x=12，解得x=6，
∴z=1，
∴3x2-12z2=3×62-12×12=96.
故答案为：C.
【分析】由2x-3y=3，3y-4z=5可得x-2z=4，再结合x+2z=8，可得2x=12，解得x，再代入求出z的值，最后把x和z的值代入3x2-12z2中，计算求解即可.
3．（2022八上·金华开学考）下列命题：（1）无限循环小数是无理数；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（5）面积相等的两个三角形全等，是假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）无限循环小数就是无理数，命题错误，符合题意；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数，命题正确，不符合题意；
（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行，命题错误，符合题意；
（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意；
（5）面积相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意，
∴是假命题的有4个.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数是无理数；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；有两边及其两边的夹角对应相等的两个三角形全等；形状一样、大小相等的两个三角形全等，面积相等的两个三角形不一定全等. 据此逐项分析，即可得出符合题意的选项.
4．（2022八上·金华开学考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C，D、E在BC上，BD＝CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
又∵AF=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴全等的三角形有3对.
故答案为：C.
【分析】由SAS定理可证△ABD≌△ACE，再由HL定理可证Rt△ADF≌Rt△AEF，Rt△ABF≌Rt△ACF，即可确定全等三角形的对数．
5．（2022八上·金华开学考）如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝52°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE＝（ ）
A．45° B．41° C．40° D．50°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-46°-52°＝82°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×82°＝41°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝41°．
故答案为：B．
【分析】先由三角形的内角和定理求出∠BAC，再由角平分线的定义得∠BAD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD，即可求解.
6．（2022八上·金华开学考）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°-∠A-∠ABE-∠ACD＝180°-60°-40°-30°＝50°，
∴∠D+∠E＝∠1+∠2=50°.
故答案为：C．
【分析】先由三角形内角和，求得∠1和∠2的和，再由三角形内角和得到∠D+∠E=∠1+∠2，即可求得∠D+∠E的度数．
7．（2022八上·金华开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF；⑤BC＝AD．其中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC，
∴AD上任意一点到点C和点B的距离相等，
∴①正确，符合题意；
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD上任意一点到AB，AC的距离相等，
∴②正确，符合题意；
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴③正确，符合题意；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠CBE，
又∵BD＝CD，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DF＝DC＝BD＝DE，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠DBE＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CDF，
∴④正确，符合题意；
∵条件不足，无法证明BC＝AD，
∴⑤错误，不符合题意，
综上所述，正确的个数为4个.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，可判断①、②、③，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，因为条件不足无法判断BC和AD的数量关系，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.
8．（2022八上·金华开学考）在△ABC中，AC＝6，中线AD＝10，则AB边的取值范围是（ ）
A．16＜AB＜22 B．14＜AB＜26 C．16＜AB＜26 D．14＜AB＜22
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：依据题意，画图如下：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝10，
∴AE＝2AD=20，
∵AE-AC＜CE＜AE+AC
∴14＜CE＜26，
∴14＜AB＜26.
故答案为：B.
【分析】依据题意，画出图形，延长AD至E，使DE＝AD，利用“SAS”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，最后利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
9．（2022八上·金华开学考）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知：（a+b）2-4ab＝40，
整理得：a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知：（2a+b）（a+2b）-5ab＝100，
整理得：a2+b2＝50②，
由①-②得：2ab＝10，
∴ab＝5，
∴长方形的面积为5.
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1可得a2+b2＝2ab+40①，由图2可得a2+b2＝50②，再由①-②得：2ab＝10，求出ab，即可确定小长方形的面积．
10．（2022八上·金华开学考）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（ ）个．
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵△ABC与△BDE是全等的等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠EBD＝∠BED=60°，AB＝BC＝AC＝BE＝BD＝DE，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∠BCD＝∠BDC＝30°，
∴∠AED＝90°，∠BCD+∠AEB＝60°，
∴①、②正确，符合题意；
∵∠BDC＝∠EDC＝30°，BD=DE，DO=OD，
∴△BDO≌△EDO（SAS），
∴BO＝EO，∠OBD＝∠OED＝90°，∠DOB＝∠DOE，
∴∠OBE＝∠OEB＝30°，OB⊥AD，
∴③正确，符合题意；
∴∠DOB＝∠DOE＝60°，
∴∠AOB＝60°，
∴OB平分∠AOD，
∵∠CBE＝180°-∠ABC-∠DBE＝60°，∠OBE＝30°，
∴∠CBO＝∠EBO＝30°，
∴OB平分∠CBE，
∴⑤正确，符合题意；
∵∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD＝120°，
又∵BE＝BD，AB＝BC，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∴④正确，符合题意；
∵OB＝OE，
∴AO+OB＝AO+OE＝AE，
在Rt△AED中，AD＞AE，
∴AO+OB≠AD，
∴⑥错误，不符合题意，
综上所述，一定成立的有5个.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的性质和等边三角形性质，以及利用“SAS”定理，角平分线的定义、三角形的三边关系，逐项进行分析即可判断.
11．（2022八上·金华开学考）已知a2n＝4，b4n＝36，则an b2n的值为 ．
【答案】±12
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵a2n＝4，b4n＝36，
∴（an）2＝4，（b2n）2＝36，
∴an＝±2，b2n＝±6，
∴anb2n＝（±2）×（±6）＝±12.
故答案为：±12．
【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则，由a2n＝4，b4n＝36，求得an＝±2，b2n＝±6，代入计算，即可求出答案．
12．（2022八上·金华开学考）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：设第一个图形中下底面积为S，
∵正立放置时，有墨水部分的体积是aS；倒立放置时，空余部分的体积为bS，
∴墨水的体积约占玻璃瓶容积的=.
故答案为：.
【分析】设第一个图形中下底面积为为S，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，再由墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．
13．（2022八上·金华开学考）一个三角形的两个内角分别为50°和75°，则这个三角形的外角是 度．
【答案】30或105或125
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和75°，
∴这个三角形的外角为：180°-50°＝130°，180°-75°＝105°，50°+75°＝125°．
故答案为：130°或105°或125°．
【分析】根据三角形的内角与相邻的外角互为补角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别求出三角形的外角，即可求解．
14．（2022八上·金华开学考）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴有12种可能情况，即①2、11、11；②3、10、11；③4、9、11；④4、10、10；⑤5、8、11；⑥5、9、10；⑦6、7、11；⑧6、8、10；⑨6、9、9；⑩7、7、10； 7、8、9； 8、8、8．
故答案为：12．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出12种可能情况.
15．（2022八上·金华开学考）如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ABE＝S△ABC＝12，
又∵AD＝2BD，
∴S△BCD＝S△ABC＝8，
∵S△ABE-S△BCD＝（S1+S四边形BEFD） （S2+S四边形BEFD）＝S1 S2＝4.
故答案为：4．
【分析】由题意结合图形可得S△ADF-S△CEF＝S△ABE-S△BCD，分别求出三角形△ABE的面积和△BCD的面积，又由AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝24，就可以求出△ABE的面积和△BCD的面积，即可求解.
16．（2022八上·金华开学考）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第n个图形有 个黑色棋子．
【答案】（3n-2）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图形可知：
第1个图形有1颗黑色棋子，
第2个图形有4颗黑色棋子，
第3个图形有7颗黑色棋子，
第4个图形有10颗黑色棋子，
……
第n个图形有棋子个数1+3（n-1）＝3n-2.
故答案为：（3n﹣2）．
【分析】据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，用含n的代数式表示即可求出答案．
17．（2022八上·金华开学考）计算：
（1）（﹣2）﹣2﹣20220﹣；
（2）因式分解：16x4﹣16x3y+4xy3﹣y4．
【答案】（1）解：原式＝﹣1﹣+3
＝
（2）解：原式＝16x4﹣y4﹣16x3y+4xy3
＝（4x2+y2）（4x2﹣y2）﹣4xy（4x2﹣y2）
＝（4x2﹣y2）（4x2+y2﹣4xy）
＝（2x+y）（2x﹣y）（2x﹣y）2
＝（2x+y）（2x﹣y）3．
【知识点】实数的运算；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和算术平方根的定义计算，再计算有理数的加减运算；
（2）先分组为16x4﹣y4﹣16x3y+4xy3，再对每组分解因式得到公因式（4x2﹣y2），接着提公因式得到原式＝（4x2﹣y2）（4x2+y2﹣4xy），最后利用公式法分解因式．
18．（2022八上·金华开学考）
（1）解方程组：；
（2）解方程：＝．
【答案】（1）解：将2x+3y＝16记作①，x+2y＝10记作②，
②×2，得2x+4y＝20③，
③﹣①，得y＝4，
将y＝4代入②，得x+8＝10，
∴x＝2，
∴这个方程组的解为.
（2）解：∵＝，
∴，
方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得x+2+2（x﹣3）＝-2（x+3），
去括号，得x+2+2x﹣6＝﹣2x﹣6，
移项，得x+2x+2x＝﹣6+6﹣2，
合并同类项，得5x＝﹣2，
x的系数化为1，得x＝﹣，
当x＝﹣，（x+3）（x﹣3）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝﹣．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）分别给原方程组的方程编号为①、②，再利用加减消元法求解方程组即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，再由去括号、移项合并同类项、系数化为1解得x，代入最简公分母检验，即可求解分式方程.
19．（2022八上·金华开学考）若（m﹣3）m＝π0，求代数式2m2+3m﹣4的值．
【答案】解：∵（m﹣3）m＝π0，
∴（m﹣3）m＝1，
∴m＝0或m＝4或m＝2，
当m＝0时，
原式＝2×02+3×0﹣2＝﹣2；
当m＝4时，
原式＝2×42+3×4﹣2＝32+12﹣2＝42；
当m＝2时，
原式＝2×22+3×2﹣2＝8+6﹣2＝12，
综上，代数式2m2+3m﹣4的值﹣2或42或12．
【知识点】代数式求值；零指数幂
【解析】【分析】先利用零指数幂的意义，求得m的值，再分别把符合题意的m值代入代数式2m2+3m﹣4中，计算求解即可.
20．（2022八上·金华开学考）如图，O是线段AC、DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，
求证：OB＝OC．
【答案】证明：如图所示，连接BC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】如图所示，连接BC，根据已知条件证明出△ABC≌△DCB，从而得出∠ACB＝∠DBC，即可证明结论.
21．（2022八上·金华开学考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：BD⊥CE，证明如下：
由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥CE．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE＝90°，推出∠BAD＝∠CAE，又有AB＝AC，AD＝AE，利用“SAS”定理证出△BAD≌△CAE；
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，得∠ADB＝∠E，再由角的互余关系等量代换得∠BDE＝90°，从而得出BD⊥CE．
22．（2022八上·金华开学考）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？
【答案】解：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8．
∵AP＝2t，
∴S△APE＝×2t×6＝10，
∴t＝；
如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，
∵E是DC的中点，
∴DE＝CE＝4，
∵BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，
∴S＝（4+8）×6﹣×（2t﹣8）×8﹣（14﹣2t）×4＝10，
解得：t＝7.5＞7（舍去）；
如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9时，
PE＝18﹣2t，
∴S△APE＝（18﹣2t）×6＝10，
解得：t＝，
综上所述，当t＝或时，△APE的面积等于10．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】依据题意，分为三种情况讨论：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，由S△APE＝S四边形AECB﹣S△PCE﹣S△PAB建立方程求解即可；如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9时，由S△APE＝（18﹣2t）×6＝10建立方程求解即可．
23．（2022八上·金华开学考）如图：
【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ▲ ．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】【问题背景】EF＝BE+FD
【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）【问题背景】：EF＝BE+FD，理由如下：
如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD.
故答案为EF＝BE+FD；
【分析】（1）【问题背景】结论：EF＝BE+FD. 如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，利用“SAS”定理分别证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，再利用线段的和差关系等量代换即可得结论；
（2）【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立. 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，同【问题背景】证明方法类似，证出△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，利用线段的和差关系等量代换即可得到结论仍成立.
24．（2022八上·金华开学考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90
（2）解：①当点D在线段BC上移动时α+β＝180°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°；
②当点D在直线BC上移动时，分三种情况：
（Ⅰ）点D在线段BC上时α+β＝180°，证明方法同①；
（Ⅱ）点D在射线BC上时α+β＝180°，如下图：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，
∴α+β＝180°；
（Ⅲ）当点D在射线CB上时α＝β，如下图：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
∴α＝β，
综上所述，当点D在直线BC上移动时α+β＝180°或α＝β.
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∠BCE＝90°，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°；
【分析】（1）利用“SAS”定理证出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，再根据角的等量关系代换得∠BCE＝∠B+∠ACB，即可求得∠BCE的度数；
（2）①问在第（1）问的基础上，将α+β转化成△ABC的内角和，即可得出结论；②问在第（1）问和第（2）问的①问基础上，分析三种情况：（Ⅰ）点D在线段BC上时α+β＝180°；（Ⅱ）点D在射线BC上时α+β＝180°；（Ⅲ）当点D在射线CB上时α＝β.
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