湖南省长沙外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023九上·长沙开学考）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·卢龙期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2023九上·长沙开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017·泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
5．（2021八下·肇州期末）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023九上·长沙开学考）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞0
7．（2023九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
8．（2019·邵阳模拟）已知抛物线y＝ ﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．（2022九上·长沙开学考）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022九上·长沙开学考）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023九上·长沙开学考）已知m、n是关于x的方程x2+2x-1=0的两个不相等的实数根，则m+n= ．
12．（2019·潍坊模拟）当直线 经过第二、三、四象限时，则 的取值范围是 ．
13．（2023九上·长沙开学考）一次函数的图象与轴的交点坐标是 ．
14．（2023九上·长沙开学考）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于 .
15．（2021八上·吉林期末）点关于x轴对称的点的坐标为 ．
16．（2023九上·长沙开学考）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx-2t＝0（t为实数）在-1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2023九上·长沙开学考）计算：．
18．（2023九上·长沙开学考）解一元二次方程．
19．（2023九上·长沙开学考）为了调查学生每天的零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．
（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是 ；中位数是 ．
（2）求这50名同学零花钱的平均数．
20．（2023九上·长沙开学考）已知某二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当时，的取值范围为 ．（直接写出答案）
21．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的周长为，，求的大小．
22．（2023九上·长沙开学考）为响应国家全民阅读的号召，望月湖社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；
（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2020年图书借阅总量的增长率与前两年相同，那么2019至2020年的人均借阅量增长率是多少？
23．（2023九上·长沙开学考）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如表：
x 10 12 14 16
y 300 240 180 m
（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．
（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为 个，此时，获得日销售利润是 （元）．
（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】∵S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=3，
∵BC=AD=4，
∴EC=1，
连接DE，如图，
∴DE=，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG=．
故答案为：D．
【分析】先求出AB=BE=3，再利用勾股定理求出DE的值，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数y＝，
∴x≥0且x-3≠0，
解得：x≥0且x≠3，
故答案为：C.
【分析】根据函数y＝，求出x≥0且x-3≠0，再计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），
∴OA=3，OB=4，
∴，
∵△AOB是直角三角形，
∴ 原点到直线AB的距离是2.4，
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标先求出OA=3，OB=4，再利用勾股定理求出AB=5，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把(m，0)代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020.
故答案为：C.
【分析】把(m，0)代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值即可；
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】观察二次函数的图象可知：抛物线的开口向下，则a＜0，与y轴交于正半轴，则c＞0；由一次函数的性质可知：当k=a＜0时，直线经过二、四象限；当b=c＞0时，直线与y轴交于正半轴，于是可知直线y=ax+c经过一、二、四象限.
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ m、n是关于x的方程x2+2x-1=0的两个不相等的实数根，
∴，
故答案为：-2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 经过第二、三、四象限，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据一次函数经过的象限，即可判断一次函数的斜率k以及b的符号，根据其得到关于k的不等式，计算得到k的取值范围即可。
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 ，
∴当y=0时，2x+3=0，
解得：，
∴一次函数的图象与轴的交点坐标是 ，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出当y=0时，2x+3=0，再求出，最后求交点坐标即可。
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA，AB//CD，∠FCO=∠OAE，
∵∠FOC=∠AOE，
∴△CFO≌△AEO，
∴，
∴，
即图中阴影部分的面积等于，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质求出OC=OA，AB//CD，∠FCO=∠OAE，再利用全等三角形的判定与性质，三角形的面积等计算求解即可。
15．【答案】(-2，-5)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点关于轴对称点的坐标为：(-2，-5)，
故答案为：(-2，-5)．
【分析】根据坐标轴对称点的坐标特征，即可得出对称点的坐标。
16．【答案】-0.5≤t≤4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：b=-2，
∴二次函数y＝x2-2x=（x-1)2-1，
∴顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时，y=（-1-1)2-1=3，
当x=4时，y＝（4-1)2-1=8，
∵ 关于x的一元二次方程x2+bx-2t＝0（t为实数）在-1＜x≤4的范围内有解，
∴直线y=2t与二次函数y＝x2+bx在-1＜x≤4的范围内有交点，
∴-1≤2t≤8，
解得： -0.5≤t≤4 ，
故答案为： -0.5≤t≤4 .
【分析】根据二次函数的对称轴公式求出b=-2，再求出直线y=2t与二次函数y＝x2+bx在-1＜x≤4的范围内有交点，最后求解即可。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】算术平方根；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法；无理数的绝对值
【解析】【分析】利用算术平方根，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的加减法则等计算求解即可。
18．【答案】解：方程移项得：，
配方得：，
即，
开方，得：，或，
解得：.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意，利用配方法解一元二次方程计算求解即可。
19．【答案】（1）20；20
（2）解：（元）
故平均数为：18
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）观察条形统计图可得：出现次数最多的为20，
∴众数为20；
由题意可得：中位数为：，
故答案为：20；20.
【分析】（1）根据众数和中位数的定义，结合统计图中的数据计算求解即可；
（2）利用加权平均数的计算方法计算求解即可。
20．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
设这个二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（2）当x=-2时， ，
当x=1时，，
当x=-1时，，
∴结合函数图象可得： 当时，的取值范围为： ，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）结合函数图象，根据x的取值范围求出y的取值范围即可。
21．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，即 ，
，
∴四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于点；则于点，
，，
，
∵菱形的周长为，
，
在中，
，
由勾股定理可得：，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ，再求出边形为平行四边形， 最后利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出AB=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．【答案】（1）解：设从2017年至2019年的平均增长率为，
由题意可得：，
（舍），
答：从2017年至2019年的平均增长率为；
（2）解：由题意可得：
2020年图书借阅总量为：（本），
则2019年人均借阅量为：（本），
2020年人均借阅量为：（本），
∴，
2019至2020年的人均借阅量增长率是．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出 2020年图书借阅总量为12960本，再计算求解即可。
23．【答案】（1）解：y是x的一次函数，设y＝kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），
，
解得：，
∴y＝-30x+600，
当x＝16时，m＝120；
∴y与x之间的函数关系式为y＝-30x+600，m的值为120；
（2）75；862.5
（3）解：由题意得：6（-30x+600）≤900，
解得x≥15．
w＝（x-6）（-30x+600）＝-30x2+780x-3600，
即w与x之间的函数关系式为w＝-30x2+780x-3600，
w＝-30x2+780x-3600的对称轴为：x＝-＝13，
∵a＝-30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x＝15时，w最大＝1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：-30×17.5+600=75（个），
（17.5-6）×75=862.5（元），
即当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元，
故答案为：75；862.5.
【分析】（1）利用待定系数法求出 y＝-30x+600， 再计算求解即可；
（2）根据（1）所求的函数解析式计算求解即可；
（3）根据题意先求出 w与x之间的函数关系式为w＝-30x2+780x-3600， 再计算求解即可。
1 / 1湖南省长沙外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023九上·长沙开学考）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2020九上·卢龙期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】∵S甲2=0.35，S乙2=0.15，S丙2=0.25，S丁2=0.27，∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．故选：B
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．
3．（2023九上·长沙开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
4．（2017·泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
5．（2021八下·肇州期末）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=3，
∵BC=AD=4，
∴EC=1，
连接DE，如图，
∴DE=，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG=．
故答案为：D．
【分析】先求出AB=BE=3，再利用勾股定理求出DE的值，最后求解即可。
6．（2023九上·长沙开学考）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞0
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数y＝，
∴x≥0且x-3≠0，
解得：x≥0且x≠3，
故答案为：C.
【分析】根据函数y＝，求出x≥0且x-3≠0，再计算求解即可。
7．（2023九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），
∴OA=3，OB=4，
∴，
∵△AOB是直角三角形，
∴ 原点到直线AB的距离是2.4，
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标先求出OA=3，OB=4，再利用勾股定理求出AB=5，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
8．（2019·邵阳模拟）已知抛物线y＝ ﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2019的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把(m，0)代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以m2﹣m+2019＝1+2019＝2020.
故答案为：C.
【分析】把(m，0)代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值即可；
9．（2022九上·长沙开学考）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
10．（2022九上·长沙开学考）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】观察二次函数的图象可知：抛物线的开口向下，则a＜0，与y轴交于正半轴，则c＞0；由一次函数的性质可知：当k=a＜0时，直线经过二、四象限；当b=c＞0时，直线与y轴交于正半轴，于是可知直线y=ax+c经过一、二、四象限.
二、填空题
11．（2023九上·长沙开学考）已知m、n是关于x的方程x2+2x-1=0的两个不相等的实数根，则m+n= ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ m、n是关于x的方程x2+2x-1=0的两个不相等的实数根，
∴，
故答案为：-2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
12．（2019·潍坊模拟）当直线 经过第二、三、四象限时，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 经过第二、三、四象限，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据一次函数经过的象限，即可判断一次函数的斜率k以及b的符号，根据其得到关于k的不等式，计算得到k的取值范围即可。
13．（2023九上·长沙开学考）一次函数的图象与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 ，
∴当y=0时，2x+3=0，
解得：，
∴一次函数的图象与轴的交点坐标是 ，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出当y=0时，2x+3=0，再求出，最后求交点坐标即可。
14．（2023九上·长沙开学考）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA，AB//CD，∠FCO=∠OAE，
∵∠FOC=∠AOE，
∴△CFO≌△AEO，
∴，
∴，
即图中阴影部分的面积等于，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质求出OC=OA，AB//CD，∠FCO=∠OAE，再利用全等三角形的判定与性质，三角形的面积等计算求解即可。
15．（2021八上·吉林期末）点关于x轴对称的点的坐标为 ．
【答案】(-2，-5)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点关于轴对称点的坐标为：(-2，-5)，
故答案为：(-2，-5)．
【分析】根据坐标轴对称点的坐标特征，即可得出对称点的坐标。
16．（2023九上·长沙开学考）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx-2t＝0（t为实数）在-1＜x≤4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
【答案】-0.5≤t≤4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：b=-2，
∴二次函数y＝x2-2x=（x-1)2-1，
∴顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时，y=（-1-1)2-1=3，
当x=4时，y＝（4-1)2-1=8，
∵ 关于x的一元二次方程x2+bx-2t＝0（t为实数）在-1＜x≤4的范围内有解，
∴直线y=2t与二次函数y＝x2+bx在-1＜x≤4的范围内有交点，
∴-1≤2t≤8，
解得： -0.5≤t≤4 ，
故答案为： -0.5≤t≤4 .
【分析】根据二次函数的对称轴公式求出b=-2，再求出直线y=2t与二次函数y＝x2+bx在-1＜x≤4的范围内有交点，最后求解即可。
三、解答题
17．（2023九上·长沙开学考）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】算术平方根；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法；无理数的绝对值
【解析】【分析】利用算术平方根，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的加减法则等计算求解即可。
18．（2023九上·长沙开学考）解一元二次方程．
【答案】解：方程移项得：，
配方得：，
即，
开方，得：，或，
解得：.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意，利用配方法解一元二次方程计算求解即可。
19．（2023九上·长沙开学考）为了调查学生每天的零花钱情况，对我校初二学年某班50名同学每天零花钱情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．
（1）直接写出这50名同学零花钱数据的众数是 ；中位数是 ．
（2）求这50名同学零花钱的平均数．
【答案】（1）20；20
（2）解：（元）
故平均数为：18
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）观察条形统计图可得：出现次数最多的为20，
∴众数为20；
由题意可得：中位数为：，
故答案为：20；20.
【分析】（1）根据众数和中位数的定义，结合统计图中的数据计算求解即可；
（2）利用加权平均数的计算方法计算求解即可。
20．（2023九上·长沙开学考）已知某二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当时，的取值范围为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
设这个二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（2）当x=-2时， ，
当x=1时，，
当x=-1时，，
∴结合函数图象可得： 当时，的取值范围为： ，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）结合函数图象，根据x的取值范围求出y的取值范围即可。
21．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的周长为，，求的大小．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，即 ，
，
∴四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于点；则于点，
，，
，
∵菱形的周长为，
，
在中，
，
由勾股定理可得：，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ，再求出边形为平行四边形， 最后利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出AB=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．（2023九上·长沙开学考）为响应国家全民阅读的号召，望月湖社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；
（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2020年图书借阅总量的增长率与前两年相同，那么2019至2020年的人均借阅量增长率是多少？
【答案】（1）解：设从2017年至2019年的平均增长率为，
由题意可得：，
（舍），
答：从2017年至2019年的平均增长率为；
（2）解：由题意可得：
2020年图书借阅总量为：（本），
则2019年人均借阅量为：（本），
2020年人均借阅量为：（本），
∴，
2019至2020年的人均借阅量增长率是．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出 2020年图书借阅总量为12960本，再计算求解即可。
23．（2023九上·长沙开学考）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如表：
x 10 12 14 16
y 300 240 180 m
（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．
（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为 个，此时，获得日销售利润是 （元）．
（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）解：y是x的一次函数，设y＝kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），
，
解得：，
∴y＝-30x+600，
当x＝16时，m＝120；
∴y与x之间的函数关系式为y＝-30x+600，m的值为120；
（2）75；862.5
（3）解：由题意得：6（-30x+600）≤900，
解得x≥15．
w＝（x-6）（-30x+600）＝-30x2+780x-3600，
即w与x之间的函数关系式为w＝-30x2+780x-3600，
w＝-30x2+780x-3600的对称轴为：x＝-＝13，
∵a＝-30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x＝15时，w最大＝1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：-30×17.5+600=75（个），
（17.5-6）×75=862.5（元），
即当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元，
故答案为：75；862.5.
【分析】（1）利用待定系数法求出 y＝-30x+600， 再计算求解即可；
（2）根据（1）所求的函数解析式计算求解即可；
（3）根据题意先求出 w与x之间的函数关系式为w＝-30x2+780x-3600， 再计算求解即可。
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