山东省烟台市龙口市龙口市龙矿学校2022-2023学年八年级上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022八上·龙口开学考）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A．x+y B． C． D．
2．（2022八上·龙口开学考）化简后的结果是（ ）
A． B．3 C．± D．
3．（2022·蒙阴模拟）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（ ）
A．ACBD B．AB=BC C．AC=BD D．
4．（2017八下·福清期末）下列二次根式中不能够与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·抚远期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
6．（2022八上·龙口开学考）等式成立的条件是 （ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
7．（2022八上·龙口开学考）甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
8．（2018·聊城）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022八上·龙口开学考）如图，在矩形中，，两条对角线，所夹的钝角为，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
11．（2019八下·合浦期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
二、填空题
13．（2022八上·龙口开学考）若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2020八下·邵阳期末）如图，四边形 的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是 ．
15．（2022八上·龙口开学考）把化为最简二次根式为
16．（2021九上·揭阳月考）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使 ，则四边形 的面积为 ．
17．（2019九下·保山期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为 .
18．（2019·内江）若 ，则 ．
三、解答题
19．（2022八上·龙口开学考）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
20．（2022八上·龙口开学考）计算：
（1）
（2）
（3）
21．（2022八上·龙口开学考）实数a在数轴上的位置如图，化简
22．（2022八上·龙口开学考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．
试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．
23．（2022八上·龙口开学考）如图，在中，，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
24．（2019七下·北京期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细读题干，找出有用信息作为已知条件，然后用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件，而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时更注意发现题目中的隐含条件
（阅读理解）
读下面的解题过程，体会加何发现隐含条件，并回答．
化简： ．解：隐含条件1-3x≥0，解得：x ，∴原式=（1-3x）-（1-x）=1-3x-1+x=-2x
（启发应用）
已知△ABC三条边的长度分别是 ，记△ABC的周长为C△ABC
（1）当x=2时，△ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）．
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A：x+y不含二次根号所以不是二次根式，故A错误；
B：满足二次根式的定义，所以是二次根式，故B正确；
C ：不含二次根号，不是二次根式，故C错误；
D：表示被开方数a的立方根，不是二次根式，故D错误；
故答案为：B.
【分析】判断是否是二次根式一看形是否含有二次根号“”二看被开方数是否是非负数，两个条件缺一不可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】二次根式的化简的应用。
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A．当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；
B．当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形；
C．当AC=BD时，有对角线相等的平行四边形是矩形，故本项不能证明是菱形；
D．当∠DAC=∠BAC，AC平分∠ABD时，易证得AD=DC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形；
故答案为：C．
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】A. =2 ， 与 能合并，不符合题意；
B. = ， 与 能合并，不符合题意；
C. =2 不能与 合并，与要求相符，符合题意；
D. =3 与 能合并，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；把A、B、C、D化成最简二次根式后，判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC =45°，
∵，
∴∠ABE=∠AEB==67.5°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90-67.5°=22.5°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABE=∠AEB==67.5°，再利用角的运算求出∠EBC的度数即可。
6．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题得，解得，故A正确，B、C、D错误
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义条件的考查，被开方数是非负数。
7．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲：，故甲正确；
乙：，故乙正确；
故A正确，B、C、D错误；
故答案为：A.
【分析】二次根式的化简，分母有理化。方法一，分子分母同乘分母的有理化因式，然后约分化简；方法二，分子在实数范围内分解因式，然后约分化简。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： A、 与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、 = = = ，符合题意；
C、 =（5 - ）÷ =5- ，不符合题意；
D、 = ，不符合题意；
故答案为：B
【分析】A、D、二次根式的加减法法则，将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；B、将二次根式的除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则根指数不变，被开方数相乘，即可算出结果；C、根据二次根式的性质，将括号里各个二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则，根指数不变，被开方数相除，算出结果；将计算的各个结果与答案一一比较即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∠DAB=90°
∵∠AOD=120°，∴∠OAD=∠ODA=30°，
在Rt△ABD 中，∠ADB=30°，∴BD=2AB=6，
∴，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可知OA=OD，所以△AOD是等腰三角形，又顶角是120度，可求底角度数。再利用含30度角直角三角形性质以及勾股定理计算求解。
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= =8，
∴AE=2OA=16；
故答案为：C.
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
12．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图1，∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝ CD，FG＝ AB，GH＝ CD，HE＝ AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH为平行四边形.
则A不符合题意；
如图2，当AC⊥BD时，∠1＝90°，
∠1>∠2>∠EHG，∴四边形EHGF不可能是矩形，则B符合题意；
AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGHB是菱形.
则C不符合题意；
如图3，当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形.
∵E，F，H，G是相应线段的三等分点，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，
， ，∴EH＝FG，
又∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，则D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据当E，F，G，H是各条线段的中点时，利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理，易证四边形EFGH是平行四边形。可对A作出判断；当AC⊥BD时，∠1＝90°，可得出∠1>∠2>∠EHG，不能得出∠EHG=90°，可对B作出判断；当AB＝CD时易证四边形EFGH的四边相等，可对C作出判断；当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形，可对D作出判断，继而可得出答案。
13．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题得
故答案为：.
【分析】二次根式有意义也即代数式在实数范围内有意义。
14．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD（答案不唯一）.
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
15．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的乘法对被开方数含有开方开的尽的因数（或因式）的二次根式进行化简。
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2= AB2+32，
解得AB=2 ，
∴S四边形ABCD=BC AE=2 ×3= ．
故答案是：
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC，垂足为E，根据∠ABC=60°求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AB=2BE，接着利用勾股定理求出AB的长，最后利用菱形的面积公式求解即可。
17．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝BC＝10，
∴AC＝
∴BO＝ AC＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠ABC=90°，根据三角形中位线等于第三边的一半得出DC的长，然后根据勾股定理算出AC的长，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OB的长。
18．【答案】1002
【知识点】二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案是：1002．
【分析】根据二次根式有意义的条件使被开方数大于等于0，据此可得a≥1002，然后利用绝对值的性质进行化简并整理可得，从而求出结论.
19．【答案】（1）解：=；
（2）解：=4；
（3）解：==．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】对不是最简二次根式的二次根式进行化简，一种是被开方数含有分母；一种是被开方数含开得尽方的因数或因式，以及前两种兼而有之的二次根式。
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】⑴、二次根式的加减运算，先化简再合并同类二次根式。
⑵、二次根式的乘除加减混合运算，先乘除后加减。
⑶、乘法公式对实数（二次根式）运算依然成立。
21．【答案】解：由数轴可知：，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】由数轴确定a的取值范围，然后进行绝对值的化简，以及二次根式的化简。
22．【答案】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵DE∥AC
∴∠ADE＝∠CAD
∴∠ADE＝∠BAD
∴AE＝DE
∵DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∴AF＝DE，DF＝AE
∴AE＝DE＝AF＝DF
∴四边形AEDF为菱形
∴AD⊥EF．
【知识点】平行线的性质；菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】已知两组平行线可以判定四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行线的性质以及角平分线的定义判定∠EAD=∠EDA，从而判定EA=ED，所以四边形AEDF是菱形，由菱形的性质可以判断AD和EF的位置关系。
23．【答案】（1）证明：∵在中，，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∵，
即，
∴四边形是平行四边形
（2）解：当是等腰三角形，即时，四边形是矩形，理由如下：
∵点分别是的中点，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】⑴、由题可知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质以及EF=DE可以判定DF和BC的位置关系和数量关系，可得结论。
⑵、由题知AC和DF互相平分，所以只要EA=DE，即CA=CB就可以论证四边形ADCF是矩形。
24．【答案】（1）3
（2）解：由题意知x+1＞0、且4-x＞0，
解得-1＜x＜4，
则C△ABC=
=
= +5．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）当x=2时，三角形的三边长度为：
= ， =3， =2，
所以△ABC的最长边的长度为3，
故答案为：3；
【分析】（1）将x=2代入三个二次根式，从而得出答案；（2）根据二次根式的性质得出x的范围，再进一步化简可得．
1 / 1山东省烟台市龙口市龙口市龙矿学校2022-2023学年八年级上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2022八上·龙口开学考）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A．x+y B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A：x+y不含二次根号所以不是二次根式，故A错误；
B：满足二次根式的定义，所以是二次根式，故B正确；
C ：不含二次根号，不是二次根式，故C错误；
D：表示被开方数a的立方根，不是二次根式，故D错误；
故答案为：B.
【分析】判断是否是二次根式一看形是否含有二次根号“”二看被开方数是否是非负数，两个条件缺一不可。
2．（2022八上·龙口开学考）化简后的结果是（ ）
A． B．3 C．± D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】二次根式的化简的应用。
3．（2022·蒙阴模拟）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（ ）
A．ACBD B．AB=BC C．AC=BD D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A．当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形；
B．当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形；
C．当AC=BD时，有对角线相等的平行四边形是矩形，故本项不能证明是菱形；
D．当∠DAC=∠BAC，AC平分∠ABD时，易证得AD=DC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形；
故答案为：C．
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此逐一判断即可.
4．（2017八下·福清期末）下列二次根式中不能够与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】A. =2 ， 与 能合并，不符合题意；
B. = ， 与 能合并，不符合题意；
C. =2 不能与 合并，与要求相符，符合题意；
D. =3 与 能合并，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；把A、B、C、D化成最简二次根式后，判断即可.
5．（2022八下·抚远期中）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC =45°，
∵，
∴∠ABE=∠AEB==67.5°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90-67.5°=22.5°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABE=∠AEB==67.5°，再利用角的运算求出∠EBC的度数即可。
6．（2022八上·龙口开学考）等式成立的条件是 （ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题得，解得，故A正确，B、C、D错误
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义条件的考查，被开方数是非负数。
7．（2022八上·龙口开学考）甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：甲：，故甲正确；
乙：，故乙正确；
故A正确，B、C、D错误；
故答案为：A.
【分析】二次根式的化简，分母有理化。方法一，分子分母同乘分母的有理化因式，然后约分化简；方法二，分子在实数范围内分解因式，然后约分化简。
8．（2018·聊城）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： A、 与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、 = = = ，符合题意；
C、 =（5 - ）÷ =5- ，不符合题意；
D、 = ，不符合题意；
故答案为：B
【分析】A、D、二次根式的加减法法则，将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；B、将二次根式的除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则根指数不变，被开方数相乘，即可算出结果；C、根据二次根式的性质，将括号里各个二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则，根指数不变，被开方数相除，算出结果；将计算的各个结果与答案一一比较即可得出答案。
9．（2022八上·龙口开学考）如图，在矩形中，，两条对角线，所夹的钝角为，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∠DAB=90°
∵∠AOD=120°，∴∠OAD=∠ODA=30°，
在Rt△ABD 中，∠ADB=30°，∴BD=2AB=6，
∴，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可知OA=OD，所以△AOD是等腰三角形，又顶角是120度，可求底角度数。再利用含30度角直角三角形性质以及勾股定理计算求解。
10．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
11．（2019八下·合浦期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= =8，
∴AE=2OA=16；
故答案为：C.
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
12．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图1，∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝ CD，FG＝ AB，GH＝ CD，HE＝ AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，∴四边形EFGH为平行四边形.
则A不符合题意；
如图2，当AC⊥BD时，∠1＝90°，
∠1>∠2>∠EHG，∴四边形EHGF不可能是矩形，则B符合题意；
AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGHB是菱形.
则C不符合题意；
如图3，当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形.
∵E，F，H，G是相应线段的三等分点，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，
， ，∴EH＝FG，
又∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，则D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据当E，F，G，H是各条线段的中点时，利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理，易证四边形EFGH是平行四边形。可对A作出判断；当AC⊥BD时，∠1＝90°，可得出∠1>∠2>∠EHG，不能得出∠EHG=90°，可对B作出判断；当AB＝CD时易证四边形EFGH的四边相等，可对C作出判断；当E，F，H，G是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形，可对D作出判断，继而可得出答案。
二、填空题
13．（2022八上·龙口开学考）若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题得
故答案为：.
【分析】二次根式有意义也即代数式在实数范围内有意义。
14．（2020八下·邵阳期末）如图，四边形 的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD（答案不唯一）.
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
15．（2022八上·龙口开学考）把化为最简二次根式为
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的乘法对被开方数含有开方开的尽的因数（或因式）的二次根式进行化简。
16．（2021九上·揭阳月考）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2= AB2+32，
解得AB=2 ，
∴S四边形ABCD=BC AE=2 ×3= ．
故答案是：
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC，垂足为E，根据∠ABC=60°求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AB=2BE，接着利用勾股定理求出AB的长，最后利用菱形的面积公式求解即可。
17．（2019九下·保山期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝BC＝10，
∴AC＝
∴BO＝ AC＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠ABC=90°，根据三角形中位线等于第三边的一半得出DC的长，然后根据勾股定理算出AC的长，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OB的长。
18．（2019·内江）若 ，则 ．
【答案】1002
【知识点】二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ．
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案是：1002．
【分析】根据二次根式有意义的条件使被开方数大于等于0，据此可得a≥1002，然后利用绝对值的性质进行化简并整理可得，从而求出结论.
三、解答题
19．（2022八上·龙口开学考）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：=；
（2）解：=4；
（3）解：==．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】对不是最简二次根式的二次根式进行化简，一种是被开方数含有分母；一种是被开方数含开得尽方的因数或因式，以及前两种兼而有之的二次根式。
20．（2022八上·龙口开学考）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】⑴、二次根式的加减运算，先化简再合并同类二次根式。
⑵、二次根式的乘除加减混合运算，先乘除后加减。
⑶、乘法公式对实数（二次根式）运算依然成立。
21．（2022八上·龙口开学考）实数a在数轴上的位置如图，化简
【答案】解：由数轴可知：，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；实数的绝对值
【解析】【分析】由数轴确定a的取值范围，然后进行绝对值的化简，以及二次根式的化简。
22．（2022八上·龙口开学考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．
试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵DE∥AC
∴∠ADE＝∠CAD
∴∠ADE＝∠BAD
∴AE＝DE
∵DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∴AF＝DE，DF＝AE
∴AE＝DE＝AF＝DF
∴四边形AEDF为菱形
∴AD⊥EF．
【知识点】平行线的性质；菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】已知两组平行线可以判定四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行线的性质以及角平分线的定义判定∠EAD=∠EDA，从而判定EA=ED，所以四边形AEDF是菱形，由菱形的性质可以判断AD和EF的位置关系。
23．（2022八上·龙口开学考）如图，在中，，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵在中，，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∵，
即，
∴四边形是平行四边形
（2）解：当是等腰三角形，即时，四边形是矩形，理由如下：
∵点分别是的中点，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】⑴、由题可知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质以及EF=DE可以判定DF和BC的位置关系和数量关系，可得结论。
⑵、由题知AC和DF互相平分，所以只要EA=DE，即CA=CB就可以论证四边形ADCF是矩形。
24．（2019七下·北京期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细读题干，找出有用信息作为已知条件，然后用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件，而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时更注意发现题目中的隐含条件
（阅读理解）
读下面的解题过程，体会加何发现隐含条件，并回答．
化简： ．解：隐含条件1-3x≥0，解得：x ，∴原式=（1-3x）-（1-x）=1-3x-1+x=-2x
（启发应用）
已知△ABC三条边的长度分别是 ，记△ABC的周长为C△ABC
（1）当x=2时，△ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）．
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
【答案】（1）3
（2）解：由题意知x+1＞0、且4-x＞0，
解得-1＜x＜4，
则C△ABC=
=
= +5．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）当x=2时，三角形的三边长度为：
= ， =3， =2，
所以△ABC的最长边的长度为3，
故答案为：3；
【分析】（1）将x=2代入三个二次根式，从而得出答案；（2）根据二次根式的性质得出x的范围，再进一步化简可得．
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