浙江省桐乡市2021-2022学年高二下学期返校考数学试题
1．（2022高二下·桐乡开学考）直线 在 轴上的截距是（ ）
A．-1 B． C． D．1
2．（2022高二下·桐乡开学考）直线 的方向向量分别是 ，则直线 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·桐乡开学考）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·桐乡开学考）已知抛物线 上的一点到焦点的距离是到 轴距离的2倍，则该点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2022高二下·桐乡开学考）若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·桐乡开学考）如图，可导函数 在点 处的切线方程为 ，设 ， 为 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， 是 的极大值点
B． ， 是 的极小值点
C． ， 不是 的极值点
D． ， 是 是的极值点
7．（2022高二下·桐乡开学考）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，若 ，则k的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2022高二下·桐乡开学考）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路 或 运送到形状为四边形区域 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
9．（2022高二下·桐乡开学考）已知直线 ， ， ，以下结论正确的是（ ）
A．不论 为何值时， 与 都互相垂直；
B．当 变化时， 与 分别经过定点 和
C．不论 为何值时， 与 都关于直线 对称
D．如果 与 交于点M，则 的最大值是
10．（2022高二下·桐乡开学考）设一组圆 ，下列说法正确的是（ ）
A．这组圆的半径均为1
B．直线 平分所有的圆
C．直线 被圆 截得的弦长为相等
D．不存在一个圆 与 轴和 轴均相切
11．（2022高二下·桐乡开学考）函数 （ ）的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高二下·桐乡开学考）设等差数列 的前n项和为 ，公差为d，已知 ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．d可以取负整数 D．对任意 ，有
13．（2022高二下·桐乡开学考）下列一组数据 的第25百分位数是 ．
14．（2022高二下·桐乡开学考）写出同时满足以下三个条件的数列 的一个通项公式 ．
① 不是等差数列，② 是等比数列，③ 是递增数列．
15．（2022高二下·桐乡开学考）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
16．（2022高二下·桐乡开学考）如图，已知点 是抛物线 的焦点，点 ， 是抛物线上不同的两点，满足 ，且 ，则直线 的斜率为 ．
17．（2022高二下·桐乡开学考）为了了解高二段1000名学生的一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，…，第五组 ．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．
（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数．
18．（2022高二下·桐乡开学考）已知点 ，动点 到点 的距离是它到点 距离的 倍。
（1）求点 的轨迹方程；
（2）已知过点 的直线 截（1）中 的轨迹的弦长为 ，求直线 的方程。
19．（2022高二下·桐乡开学考）如图所示，在直三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
20．（2022高二下·桐乡开学考）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，
（1）求数列 的通项公式
（2）已知 ，求数列 的前 项和
21．（2022高二下·桐乡开学考）椭圆 ： （ ）的左焦点 ，椭圆的两顶点分别为 ， ，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若P为椭圆 短轴的上顶点，斜率为 的直线 不经过P点且与椭圆 交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为 ，且 ，试问直线 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.
22．（2022高二下·桐乡开学考）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明： ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：由题意得，令y=0得x=-1，即直线 在 轴上的截距是-1.
故答案为：A
【分析】根据直线的方程，结合截距的几何意义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设直线 的夹角为θ，则由题意得
又θ∈[0°，90°]
则θ=60°
故答案为：B
【分析】利用空间向量，结合异面直线所成角的定义直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知a2=1，b2=3，则c2=a2+b2=4，则c=2，
则双曲线 的焦点坐标是
故答案为：D
【分析】根据双曲线的几何性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设该点横坐标为x，抛物线准线方程为
由抛物线的定义可得 ，得 .
故选：B
【分析】根据抛物线的几何性质求解即可.
5．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：若 ，则
可得： ，故选项A错误；
若bn=2n，则b1=2，b2=4，b3=8，b4=16，
可得：b4-b1=14>4=b3-b2 ，故选项B错误；
若an=n ，则a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，
可得：a1a4=4<6=a2a3 ，故选项C错误；
不妨设 的首项为a1 ，公差为d，则有：
a1a4=a1(a1+d)=a12+3a1d
a2a3=(a1+d)(a1+2d)=a12+3a1d+2d2
则有：a2a3-a1a4=2d2≥0 ，故选项D正确
故选：D
【分析】对选项A，令即可检验；对选项B，令bn=2n即可检验；对选项C，令an=n即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公差，然后作差即可.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题得，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ，
则有 是 的极小值点，
故答案为：B.
【分析】由图判断函数 的单调性，结合 为 在点P处的切线方程，则有 ，由此可判断极值情况.
7．【答案】B
【知识点】指、对数不等式的解法；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意得S1=a1=1 ，
且 Sn=an+1-3=Sn+1- Sn-3，
化简得Sn+1+3=2（Sn+3）
所以{Sn+3}是等比数列，公比为2，所以Sn+3=4×2n-1=2n+1 ，
∴Sn=2n+1-3
由 解得k≥6
则k的最小值为6．
故选：B．
【分析】根据数列的递推式，结合等比数列的定义与通项公式，以及指数不等式的解法求解即可.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设M是界限上的一点，
则|MA1|+|AA1|=|MA2|+|AA2| ，
所以|MA1|-|MA2|=|AA2|-|AA1| ，
即||MA1|-|MA2||=||AA2|-|AA1|| ，
在△AA1A2 中，||AA2|-|AA1||<|A1A2| ，
所以点M的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线..
故选：C.
【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解：因为直线 ， ， ， 所以a·1+(-1)·a=0 ，
则不论a为何值时，l1与l2 都互相垂直，故 A正确；
因为直线，当a变化时，直线l1过定点 A(0，1)，
直线，当a变化时，直线l2过定B(-1，0)点 ，故B正确；
在l1上任取点(x，ax+1)，可知点(x，ax+1)关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1，-x) ，
可知点(-ax-1，-x)不在l2上，故C不正确；
如下图所示：
易知∠AOB=∠AMB=90° ，所以A，O，B，M四点共圆，且该圆的直径为 所以，当OM为该圆的直径时， |MO|取得最大值 ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据两直线的方程可判断两直线的位置关系，可判断A选项的正误；
求出两直线所过定点的坐标，可判断B选项的正误；
利用直线的对称性可判断C选项的正误；
判断出A，O，B，M四点共圆，利用圆的几何性质可判断D选项的正误.
10．【答案】A,C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆 ， 可得圆心坐标Ck(2k-1，k) ，半径为1，故A正确；
把(2k-1，k) 代入 ，得2(2k-1)-k+2=3k=0 不恒成立，
即直线 不恒过圆心，故B错误；
圆心(2k-1，k) 到直线 的距离 是定值，又圆的半径为定值，则直线 被圆Ck截得的弦长相等，故C正确；
若存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切，则|2k-1|=|k|=1 ，解得k=1 ，故存在，故D错误．
故答案为： A C
【分析】由圆的方程可得圆心及半径，利用圆的性质即可判断.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；二次函数的图象
【解析】【解答】解：当a=0时，f(x)=x2，B选项符合；
当a=1时，是偶函数，且f(x)>0，D选项符合；
当a=-1时，是偶函数，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，C选项符合；A不符合.
故答案为： B C D
【分析】根据函数的奇偶性，值域，结合二次函数的图象与性质求解即可.
12．【答案】B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以2a1+11d>0，a1+6d<0 ，
即a6+a7>0 ，a7<0
所以a6>0 ，
由a3=12得a1=12-2d ，
联立2a1+11d>0，a1+6d<0可解得 ，
故等差数列 是单调递减的，且a6>0 ， a7<0
所以对任意 ，有
综上可知BD正确，
故选：BD
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．
13．【答案】26
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵8×25%=2，
∴该组数据的第25分位数为从小到大排序后第2与3个数据的平均数，
第2与3个数据分别是25、27，
故该组数据的第25分位数为 ，
故答案为：26．
【分析】根据百分位数的定义即可得到结果.
14．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因 是等比数列，令 ，当an>0时， ， ， 是递增数列，
令m，n，k是互不相等的三个正整数，且m即2m+2k=2×2n ，则有1+2k-m=2n+1-m ，显然 k-m、n+1-m 都是正整数，2k-m ，2n+1-m 都是偶数，于是得1+2k-m 是奇数，从而有1+2k-m=2n+1-m不成立，即am，an，ak不成等差数列，数列 不成等差数列，
所以 .
故答案为：
【分析】根据等差数列与等比数列的定义与通项公式，结合数列的函数性质求解即可.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】解：令
则m=x2-2lnx ，
令g(x)= x2-2lnx，
则由知，
g(x)在 上单调递减，在[1，e]上单调递增
且[g(x)]min=g(1)=1 ， ， .
显然，
作出函数v的图像，如下图所示：
所以 函数 在 上有两个不同的零点，
则实数m的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合参数分离与数形结合思想求解即可.
16．【答案】
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：如图，过A，B分别作AC，BD垂直于准线，垂足为C，D ，过A作AE⊥BD ，垂足为E，
设AF=t ，则BF=3t ，
∵ ，
∴
由抛物线的定义可得AC=AF=t，BD=BF=3t ，
∴BE=3t-t=2t ，则 ，
则可得 .
故答案为： .
【分析】根据抛物线的定义与几何性质，结合斜率公式求解即可.
17．【答案】（1）解：设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x．
依题意，得
所以 ．所以第一组数据的频率为 ，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则 ，得 ，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间．
（2）解：由题意，这组数据的平均数 (分钟)．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)根据直方图的性质，结合频率的定义求解即可；
(2)根据直方图的性质，结合平均数的解法求解即可.
18．【答案】（1） 解：设点M(x，y)，则由|MA|=3|MA|得，化简得 ；
（2）解： 设直线l为：y=k(x-1)，即kx-y-k=0，设圆心到直线l的距离为h，
由(1)知R2=27，则由得h2=20，则
即，解得k=±2
故 直线 的方程为
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据两点间的距离公式，结合轨迹方程与圆的标准方程求解即可；
(2)根据点到直线的距离公式，结合直线的点斜式方程求解即可.
19．【答案】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，
∵E为BC中点，∴ ， 又∵D为AA1的中点， ， ，∴ ， ∴四边形ADFE为平行四边形，∴ DF，∵AE 平面BDC1，DF 平面BDC1，∴ 平面BDC1.
（2）解：由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，
EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，令 ，则 ，
又 ，
所以 ，
设DE与平面 所成角为 ，则 ，
∴DE与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
(2)建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
20．【答案】（1）解：设 公差为d，则 ， ， .
（2）解： ，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式，以及求和公式，运用方程的思想求解即可；
(2)利用裂项相消法求和求解即可.
21．【答案】（1）解：由题意知 ，设点 ，则 ①，
又点M在椭圆上，所以 ②，
①②联立可得 ，即 ，
又 及 ，解得：
所以椭圆方程为： .
（2）解：直线 过定点（2，-1），证明如下：
设直线 ： ， ，
联立方程 ，整理得： ，
， ，
所以 = ，
代入 得： ，
化简得 ，此时 ，所以存在k使得 成立，
所以直线l的方程为： ，即 ，
所以直线l恒过定点（2，-1）
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据斜率公式，运用方程的思想，结合椭圆的几何性质与标准方程求解即可；
(2)根据直线与椭圆的位置关系，根与系数的关系，结合斜率的计算公式，结合过定点的直线方程求解即可.
22．【答案】（1）解：由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的极值直接求解即可；
(2)根据化归与转化思想，将原不等式恒成立问题等价转化为求证 ，再利用换元法，构造函数 ，利用导数 研究函数的单调性与最值求解即可.
1 / 1浙江省桐乡市2021-2022学年高二下学期返校考数学试题
1．（2022高二下·桐乡开学考）直线 在 轴上的截距是（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：由题意得，令y=0得x=-1，即直线 在 轴上的截距是-1.
故答案为：A
【分析】根据直线的方程，结合截距的几何意义求解即可.
2．（2022高二下·桐乡开学考）直线 的方向向量分别是 ，则直线 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设直线 的夹角为θ，则由题意得
又θ∈[0°，90°]
则θ=60°
故答案为：B
【分析】利用空间向量，结合异面直线所成角的定义直接求解即可.
3．（2022高二下·桐乡开学考）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知a2=1，b2=3，则c2=a2+b2=4，则c=2，
则双曲线 的焦点坐标是
故答案为：D
【分析】根据双曲线的几何性质求解即可.
4．（2022高二下·桐乡开学考）已知抛物线 上的一点到焦点的距离是到 轴距离的2倍，则该点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设该点横坐标为x，抛物线准线方程为
由抛物线的定义可得 ，得 .
故选：B
【分析】根据抛物线的几何性质求解即可.
5．（2022高二下·桐乡开学考）若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：若 ，则
可得： ，故选项A错误；
若bn=2n，则b1=2，b2=4，b3=8，b4=16，
可得：b4-b1=14>4=b3-b2 ，故选项B错误；
若an=n ，则a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，
可得：a1a4=4<6=a2a3 ，故选项C错误；
不妨设 的首项为a1 ，公差为d，则有：
a1a4=a1(a1+d)=a12+3a1d
a2a3=(a1+d)(a1+2d)=a12+3a1d+2d2
则有：a2a3-a1a4=2d2≥0 ，故选项D正确
故选：D
【分析】对选项A，令即可检验；对选项B，令bn=2n即可检验；对选项C，令an=n即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公差，然后作差即可.
6．（2022高二下·桐乡开学考）如图，可导函数 在点 处的切线方程为 ，设 ， 为 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， 是 的极大值点
B． ， 是 的极小值点
C． ， 不是 的极值点
D． ， 是 是的极值点
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题得，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ，
则有 是 的极小值点，
故答案为：B.
【分析】由图判断函数 的单调性，结合 为 在点P处的切线方程，则有 ，由此可判断极值情况.
7．（2022高二下·桐乡开学考）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，若 ，则k的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】指、对数不等式的解法；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意得S1=a1=1 ，
且 Sn=an+1-3=Sn+1- Sn-3，
化简得Sn+1+3=2（Sn+3）
所以{Sn+3}是等比数列，公比为2，所以Sn+3=4×2n-1=2n+1 ，
∴Sn=2n+1-3
由 解得k≥6
则k的最小值为6．
故选：B．
【分析】根据数列的递推式，结合等比数列的定义与通项公式，以及指数不等式的解法求解即可.
8．（2022高二下·桐乡开学考）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路 或 运送到形状为四边形区域 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：设M是界限上的一点，
则|MA1|+|AA1|=|MA2|+|AA2| ，
所以|MA1|-|MA2|=|AA2|-|AA1| ，
即||MA1|-|MA2||=||AA2|-|AA1|| ，
在△AA1A2 中，||AA2|-|AA1||<|A1A2| ，
所以点M的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线..
故选：C.
【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.
9．（2022高二下·桐乡开学考）已知直线 ， ， ，以下结论正确的是（ ）
A．不论 为何值时， 与 都互相垂直；
B．当 变化时， 与 分别经过定点 和
C．不论 为何值时， 与 都关于直线 对称
D．如果 与 交于点M，则 的最大值是
【答案】A,B,D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解：因为直线 ， ， ， 所以a·1+(-1)·a=0 ，
则不论a为何值时，l1与l2 都互相垂直，故 A正确；
因为直线，当a变化时，直线l1过定点 A(0，1)，
直线，当a变化时，直线l2过定B(-1，0)点 ，故B正确；
在l1上任取点(x，ax+1)，可知点(x，ax+1)关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1，-x) ，
可知点(-ax-1，-x)不在l2上，故C不正确；
如下图所示：
易知∠AOB=∠AMB=90° ，所以A，O，B，M四点共圆，且该圆的直径为 所以，当OM为该圆的直径时， |MO|取得最大值 ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据两直线的方程可判断两直线的位置关系，可判断A选项的正误；
求出两直线所过定点的坐标，可判断B选项的正误；
利用直线的对称性可判断C选项的正误；
判断出A，O，B，M四点共圆，利用圆的几何性质可判断D选项的正误.
10．（2022高二下·桐乡开学考）设一组圆 ，下列说法正确的是（ ）
A．这组圆的半径均为1
B．直线 平分所有的圆
C．直线 被圆 截得的弦长为相等
D．不存在一个圆 与 轴和 轴均相切
【答案】A,C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆 ， 可得圆心坐标Ck(2k-1，k) ，半径为1，故A正确；
把(2k-1，k) 代入 ，得2(2k-1)-k+2=3k=0 不恒成立，
即直线 不恒过圆心，故B错误；
圆心(2k-1，k) 到直线 的距离 是定值，又圆的半径为定值，则直线 被圆Ck截得的弦长相等，故C正确；
若存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切，则|2k-1|=|k|=1 ，解得k=1 ，故存在，故D错误．
故答案为： A C
【分析】由圆的方程可得圆心及半径，利用圆的性质即可判断.
11．（2022高二下·桐乡开学考）函数 （ ）的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；二次函数的图象
【解析】【解答】解：当a=0时，f(x)=x2，B选项符合；
当a=1时，是偶函数，且f(x)>0，D选项符合；
当a=-1时，是偶函数，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，C选项符合；A不符合.
故答案为： B C D
【分析】根据函数的奇偶性，值域，结合二次函数的图象与性质求解即可.
12．（2022高二下·桐乡开学考）设等差数列 的前n项和为 ，公差为d，已知 ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．d可以取负整数 D．对任意 ，有
【答案】B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ，
所以2a1+11d>0，a1+6d<0 ，
即a6+a7>0 ，a7<0
所以a6>0 ，
由a3=12得a1=12-2d ，
联立2a1+11d>0，a1+6d<0可解得 ，
故等差数列 是单调递减的，且a6>0 ， a7<0
所以对任意 ，有
综上可知BD正确，
故选：BD
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．
13．（2022高二下·桐乡开学考）下列一组数据 的第25百分位数是 ．
【答案】26
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵8×25%=2，
∴该组数据的第25分位数为从小到大排序后第2与3个数据的平均数，
第2与3个数据分别是25、27，
故该组数据的第25分位数为 ，
故答案为：26．
【分析】根据百分位数的定义即可得到结果.
14．（2022高二下·桐乡开学考）写出同时满足以下三个条件的数列 的一个通项公式 ．
① 不是等差数列，② 是等比数列，③ 是递增数列．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因 是等比数列，令 ，当an>0时， ， ， 是递增数列，
令m，n，k是互不相等的三个正整数，且m即2m+2k=2×2n ，则有1+2k-m=2n+1-m ，显然 k-m、n+1-m 都是正整数，2k-m ，2n+1-m 都是偶数，于是得1+2k-m 是奇数，从而有1+2k-m=2n+1-m不成立，即am，an，ak不成等差数列，数列 不成等差数列，
所以 .
故答案为：
【分析】根据等差数列与等比数列的定义与通项公式，结合数列的函数性质求解即可.
15．（2022高二下·桐乡开学考）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】解：令
则m=x2-2lnx ，
令g(x)= x2-2lnx，
则由知，
g(x)在 上单调递减，在[1，e]上单调递增
且[g(x)]min=g(1)=1 ， ， .
显然，
作出函数v的图像，如下图所示：
所以 函数 在 上有两个不同的零点，
则实数m的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合参数分离与数形结合思想求解即可.
16．（2022高二下·桐乡开学考）如图，已知点 是抛物线 的焦点，点 ， 是抛物线上不同的两点，满足 ，且 ，则直线 的斜率为 ．
【答案】
【知识点】斜率的计算公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：如图，过A，B分别作AC，BD垂直于准线，垂足为C，D ，过A作AE⊥BD ，垂足为E，
设AF=t ，则BF=3t ，
∵ ，
∴
由抛物线的定义可得AC=AF=t，BD=BF=3t ，
∴BE=3t-t=2t ，则 ，
则可得 .
故答案为： .
【分析】根据抛物线的定义与几何性质，结合斜率公式求解即可.
17．（2022高二下·桐乡开学考）为了了解高二段1000名学生的一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，…，第五组 ．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．
（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数．
【答案】（1）解：设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x．
依题意，得
所以 ．所以第一组数据的频率为 ，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则 ，得 ，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间．
（2）解：由题意，这组数据的平均数 (分钟)．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)根据直方图的性质，结合频率的定义求解即可；
(2)根据直方图的性质，结合平均数的解法求解即可.
18．（2022高二下·桐乡开学考）已知点 ，动点 到点 的距离是它到点 距离的 倍。
（1）求点 的轨迹方程；
（2）已知过点 的直线 截（1）中 的轨迹的弦长为 ，求直线 的方程。
【答案】（1） 解：设点M(x，y)，则由|MA|=3|MA|得，化简得 ；
（2）解： 设直线l为：y=k(x-1)，即kx-y-k=0，设圆心到直线l的距离为h，
由(1)知R2=27，则由得h2=20，则
即，解得k=±2
故 直线 的方程为
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据两点间的距离公式，结合轨迹方程与圆的标准方程求解即可；
(2)根据点到直线的距离公式，结合直线的点斜式方程求解即可.
19．（2022高二下·桐乡开学考）如图所示，在直三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，
∵E为BC中点，∴ ， 又∵D为AA1的中点， ， ，∴ ， ∴四边形ADFE为平行四边形，∴ DF，∵AE 平面BDC1，DF 平面BDC1，∴ 平面BDC1.
（2）解：由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，
EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，令 ，则 ，
又 ，
所以 ，
设DE与平面 所成角为 ，则 ，
∴DE与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
(2)建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
20．（2022高二下·桐乡开学考）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，
（1）求数列 的通项公式
（2）已知 ，求数列 的前 项和
【答案】（1）解：设 公差为d，则 ， ， .
（2）解： ，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式，以及求和公式，运用方程的思想求解即可；
(2)利用裂项相消法求和求解即可.
21．（2022高二下·桐乡开学考）椭圆 ： （ ）的左焦点 ，椭圆的两顶点分别为 ， ，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若P为椭圆 短轴的上顶点，斜率为 的直线 不经过P点且与椭圆 交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为 ，且 ，试问直线 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意知 ，设点 ，则 ①，
又点M在椭圆上，所以 ②，
①②联立可得 ，即 ，
又 及 ，解得：
所以椭圆方程为： .
（2）解：直线 过定点（2，-1），证明如下：
设直线 ： ， ，
联立方程 ，整理得： ，
， ，
所以 = ，
代入 得： ，
化简得 ，此时 ，所以存在k使得 成立，
所以直线l的方程为： ，即 ，
所以直线l恒过定点（2，-1）
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据斜率公式，运用方程的思想，结合椭圆的几何性质与标准方程求解即可；
(2)根据直线与椭圆的位置关系，根与系数的关系，结合斜率的计算公式，结合过定点的直线方程求解即可.
22．（2022高二下·桐乡开学考）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明： ．
【答案】（1）解：由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)利用导数研究函数的极值直接求解即可；
(2)根据化归与转化思想，将原不等式恒成立问题等价转化为求证 ，再利用换元法，构造函数 ，利用导数 研究函数的单调性与最值求解即可.
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