【初数北师七下补题】第三章 变量之间的关系02
一、类型一：常量、自变量与因变量
1．（2022七下·）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
2．（2022七下·）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是 变量和 变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
二、类型二：用表格表示变量间关系
3．一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：
时间（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度（米/秒） 0 0.3 1.3 2.8 1.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用时间t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
（3）当t每增加1秒，v的变化情况相同吗？在哪个时间段内，v增加的最快？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．
4．（2020七下·丹东期末）某路公交车每月有 人次乘坐，每月的收入为 元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是 与 的部分数据.
/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
/元 1000 2000 4000 6000 …
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请将表格补充完整.
（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润 收入 支出费用）
三、类型三：用关系式表示变量间关系
5．（2022七下·）
按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
①题中有几个变量？
②你能写出两个变量之间的关系吗？
6．（2022七下·）已知，如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，AB＝8．P是线段AC上的一个动点，当点P从点C向点A运动时，运动到点A停止，设PC＝x，△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．
四、类型四：用图象表示变量间关系
7．（2022七下·）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）朱老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒；
（3）当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
8．（2016七下·会宁期中）如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量．
（2）甲的速度 乙的速度．（大于、等于、小于）
（3）6时表示 ；
（4）路程为150km，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时．
（5）9时甲在乙的 （前面、后面、相同位置）
（6）乙比甲先走了3小时，对吗？ ．
9．（2022七下·）根据图回答下列问题.
（1）图中表示哪两个变量间的关系
（2）A、B两点代表了什么
（3）你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗
答案解析部分
1．【答案】（1）解：表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）解：根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）解：学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱.
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，然后结合自变量、因变量的概念进行解答；
（2）根据表格可得：对概念的接受能力最大为59.9，找出对应的时间即可；
（3）根据表格中的数据进行解答即可.
2．【答案】（1）自；因
（2）2000
（3）解：有表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
故答案为：自，因；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：2000；
【分析】（1）根据变量的概念进行解答；
（2）找出每月利润y=0时对应的乘车人数即可；
（3）由表中可知：每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，据此解答.
3．【答案】（1）解：上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）解：如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是0到3和4到10V随着T的增大而增大，而3到410V随着T的增大而减小
（3）解：当T每增加1秒，V的变化情况不相同，在第9秒时，V的增加最大
（4）解： （米/秒），
由33.3﹣28.9=4.4，且28.9﹣24.2=4.7＞4.4，
所以估计大约还需1秒
【知识点】常量、变量；函数的表示方法
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系，即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟，V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，再根据时间与速度的关系式即可得出答案；
4．【答案】（1）解：反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量.
（2）解：由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，
表格补充如下：
（3）解： （元）
（人次）
答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次
【知识点】常量、变量；函数的表示方法
【解析】【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，即可得出结论；（3）先求出每增加1人次乘坐，每月的收入就增加2元，然后求出总收入即可求出结论；
5．【答案】解：①有2个变量.
②能，由①分析可得：关系式可以为y=4x+2．
【知识点】探索图形规律；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．
故可坐人数y=4x+2，
故答案为：有2个变量；
【分析】①根据题意可得可坐人数随着餐桌的张数变化而变化，据此解答；
②观察图形可得：x=1时，y=6；x=2时，y=10；x=3时，y=14，则每增加一张桌子，便增加4个座位，进而不难得到x张餐桌可坐的人数.
6．【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于D．
∵S△ABC＝ AC BD＝ AB BC，
∴BD＝ ；
∵AC＝10，PC＝x，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x，
∴S△ABP＝ AP BD＝ ×（10﹣x）× ＝﹣ x+24，
∴y与x之间的关系式为：y＝﹣ x+24．
【知识点】三角形的面积；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于D，根据△ABC的面积公式可得BD，易得AP＝10-x， 然后根据三角形的面积公式可得y与x的关系式.
7．【答案】（1）t；s
（2）2；6
（3）解：设t秒时，小明第一次追上朱老师
根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，
则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【知识点】常量、变量；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
故答案为：t，s；
（2）朱老师的速度
＝2(米/秒)，小明的速度为
＝6(米/秒)；
故答案为：2，6；
【分析】（1） 他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒) 的变化而变化，进而根据自变量、因变量的概念进行解答；
（2）由图象可得：朱老师110秒行驶的路程为（420-200）米，小明70秒行驶的路程为420米，然后根据路程÷时间=速度进行解答；
（3）设t秒时，小明第一次追上朱老师，根据小明行驶的路程=朱老师行驶的路程+200列出方程，求解即可.
8．【答案】（1）t；s
（2）小于
（3）乙追赶上了甲
（4）9；4
（5）后面
（6）不对
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则t是自变量，s为因变量；（2）甲的速度= = 千米/小时，乙的速度= 千米/小时，所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲；（4）路程为150km，甲行驶9小时；乙行驶了7﹣3=4小时；（5）t=9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9时甲在乙的后面（6）不对，是乙比甲晚走了3小时．故答案为t，s；小于；乙追赶上了甲；9，4；后面；不对．
【分析】（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量，路程是因变量；（2）甲走6行驶100千米，乙走3小时行驶了100千米，则可得到它们的速度的大小；（3）6时两图象相交，说明他们相遇；（4）观察图象得到路程为150km，甲行驶9小时；乙行驶了7﹣3=4小时；（5）观察图象得到t=9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后，乙才开始出发．
9．【答案】（1）解：图中表示时间与价钱的关系；
（2）解：A点表示3日的时候，价钱是250元，B点表示，6日的时候，价钱是150元.
（3）解：这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况：
5月1日花150元 5月2日花100元 5月3日花250元 5月4日花200元
5月5日花300元 5月6日花150元 5月7日花250元
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据图象可得：价钱随着时间的变化而变化，据此解答；
（2）根据纵轴及横轴表示的意义进行解答；
（3）可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况，据此解答.
1 / 1【初数北师七下补题】第三章 变量之间的关系02
一、类型一：常量、自变量与因变量
1．（2022七下·）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】（1）解：表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）解：根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）解：学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱.
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，然后结合自变量、因变量的概念进行解答；
（2）根据表格可得：对概念的接受能力最大为59.9，找出对应的时间即可；
（3）根据表格中的数据进行解答即可.
2．（2022七下·）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是 变量和 变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】（1）自；因
（2）2000
（3）解：有表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
故答案为：自，因；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：2000；
【分析】（1）根据变量的概念进行解答；
（2）找出每月利润y=0时对应的乘车人数即可；
（3）由表中可知：每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，据此解答.
二、类型二：用表格表示变量间关系
3．一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：
时间（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度（米/秒） 0 0.3 1.3 2.8 1.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用时间t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
（3）当t每增加1秒，v的变化情况相同吗？在哪个时间段内，v增加的最快？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．
【答案】（1）解：上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）解：如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是0到3和4到10V随着T的增大而增大，而3到410V随着T的增大而减小
（3）解：当T每增加1秒，V的变化情况不相同，在第9秒时，V的增加最大
（4）解： （米/秒），
由33.3﹣28.9=4.4，且28.9﹣24.2=4.7＞4.4，
所以估计大约还需1秒
【知识点】常量、变量；函数的表示方法
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系，即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟，V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，再根据时间与速度的关系式即可得出答案；
4．（2020七下·丹东期末）某路公交车每月有 人次乘坐，每月的收入为 元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是 与 的部分数据.
/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
/元 1000 2000 4000 6000 …
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请将表格补充完整.
（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润 收入 支出费用）
【答案】（1）解：反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量.
（2）解：由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，
表格补充如下：
（3）解： （元）
（人次）
答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次
【知识点】常量、变量；函数的表示方法
【解析】【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，即可得出结论；（3）先求出每增加1人次乘坐，每月的收入就增加2元，然后求出总收入即可求出结论；
三、类型三：用关系式表示变量间关系
5．（2022七下·）
按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
①题中有几个变量？
②你能写出两个变量之间的关系吗？
【答案】解：①有2个变量.
②能，由①分析可得：关系式可以为y=4x+2．
【知识点】探索图形规律；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：①观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．
故可坐人数y=4x+2，
故答案为：有2个变量；
【分析】①根据题意可得可坐人数随着餐桌的张数变化而变化，据此解答；
②观察图形可得：x=1时，y=6；x=2时，y=10；x=3时，y=14，则每增加一张桌子，便增加4个座位，进而不难得到x张餐桌可坐的人数.
6．（2022七下·）已知，如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，AB＝8．P是线段AC上的一个动点，当点P从点C向点A运动时，运动到点A停止，设PC＝x，△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．
【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于D．
∵S△ABC＝ AC BD＝ AB BC，
∴BD＝ ；
∵AC＝10，PC＝x，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x，
∴S△ABP＝ AP BD＝ ×（10﹣x）× ＝﹣ x+24，
∴y与x之间的关系式为：y＝﹣ x+24．
【知识点】三角形的面积；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于D，根据△ABC的面积公式可得BD，易得AP＝10-x， 然后根据三角形的面积公式可得y与x的关系式.
四、类型四：用图象表示变量间关系
7．（2022七下·）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）朱老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒；
（3）当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
【答案】（1）t；s
（2）2；6
（3）解：设t秒时，小明第一次追上朱老师
根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，
则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【知识点】常量、变量；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
故答案为：t，s；
（2）朱老师的速度
＝2(米/秒)，小明的速度为
＝6(米/秒)；
故答案为：2，6；
【分析】（1） 他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒) 的变化而变化，进而根据自变量、因变量的概念进行解答；
（2）由图象可得：朱老师110秒行驶的路程为（420-200）米，小明70秒行驶的路程为420米，然后根据路程÷时间=速度进行解答；
（3）设t秒时，小明第一次追上朱老师，根据小明行驶的路程=朱老师行驶的路程+200列出方程，求解即可.
8．（2016七下·会宁期中）如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量．
（2）甲的速度 乙的速度．（大于、等于、小于）
（3）6时表示 ；
（4）路程为150km，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时．
（5）9时甲在乙的 （前面、后面、相同位置）
（6）乙比甲先走了3小时，对吗？ ．
【答案】（1）t；s
（2）小于
（3）乙追赶上了甲
（4）9；4
（5）后面
（6）不对
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则t是自变量，s为因变量；（2）甲的速度= = 千米/小时，乙的速度= 千米/小时，所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲；（4）路程为150km，甲行驶9小时；乙行驶了7﹣3=4小时；（5）t=9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9时甲在乙的后面（6）不对，是乙比甲晚走了3小时．故答案为t，s；小于；乙追赶上了甲；9，4；后面；不对．
【分析】（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量，路程是因变量；（2）甲走6行驶100千米，乙走3小时行驶了100千米，则可得到它们的速度的大小；（3）6时两图象相交，说明他们相遇；（4）观察图象得到路程为150km，甲行驶9小时；乙行驶了7﹣3=4小时；（5）观察图象得到t=9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后，乙才开始出发．
9．（2022七下·）根据图回答下列问题.
（1）图中表示哪两个变量间的关系
（2）A、B两点代表了什么
（3）你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗
【答案】（1）解：图中表示时间与价钱的关系；
（2）解：A点表示3日的时候，价钱是250元，B点表示，6日的时候，价钱是150元.
（3）解：这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况：
5月1日花150元 5月2日花100元 5月3日花250元 5月4日花200元
5月5日花300元 5月6日花150元 5月7日花250元
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据图象可得：价钱随着时间的变化而变化，据此解答；
（2）根据纵轴及横轴表示的意义进行解答；
（3）可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况，据此解答.
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