浙江省温州市南浦实验中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。）
1．（2022九下·温州开学考）若 ＝ ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ＝
，
∴设a＝3k，b＝4k，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】设a＝3k，b＝4k，再代入
中，得
，即可求出
的值.
2．（2022九下·温州开学考）下列事件中：
①明天会下雨；②一个班（40人）里有两人的生日在同一天；③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球；④太阳东升西落.
不可能事件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：下列事件中：
①明天会下雨，是随机事件；
②一个班（40人）里有两人的生日在同一天，是随机事件；
③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球，是不可能事件；
④太阳东升西落，是必然事件，
∴不可能事件的个数为：1.
故答案为：A.
【分析】随机事件是指一件事可能发生，也可能不发生；必然事件指一件事请肯定会发生；不可能事件是指一件事情不会发生. 据此判断即可得出不可能事件的个数.
3．（2022九下·温州开学考）将抛物线y＝ x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝ （x+2）2 B．y＝ （x﹣2）2
C．y＝ x2+2 D．y＝ x2﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝
x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为：y＝
（x+2）2.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线图象平移的规律，即左加右减，上加下减，图象向左平移2个单位，在自变量后直接加2即可得到平移后的抛物线表达式.
4．（2022九下·温州开学考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=
AB，
在Rt△OAC中，AC＝ ，
∴AB＝2AC＝10
.
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理可得AC＝BC AB，在Rt△OAC中，由勾股定理得AC＝ ，求得AC= ，即可求出AB的长.
5．（2022九下·温州开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝25°，
∴∠CAB＝∠OCA＝25°，
∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：D.
【分析】连接OC，由OA＝OC，∠CAB＝25°，得∠CAB＝∠OCA＝25°，根据外角定理求得∠COD＝50°，由切线的性质得∠OCD＝90°，在根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数.
6．（2019九上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】在△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴由勾股定理得，
BC＝ ＝5，
∴sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ，
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的定义求解，最后对各选项一一判断即可得出答案．
7．（2022九下·温州开学考）如图，在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的的路径长为（ ）
A．6 B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；弧长的计算；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CM，CM'，
∵在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，
∴CM＝
，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
∴CM＝6，
由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，
∵将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M经过的的路径长为
，
故答案为：C.
【分析】连接CM，CM'，根据30°所对直角边等于斜边一半，斜边上中线等于斜边一半，得CM＝
，AB＝2AC＝12，进而得CM＝6；由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，即∠MCM'＝90°，根据弧长的计算公式l=
，代入数据即可求出点M的运动路径长.
8．（2022九下·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（
）2＝
，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形性质得AB＝CD，AB∥CD，再由DE：CE＝3：4，进一步求得DE：AB＝3：7，由AB∥CD，易得△DEF∽△BAF，根据相似性质得
，即得S△DEF：S△ADF：＝3：7，再由面积比等于相似比得S△DEF：S△ABF＝9：49 ，即可求出S△DEF：S△ADF：S△ABF的比.
9．（2022九下·温州开学考）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 5 4 ﹣4 ﹣20 ﹣45 …
则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（ ）
A．﹣45 B．﹣20 C．﹣4 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表中数据得到对称轴为直线x＝
，
∴当x＜
时，y随x的增大而增大，当x＞
时，y随x的增大而减小，
∴x＝﹣2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝
时，y＝5，
∴二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是﹣20，
故答案为：B.
【分析】由表中数据得到对称轴为直线x＝
，根据二次函数性质可知，当x＜
时，y随x的增大而增大，当x＞
时，y随x的增大而减小，再由-2≤x≤2，当x=-2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝
时，y＝5，即可求出二次函数的最小值.
10．（2022九下·温州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，
∵四边形BCFG和四边形ABJH都是正方形，四边形BJIK是矩形，
∴BG＝BC，BA＝BJ，∠CBG＝∠ABJ＝90°
∴∠ABG＝∠JBC＝90°+∠ABC，
∴△ABG≌△JBC（SAS），
∴S△ABG＝S△JBC，
∵S△ABG＝
BG BC＝
S正方形BCFG，S△JBC＝
BJ BK＝
S矩形BJIK，
∴ S正方形BCFG＝
S矩形BJIK，
∴BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，
∴BC＝1，
∵四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，
∴AC＝2，
∵CI⊥HJ于点I，交AB于K，AB∥HJ，
∴∠CKB＝∠CIJ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CKB＝∠ACB，
∵∠CBK＝∠ABC，
∴△CBK∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝
，
∴CK＝2BK＝2m，
∵∠AKC＝∠ACB＝90°，∠CAK＝∠BAC，
∴△ACK∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝
，
∴AK＝2CK＝4m，
∵四边形MNPQ和四边形BJIK都是矩形，
∴∠M＝∠N＝∠P＝∠Q＝∠PRL＝90°，
∴∠LRN＝90°，
∴四边形MNRL和四边形PQLR都是矩形，
∴∠ALQ＝90°，
∵∠AHJ＝90°，
∴∠AHQ＝90°，
∴四边形AHQL是矩形，
∴QL＝AH＝AB＝m+4m＝5m，
∵∠M＝∠ELA＝∠AKC＝∠AED＝∠CAE＝90°，
∴∠MED＝90°﹣∠AEL＝∠LAE＝90°﹣∠CAK＝∠KCA，
∵DE＝EA＝AC，
∴△DEM≌△EAL≌△ACK（AAS），
∵EM＝AL＝CK＝2m，EL＝AK＝4m，
∴MQ＝2m+4m+5m＝11m，
∵∠BRG＝∠CKB＝∠CBG＝90°，
∴∠BGR＝90°﹣∠GBR＝∠CBK，
∵BG＝BC，
∴△BGR≌△CBK（AAS），
∴BR＝CK＝2m，
∴MN＝LR＝2m+5m+2m＝9m，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，先根据“SAS”定理证明△ABG≌△JBC，推出BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，得BC＝1，再由四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，得AC＝2；再通过相似三角形判定定理证明△CBK∽△ABC，△ACK∽△ABC，由相似三角形对应比成比例推出CK=2BK=2m，AK=2CK=4m；再证明出四边形MNRL、四边形PQJR和四边形AHQJ都为矩形，则QL＝AH＝=AB=5m；再根据“AAS”定理证明△DEM≌△EAL≌△ACK，可得EM=AL=CK=2m，EL=AK=4m，可求得MQ=11m；再由“AAS”定理证明△BGR≌△CBK，可得BR=CK=2m，可求得MN=9m，可求得
，即可解决问题.
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（2022九下·温州开学考）二次函数y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标是 .
【答案】（1，2）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+4＝2（x2﹣2x+2）＝2（x﹣1）2+2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象的顶点坐标是（1，2）.
故答案为（1，2）.
【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式y=2（x﹣1）2+2，的形式，（1，2）即位顶点坐标.
12．（2022九下·温州开学考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于 .
【答案】34°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故答案为：34°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90° ，即∠ADB=90°，进而求得∠A=34°，再由圆周角定理得∠BCD＝∠A，即可求出∠BCD度数.
13．（2022九下·温州开学考）如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）.
【答案】3﹣ π
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝
AD＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣
﹣2×1÷2
＝4﹣
π﹣1
＝3﹣
π.
故答案为：3﹣
π.
【分析】过D点作DF⊥AB于点F，根据30°角所对直角边等于斜边 一半求得AD=1，由AD=AE，求得EB=2，再根据扇形面积公式s=
，求得扇形面积，根据三角形面积公式求得三角形EBC的面积，最后由阴影部分的面积=平行四边形面积-扇形面积-三角形EBC的面积，代入数据即可求出阴影部分的面积.
14．（2022九下·温州开学考）如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长），并在图中所示位置开2m的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共66m，设饲养室的长为x（m），占地面积为y（m2），请列出y关于x的函数关系式： .（不用写x的取值范围）
【答案】y＝﹣ x2+34x
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵设饲养室的长为x（m），
∴饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，
∴饲养室的宽是
＝（34﹣
x）m，
∴y＝（34﹣
x） x＝﹣
x2+34x.
故答案为：y＝﹣
x2+34x.
【分析】设饲养室的长为x（m），则饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，宽用的材料是（34﹣
x）m，根据矩形面积=长×宽，可得y=（34﹣
x） x，整理即可求得y与x的函数关系式.
15．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
16．（2022九下·温州开学考）疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.
【答案】；（52 ﹣78）
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，
由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点.
∴QB＝
AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝
QB＝10
cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝
FM＝18
（cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18
cm，
∴PM＝2PF＝36
cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36
﹣10
＝26
（cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10
cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10
）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，
设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝
xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+
x）cm，
∴tan15°＝
，
∴tan15°＝
＝2+
，
∴P′F＝（2+
）（54+10
）＝（78﹣34
）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18
﹣（78﹣34
）＝（52
﹣78）cm.
故答案为：18
；（52
﹣78）cm.
【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，得BC＝6cm，再由BD＝CD﹣BC求得BD=14cm，进而求出FM=54cm，在含30°角的Rt△PMF，得PF＝ FM，求PF的长度即可；在含30°角的Rt△PMF中，得PM＝2PF＝36 cm，进而求得PQ＝PM﹣QM＝26 cm，当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，再延长P′Q交FC延长线于点N，得∠N+∠QBN＝∠P′QB，求得∠N=15°，进而得∠MQN＝∠N＝15°，可得MQ＝MN＝10 cm，进一步得FN=54+10 cm，再过点Q作QH⊥BM于点H，设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝ xcm，NH=MN+MH＝（2x+ x）cm，根据tan15°＝ ，得P'F=（78﹣34 ）cm，再由PP′＝PF﹣P′F，代入数据求得PP′，PP′即为小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差.
三、解答题（本题共有8小题，共80分，）
17．（2022九下·温州开学考）
（1）计算：|﹣1|+2cos30°﹣（
﹣3）0+（
）﹣2.
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（4﹣x）.
【答案】（1）解：原式＝1+2× ﹣1+4
＝1+ ﹣1+4
＝4+
（2）解：原式＝x2﹣4x+4﹣4x+x2
＝2x2﹣8x+4
【知识点】实数的运算；整式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，从左到右，分别计算绝对值，特殊角的锐角三角函数，非零数的零次幂和负整数指数幂的值，再合并同类项即可求出结果；
（2）先根据完全平方公式化简（x-2）2，再去括号x（4-x），最后合并同类项即可化简求得结果.
18．（2022九下·温州开学考）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C.
（1）
求证：△ABC∽△ADB.
（2）
已知AB＝5，AD＝4，求BD.
【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝ ∠ABC，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB.
（2）解：∵△ABC∽△ADB，
∴ ，
∵AB＝5，AD＝4，
∴AC＝ ＝ ，
∴CD＝AC﹣AD＝ ﹣4＝ ，
∵∠DBC＝ ∠ABC，∠C＝ ∠ABC，
∴∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD＝ ，
∴BD的长为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，再由∠ABC＝2∠C，进而得∠C＝∠ABD，再结合∠A为公共角，即可证明△ABC∽△ADB；
（2）根据三角形相似性质得 ，求得AC= ，进而求得CD= ；由∠DBC＝ ∠ABC，∠C＝ ∠ABC，得∠DBC＝∠C，进而得BD＝CD，即可求出BD的长.
19．（2022九下·温州开学考）为了响应国家“双减”政策，温州某学校额外开设了A班电影鉴赏，B班漫画漫游，C班跑步健身三门兴趣课程，小智和小慧需选择一门课程学习.
（1）
用列表法或画树状图法，列出小智、小慧两人选课所有可能出现的情况.
（2）
求小智、小慧两人同班的概率.
【答案】（1）解：根据题意画树状图如下：
则小智、小慧两人选课所有可能出现的情况共有9种
（2）解：∵共有9种等可能的情况数，其中小智、小慧两人同班的有3种，
∴小智、小慧两人同班的概率是 ＝ .
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意正确画出树状图，得到所有可能出现的等可能情况的个数即可；
（2）通过画出的树状图，找到小智、小慧两人同班这种情况的个数，再由概率=频数÷总数，即可求得小智、小慧两人同班的概率.
20．（2022九下·温州开学考）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段.
（1）
在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直.
（2）
在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5.（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图1中，线段PQ即为所求；
（2）解：如图2中，线段MN即为所求.
【知识点】平行线分线段成比例；作图﹣相似变换；作图-垂线
【解析】【分析】（1）用三角尺一边与FG重合，另一个三角尺直角边与O重合，再AD和BC上找到P、Q两个格点，用直线连接PQ即可；
（2）取格点J、K，并连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N，再连接MN即可.
21．（2022九下·温州开学考）如图，抛物线y＝﹣x2+8x+m与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（1，0）.
（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；
（2）在y轴的正半轴上有一点E，过点E作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，若四边形ABDE为平行四边形，求CD的长.
【答案】（1）解：把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，得﹣1+8+m＝0，
解得m＝﹣7，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7，
∵y＝﹣x2+8x﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4；
当y＝0时，则﹣x2+8x﹣7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
B（7，0）.
（2）解：如图，作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，
∴EF＝4，
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴DE＝AB＝7﹣1＝6，
∴CF＝DF＝6﹣4＝2，
∴CD＝CF+DF＝2+2＝4，
∴CD的长为4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，得﹣1+8+m＝0，解得m，即可求出抛物线的解析式，配方化为顶点式即可求出对称轴；再令y=0得﹣x2+8x﹣7＝0，解得x1＝1，x2＝7，即可求出B点的坐标；
（2）作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，求得EF=4，根据平行四边形ABCD性质得DE=AB=6，进而求得CF=DF=2，根据CD=CF+DF即可求得CD的长.
22．（2022九下·温州开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF.
（1）
求证：EF＝BF.
（2）
若CD：BD＝1：3，AC＝2 ，求EF的长.
【答案】（1）证明：连接DE，如图，
∵BD为直径，
∴∠DBF＝∠DEB＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，
∴∠4＝∠ABF，
∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，
∴∠6＝∠ABF，
∴EF＝BF
（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵CD：BD＝1：3，
∴DE：BD＝1：3，
∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∴ ＝3，
∴AB＝3AC＝3×2 ＝6 ，
∴BC＝ ＝8，
∴CD＝ BC＝2，
∴AD＝ ，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，
∴△ACD∽△AFB，
∴ ，即 ，
∴BF＝2 ，
∴EF＝2 .
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接DE， 由BD为直径得∠DBF＝∠DEB＝90°，根据角平分线定义得∠1＝∠2，进一步得出∠4＝∠ABF，再由∠4＝∠5，∠5＝∠6，可得∠6＝∠ABF，即可推出EF＝BF；
（2）根据角平分线性质可知DE＝DC，由CD：BD＝1：3得DE：BD＝1：3；由∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，可判定△BDE∽△BAC，再利用相似性质得
，即
=3，进而求得AB=6
，再利用勾股定理求得BC=8，AD=2
；再根据∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，可判定△ACD∽△AFB，由相似性质得
，代入数据即可求出BF，进而求得EF.
23．（2022九下·温州开学考）抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫.该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式.线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件.设月销量y（件），线下售价x（元）.（12≤x≤24，且x为整数）
（1）
求y关于x的函数关系式；
（2）
若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件.
①当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润.
②商家第二个月决定继续捐款支持抗疫，捐款方式变为每卖出一件产品就捐款a元，为使商家线上和线下的月利润最低为700元，则a＝ ▲ .（直接写出答案）
【答案】（1）解：根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400
（2）解：①设线上和线下的月利润总和为w元，则
w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣ ）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元；
②1
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）②设商家线上和线下的月利润总和为w元，
根据题意得，w＝500（x﹣2﹣10﹣a）+（x﹣10﹣a）（﹣100x+2400），
即w＝﹣100x2+（3900+100a）x﹣30000﹣2900a，
∵﹣100＜0，抛物线开口向下，
∴x＝
＝
，
当x＝12，w取最小值为700时，700＝﹣100×122+12×3900+12×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝1，
此时抛物线对称轴为直线x＝
＝20，
20﹣12＞24﹣20，满足题意.
当x＝24，w取最小值为700时，700＝﹣100×242+3900×24+24×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝10.6，
此时抛物线对称轴为直线x＝
＝24.8，
24.8﹣24＞24.8﹣12，不满足题意.
故答案为：1.
【分析】（1）设月销量y件，线下售价x元，根据每增加1元，销量就减少100件可列关系式为y＝1200﹣100（x﹣12），整理即可求得y与x的函数关系式；
（2）①根据利润=销量×单件利润，总利润为线上和线下利润之和，即w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10），整理得w=-100（x-
）2+8025，再根据-100＜0，结合二次函数性质，当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，即可解决问题；②根据①总利润w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10），整理得w=-100x2+（3900+100a）x-30000-2900a，可求得对称轴x=
，由12≤x≤24讨论当x=12或x=24时商家线上和线下月利润为700元时对应的a值，求出符合条件的a值即可.
24．（2022九下·温州开学考）在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12.动点P从点A出发以2.5cm/s的速度沿折线A一B一C的路线向终点C运动.过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，点Q关于点O的对称点为M，过点P，Q，M作⊙I.设运动时间为t秒.
（1）
当t＝1时，求AQ和PQ的长.
（2）当P为AB中点时，请判断点B与⊙I的位置关系，并说明理由.
（3）在点P的整个运动过程中.
①当t为何值时，⊙I经过点B.
②当t＝
▲ 时，⊙I与边AB相切.
【答案】（1）解：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，AO＝ AC＝ ×16＝8，BO＝ BD＝ ×12＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP＝∠AOB＝90°，
∵∠QAP＝∠OAB，
∴△AQP∽△AOB，
∴ ，
当t＝1时，AP＝2.5×1＝2.5，
∴ ，
∴AQ＝2，PQ＝1.5；
（2）解：如图2，
点B在⊙I外，理由如下：
连接PM交OB与点I，
当P为AB中点时，
OQ＝ AO＝ ×8＝4，PQ＝ BO＝ ×6＝3，
∵点Q关于点O的对称点为M，
∴QM＝2OA＝2×4＝8，
∵PQ⊥OA，
∴PM为⊙I的直径，I为圆心，PM＝ ，
∴⊙I的半径r＝ ，
∵O是QM的中点，I是PM的中点，
∴OI是△MQP的中位线，
∴OI＝ PQ＝ ×3＝ ，
∴IB＝OB﹣OI＝6﹣ ＝ ＞r，
∴点B在⊙I外.
（3）解：①∵OQ＝AO﹣AQ＝AO﹣ ，
OI＝ ，
∴r＝ ，
BI＝OB﹣OI＝6﹣ ，
若⊙I经过点B，则BI＝r，
∴BI2＝r2，
∴ t2﹣32t+64＝（6﹣ ）2，
∴4t2﹣23t+28＝0，
解得：t＝4或t＝ ，
∴当t为4或 时，⊙I经过点B；
②4或
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（3）②r＝
，
∵⊙I与AB相切，
∴⊙I与AC也相切，与AB的切点为P，则BP＝AB﹣AP＝10﹣2.5t，
∵r＝
，
∴ ，
∴ ，
解得：t＝4或t＝
，
∴当t＝4或t＝
时，⊙I与边AB相切，
故答案为：4或
.
【分析】（1）利用菱形性质及勾股定理求出OA、OB、AB的长，根据两角相似证明△AQP∽△AOB，再利用相似三角形对应边成比例推出当t=1时，AP的值，进而求出AQ、PQ的长；
（2）连接PM交OB与点I，当P为AB中点时，利用菱形性质及对称性，求出⊙I的半径，再根据O是QM的中点，I是PM的中点得到OI是△MQP的中位线，求得OI的长度，进而求出IB的长度，再比较IB和半径的大小即可判断B点和⊙I的位置关系；
（3）①根据题意先表示出OQ和QI的长度，进而求得半径r，即可求出BI的长度，再利用BI=r，列出关于t的一元二次方程，解方程即可求出t的值；②由①可知r=
，根据⊙I与AB相切，可知⊙I与AC也相切，与AB的切点为P，则BP＝AB﹣AP＝10﹣2.5t，进而求得r=
，进而列出方程
=
，解方程即可求得t值.
1 / 1浙江省温州市南浦实验中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。）
1．（2022九下·温州开学考）若 ＝ ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九下·温州开学考）下列事件中：
①明天会下雨；②一个班（40人）里有两人的生日在同一天；③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球；④太阳东升西落.
不可能事件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022九下·温州开学考）将抛物线y＝ x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝ （x+2）2 B．y＝ （x﹣2）2
C．y＝ x2+2 D．y＝ x2﹣2
4．（2022九下·温州开学考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
5．（2022九下·温州开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2019九上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
7．（2022九下·温州开学考）如图，在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的的路径长为（ ）
A．6 B．2π C．3π D．4π
8．（2022九下·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
9．（2022九下·温州开学考）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 5 4 ﹣4 ﹣20 ﹣45 …
则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（ ）
A．﹣45 B．﹣20 C．﹣4 D．0
10．（2022九下·温州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则 为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（2022九下·温州开学考）二次函数y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标是 .
12．（2022九下·温州开学考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD等于 .
13．（2022九下·温州开学考）如图，在 ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）.
14．（2022九下·温州开学考）如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长），并在图中所示位置开2m的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共66m，设饲养室的长为x（m），占地面积为y（m2），请列出y关于x的函数关系式： .（不用写x的取值范围）
15．（2022九下·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
16．（2022九下·温州开学考）疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.
三、解答题（本题共有8小题，共80分，）
17．（2022九下·温州开学考）
（1）计算：|﹣1|+2cos30°﹣（
﹣3）0+（
）﹣2.
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（4﹣x）.
18．（2022九下·温州开学考）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C.
（1）
求证：△ABC∽△ADB.
（2）
已知AB＝5，AD＝4，求BD.
19．（2022九下·温州开学考）为了响应国家“双减”政策，温州某学校额外开设了A班电影鉴赏，B班漫画漫游，C班跑步健身三门兴趣课程，小智和小慧需选择一门课程学习.
（1）
用列表法或画树状图法，列出小智、小慧两人选课所有可能出现的情况.
（2）
求小智、小慧两人同班的概率.
20．（2022九下·温州开学考）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段.
（1）
在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直.
（2）
在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5.（保留作图痕迹）
21．（2022九下·温州开学考）如图，抛物线y＝﹣x2+8x+m与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（1，0）.
（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；
（2）在y轴的正半轴上有一点E，过点E作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，若四边形ABDE为平行四边形，求CD的长.
22．（2022九下·温州开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF.
（1）
求证：EF＝BF.
（2）
若CD：BD＝1：3，AC＝2 ，求EF的长.
23．（2022九下·温州开学考）抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫.该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式.线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件.设月销量y（件），线下售价x（元）.（12≤x≤24，且x为整数）
（1）
求y关于x的函数关系式；
（2）
若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件.
①当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润.
②商家第二个月决定继续捐款支持抗疫，捐款方式变为每卖出一件产品就捐款a元，为使商家线上和线下的月利润最低为700元，则a＝ ▲ .（直接写出答案）
24．（2022九下·温州开学考）在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12.动点P从点A出发以2.5cm/s的速度沿折线A一B一C的路线向终点C运动.过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，点Q关于点O的对称点为M，过点P，Q，M作⊙I.设运动时间为t秒.
（1）
当t＝1时，求AQ和PQ的长.
（2）当P为AB中点时，请判断点B与⊙I的位置关系，并说明理由.
（3）在点P的整个运动过程中.
①当t为何值时，⊙I经过点B.
②当t＝
▲ 时，⊙I与边AB相切.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ＝
，
∴设a＝3k，b＝4k，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】设a＝3k，b＝4k，再代入
中，得
，即可求出
的值.
2．【答案】A
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：下列事件中：
①明天会下雨，是随机事件；
②一个班（40人）里有两人的生日在同一天，是随机事件；
③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球，是不可能事件；
④太阳东升西落，是必然事件，
∴不可能事件的个数为：1.
故答案为：A.
【分析】随机事件是指一件事可能发生，也可能不发生；必然事件指一件事请肯定会发生；不可能事件是指一件事情不会发生. 据此判断即可得出不可能事件的个数.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝
x2的图象向左平移2个单位，所得到的抛物线表达式为：y＝
（x+2）2.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线图象平移的规律，即左加右减，上加下减，图象向左平移2个单位，在自变量后直接加2即可得到平移后的抛物线表达式.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=
AB，
在Rt△OAC中，AC＝ ，
∴AB＝2AC＝10
.
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理可得AC＝BC AB，在Rt△OAC中，由勾股定理得AC＝ ，求得AC= ，即可求出AB的长.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝25°，
∴∠CAB＝∠OCA＝25°，
∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：D.
【分析】连接OC，由OA＝OC，∠CAB＝25°，得∠CAB＝∠OCA＝25°，根据外角定理求得∠COD＝50°，由切线的性质得∠OCD＝90°，在根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】在△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴由勾股定理得，
BC＝ ＝5，
∴sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ，
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的定义求解，最后对各选项一一判断即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；弧长的计算；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CM，CM'，
∵在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，
∴CM＝
，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
∴CM＝6，
由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，
∵将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，
∴∠MCM'＝90°，
∴点M经过的的路径长为
，
故答案为：C.
【分析】连接CM，CM'，根据30°所对直角边等于斜边一半，斜边上中线等于斜边一半，得CM＝
，AB＝2AC＝12，进而得CM＝6；由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，即∠MCM'＝90°，根据弧长的计算公式l=
，代入数据即可求出点M的运动路径长.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（
）2＝
，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形性质得AB＝CD，AB∥CD，再由DE：CE＝3：4，进一步求得DE：AB＝3：7，由AB∥CD，易得△DEF∽△BAF，根据相似性质得
，即得S△DEF：S△ADF：＝3：7，再由面积比等于相似比得S△DEF：S△ABF＝9：49 ，即可求出S△DEF：S△ADF：S△ABF的比.
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表中数据得到对称轴为直线x＝
，
∴当x＜
时，y随x的增大而增大，当x＞
时，y随x的增大而减小，
∴x＝﹣2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝
时，y＝5，
∴二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是﹣20，
故答案为：B.
【分析】由表中数据得到对称轴为直线x＝
，根据二次函数性质可知，当x＜
时，y随x的增大而增大，当x＞
时，y随x的增大而减小，再由-2≤x≤2，当x=-2时，y＝﹣20，x＝2时，y＝﹣4，x＝
时，y＝5，即可求出二次函数的最小值.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，
∵四边形BCFG和四边形ABJH都是正方形，四边形BJIK是矩形，
∴BG＝BC，BA＝BJ，∠CBG＝∠ABJ＝90°
∴∠ABG＝∠JBC＝90°+∠ABC，
∴△ABG≌△JBC（SAS），
∴S△ABG＝S△JBC，
∵S△ABG＝
BG BC＝
S正方形BCFG，S△JBC＝
BJ BK＝
S矩形BJIK，
∴ S正方形BCFG＝
S矩形BJIK，
∴BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，
∴BC＝1，
∵四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，
∴AC＝2，
∵CI⊥HJ于点I，交AB于K，AB∥HJ，
∴∠CKB＝∠CIJ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CKB＝∠ACB，
∵∠CBK＝∠ABC，
∴△CBK∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝
，
∴CK＝2BK＝2m，
∵∠AKC＝∠ACB＝90°，∠CAK＝∠BAC，
∴△ACK∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝
，
∴AK＝2CK＝4m，
∵四边形MNPQ和四边形BJIK都是矩形，
∴∠M＝∠N＝∠P＝∠Q＝∠PRL＝90°，
∴∠LRN＝90°，
∴四边形MNRL和四边形PQLR都是矩形，
∴∠ALQ＝90°，
∵∠AHJ＝90°，
∴∠AHQ＝90°，
∴四边形AHQL是矩形，
∴QL＝AH＝AB＝m+4m＝5m，
∵∠M＝∠ELA＝∠AKC＝∠AED＝∠CAE＝90°，
∴∠MED＝90°﹣∠AEL＝∠LAE＝90°﹣∠CAK＝∠KCA，
∵DE＝EA＝AC，
∴△DEM≌△EAL≌△ACK（AAS），
∵EM＝AL＝CK＝2m，EL＝AK＝4m，
∴MQ＝2m+4m+5m＝11m，
∵∠BRG＝∠CKB＝∠CBG＝90°，
∴∠BGR＝90°﹣∠GBR＝∠CBK，
∵BG＝BC，
∴△BGR≌△CBK（AAS），
∴BR＝CK＝2m，
∴MN＝LR＝2m+5m+2m＝9m，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】延长AB交PN于点R，延长BA交MQ于点L，连结AG、CJ，设BK＝m，先根据“SAS”定理证明△ABG≌△JBC，推出BC2＝S正方形BCFG＝S矩形BJIK＝1，得BC＝1，再由四边形ACDE是正方形，且AC2＝S正方形ACDE＝4，得AC＝2；再通过相似三角形判定定理证明△CBK∽△ABC，△ACK∽△ABC，由相似三角形对应比成比例推出CK=2BK=2m，AK=2CK=4m；再证明出四边形MNRL、四边形PQJR和四边形AHQJ都为矩形，则QL＝AH＝=AB=5m；再根据“AAS”定理证明△DEM≌△EAL≌△ACK，可得EM=AL=CK=2m，EL=AK=4m，可求得MQ=11m；再由“AAS”定理证明△BGR≌△CBK，可得BR=CK=2m，可求得MN=9m，可求得
，即可解决问题.
11．【答案】（1，2）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+4＝2（x2﹣2x+2）＝2（x﹣1）2+2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象的顶点坐标是（1，2）.
故答案为（1，2）.
【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式y=2（x﹣1）2+2，的形式，（1，2）即位顶点坐标.
12．【答案】34°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故答案为：34°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90° ，即∠ADB=90°，进而求得∠A=34°，再由圆周角定理得∠BCD＝∠A，即可求出∠BCD度数.
13．【答案】3﹣ π
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝
AD＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣
﹣2×1÷2
＝4﹣
π﹣1
＝3﹣
π.
故答案为：3﹣
π.
【分析】过D点作DF⊥AB于点F，根据30°角所对直角边等于斜边 一半求得AD=1，由AD=AE，求得EB=2，再根据扇形面积公式s=
，求得扇形面积，根据三角形面积公式求得三角形EBC的面积，最后由阴影部分的面积=平行四边形面积-扇形面积-三角形EBC的面积，代入数据即可求出阴影部分的面积.
14．【答案】y＝﹣ x2+34x
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵设饲养室的长为x（m），
∴饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，
∴饲养室的宽是
＝（34﹣
x）m，
∴y＝（34﹣
x） x＝﹣
x2+34x.
故答案为：y＝﹣
x2+34x.
【分析】设饲养室的长为x（m），则饲养室的长用的材料是（x﹣2）m，宽用的材料是（34﹣
x）m，根据矩形面积=长×宽，可得y=（34﹣
x） x，整理即可求得y与x的函数关系式.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形性质得∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，由切线性质可得∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，可证明四边形AFOE，FBGO是正方形，得AF＝BF＝AE＝BG＝4，进而求得DE＝6；根据切线长定理可得DN＝DE＝6，MN＝MG，可求得CM＝6﹣MN，再在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2＝CD2+CM2，即（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，求得NM＝ ，进而可求出DM的长.
16．【答案】；（52 ﹣78）
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，
由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点.
∴QB＝
AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝
QB＝10
cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝
FM＝18
（cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18
cm，
∴PM＝2PF＝36
cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36
﹣10
＝26
（cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10
cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10
）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，
设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝
xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+
x）cm，
∴tan15°＝
，
∴tan15°＝
＝2+
，
∴P′F＝（2+
）（54+10
）＝（78﹣34
）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18
﹣（78﹣34
）＝（52
﹣78）cm.
故答案为：18
；（52
﹣78）cm.
【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，得BC＝6cm，再由BD＝CD﹣BC求得BD=14cm，进而求出FM=54cm，在含30°角的Rt△PMF，得PF＝ FM，求PF的长度即可；在含30°角的Rt△PMF中，得PM＝2PF＝36 cm，进而求得PQ＝PM﹣QM＝26 cm，当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，再延长P′Q交FC延长线于点N，得∠N+∠QBN＝∠P′QB，求得∠N=15°，进而得∠MQN＝∠N＝15°，可得MQ＝MN＝10 cm，进一步得FN=54+10 cm，再过点Q作QH⊥BM于点H，设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝ xcm，NH=MN+MH＝（2x+ x）cm，根据tan15°＝ ，得P'F=（78﹣34 ）cm，再由PP′＝PF﹣P′F，代入数据求得PP′，PP′即为小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差.
17．【答案】（1）解：原式＝1+2× ﹣1+4
＝1+ ﹣1+4
＝4+
（2）解：原式＝x2﹣4x+4﹣4x+x2
＝2x2﹣8x+4
【知识点】实数的运算；整式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则，从左到右，分别计算绝对值，特殊角的锐角三角函数，非零数的零次幂和负整数指数幂的值，再合并同类项即可求出结果；
（2）先根据完全平方公式化简（x-2）2，再去括号x（4-x），最后合并同类项即可化简求得结果.
18．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝ ∠ABC，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB.
（2）解：∵△ABC∽△ADB，
∴ ，
∵AB＝5，AD＝4，
∴AC＝ ＝ ，
∴CD＝AC﹣AD＝ ﹣4＝ ，
∵∠DBC＝ ∠ABC，∠C＝ ∠ABC，
∴∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD＝ ，
∴BD的长为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，再由∠ABC＝2∠C，进而得∠C＝∠ABD，再结合∠A为公共角，即可证明△ABC∽△ADB；
（2）根据三角形相似性质得 ，求得AC= ，进而求得CD= ；由∠DBC＝ ∠ABC，∠C＝ ∠ABC，得∠DBC＝∠C，进而得BD＝CD，即可求出BD的长.
19．【答案】（1）解：根据题意画树状图如下：
则小智、小慧两人选课所有可能出现的情况共有9种
（2）解：∵共有9种等可能的情况数，其中小智、小慧两人同班的有3种，
∴小智、小慧两人同班的概率是 ＝ .
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意正确画出树状图，得到所有可能出现的等可能情况的个数即可；
（2）通过画出的树状图，找到小智、小慧两人同班这种情况的个数，再由概率=频数÷总数，即可求得小智、小慧两人同班的概率.
20．【答案】（1）解：如图1中，线段PQ即为所求；
（2）解：如图2中，线段MN即为所求.
【知识点】平行线分线段成比例；作图﹣相似变换；作图-垂线
【解析】【分析】（1）用三角尺一边与FG重合，另一个三角尺直角边与O重合，再AD和BC上找到P、Q两个格点，用直线连接PQ即可；
（2）取格点J、K，并连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N，再连接MN即可.
21．【答案】（1）解：把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，得﹣1+8+m＝0，
解得m＝﹣7，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7，
∵y＝﹣x2+8x﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4；
当y＝0时，则﹣x2+8x﹣7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
B（7，0）.
（2）解：如图，作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，
∴EF＝4，
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴DE＝AB＝7﹣1＝6，
∴CF＝DF＝6﹣4＝2，
∴CD＝CF+DF＝2+2＝4，
∴CD的长为4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，得﹣1+8+m＝0，解得m，即可求出抛物线的解析式，配方化为顶点式即可求出对称轴；再令y=0得﹣x2+8x﹣7＝0，解得x1＝1，x2＝7，即可求出B点的坐标；
（2）作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，求得EF=4，根据平行四边形ABCD性质得DE=AB=6，进而求得CF=DF=2，根据CD=CF+DF即可求得CD的长.
22．【答案】（1）证明：连接DE，如图，
∵BD为直径，
∴∠DBF＝∠DEB＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，
∴∠4＝∠ABF，
∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，
∴∠6＝∠ABF，
∴EF＝BF
（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵CD：BD＝1：3，
∴DE：BD＝1：3，
∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∴ ＝3，
∴AB＝3AC＝3×2 ＝6 ，
∴BC＝ ＝8，
∴CD＝ BC＝2，
∴AD＝ ，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，
∴△ACD∽△AFB，
∴ ，即 ，
∴BF＝2 ，
∴EF＝2 .
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接DE， 由BD为直径得∠DBF＝∠DEB＝90°，根据角平分线定义得∠1＝∠2，进一步得出∠4＝∠ABF，再由∠4＝∠5，∠5＝∠6，可得∠6＝∠ABF，即可推出EF＝BF；
（2）根据角平分线性质可知DE＝DC，由CD：BD＝1：3得DE：BD＝1：3；由∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，可判定△BDE∽△BAC，再利用相似性质得
，即
=3，进而求得AB=6
，再利用勾股定理求得BC=8，AD=2
；再根据∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，可判定△ACD∽△AFB，由相似性质得
，代入数据即可求出BF，进而求得EF.
23．【答案】（1）解：根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400
（2）解：①设线上和线下的月利润总和为w元，则
w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣ ）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元；
②1
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）②设商家线上和线下的月利润总和为w元，
根据题意得，w＝500（x﹣2﹣10﹣a）+（x﹣10﹣a）（﹣100x+2400），
即w＝﹣100x2+（3900+100a）x﹣30000﹣2900a，
∵﹣100＜0，抛物线开口向下，
∴x＝
＝
，
当x＝12，w取最小值为700时，700＝﹣100×122+12×3900+12×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝1，
此时抛物线对称轴为直线x＝
＝20，
20﹣12＞24﹣20，满足题意.
当x＝24，w取最小值为700时，700＝﹣100×242+3900×24+24×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝10.6，
此时抛物线对称轴为直线x＝
＝24.8，
24.8﹣24＞24.8﹣12，不满足题意.
故答案为：1.
【分析】（1）设月销量y件，线下售价x元，根据每增加1元，销量就减少100件可列关系式为y＝1200﹣100（x﹣12），整理即可求得y与x的函数关系式；
（2）①根据利润=销量×单件利润，总利润为线上和线下利润之和，即w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10），整理得w=-100（x-
）2+8025，再根据-100＜0，结合二次函数性质，当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，即可解决问题；②根据①总利润w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10），整理得w=-100x2+（3900+100a）x-30000-2900a，可求得对称轴x=
，由12≤x≤24讨论当x=12或x=24时商家线上和线下月利润为700元时对应的a值，求出符合条件的a值即可.
24．【答案】（1）解：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AC⊥BD，AO＝ AC＝ ×16＝8，BO＝ BD＝ ×12＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP＝∠AOB＝90°，
∵∠QAP＝∠OAB，
∴△AQP∽△AOB，
∴ ，
当t＝1时，AP＝2.5×1＝2.5，
∴ ，
∴AQ＝2，PQ＝1.5；
（2）解：如图2，
点B在⊙I外，理由如下：
连接PM交OB与点I，
当P为AB中点时，
OQ＝ AO＝ ×8＝4，PQ＝ BO＝ ×6＝3，
∵点Q关于点O的对称点为M，
∴QM＝2OA＝2×4＝8，
∵PQ⊥OA，
∴PM为⊙I的直径，I为圆心，PM＝ ，
∴⊙I的半径r＝ ，
∵O是QM的中点，I是PM的中点，
∴OI是△MQP的中位线，
∴OI＝ PQ＝ ×3＝ ，
∴IB＝OB﹣OI＝6﹣ ＝ ＞r，
∴点B在⊙I外.
（3）解：①∵OQ＝AO﹣AQ＝AO﹣ ，
OI＝ ，
∴r＝ ，
BI＝OB﹣OI＝6﹣ ，
若⊙I经过点B，则BI＝r，
∴BI2＝r2，
∴ t2﹣32t+64＝（6﹣ ）2，
∴4t2﹣23t+28＝0，
解得：t＝4或t＝ ，
∴当t为4或 时，⊙I经过点B；
②4或
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（3）②r＝
，
∵⊙I与AB相切，
∴⊙I与AC也相切，与AB的切点为P，则BP＝AB﹣AP＝10﹣2.5t，
∵r＝
，
∴ ，
∴ ，
解得：t＝4或t＝
，
∴当t＝4或t＝
时，⊙I与边AB相切，
故答案为：4或
.
【分析】（1）利用菱形性质及勾股定理求出OA、OB、AB的长，根据两角相似证明△AQP∽△AOB，再利用相似三角形对应边成比例推出当t=1时，AP的值，进而求出AQ、PQ的长；
（2）连接PM交OB与点I，当P为AB中点时，利用菱形性质及对称性，求出⊙I的半径，再根据O是QM的中点，I是PM的中点得到OI是△MQP的中位线，求得OI的长度，进而求出IB的长度，再比较IB和半径的大小即可判断B点和⊙I的位置关系；
（3）①根据题意先表示出OQ和QI的长度，进而求得半径r，即可求出BI的长度，再利用BI=r，列出关于t的一元二次方程，解方程即可求出t的值；②由①可知r=
，根据⊙I与AB相切，可知⊙I与AC也相切，与AB的切点为P，则BP＝AB﹣AP＝10﹣2.5t，进而求得r=
，进而列出方程
=
，解方程即可求得t值.
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