湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年八年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．如图是科学防控新冠肺炎病毒传染的宣传图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏捂口鼻 B．喷嚏后慎揉眼
C．勤洗手勤通风 D．戴口罩讲卫生
2．（2020七下·昌平期末）北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来在亚太地区定位精度将优于5米，测速精度优于0.1米/秒，授时精度优于10纳秒，10纳秒为0.00000001秒，0.00000001用科学记数法表示为（ ）
A．0.1×10﹣7 B．1×10﹣8 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣8
3．（2021八下·长沙开学考）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
4．（2022八下·湖南开学考）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25
5．（2021七下·裕安期末）若二次三项式 是一个完全平方式，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·长沙开学考）下列二次根式中，（ ）是最简二次根式.
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
8．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
A．220° B．180° C．270° D．240°
10．（2021八下·长沙开学考）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如果代数式有意义，那么x的取值范围是 .
12．（2019·淄博模拟）分解因式： = .
13．（2022八下·湖南开学考）若关于x的分式方程有增根，则a= .
14．如图，在中，点D、E、F分别是各边的中点，若的面积为，则的面积是 .
15．（2022八下·湖南开学考）已知，则 .
16．（2022八下·湖南开学考）已知O、A、B的坐标分别是，在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 .
三、解答题
17．（2022八下·湖南开学考）计算：
18．（2022八下·湖南开学考）先化简，再求值：，其中.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）.
（1）直接写出点C关于x轴的对称点的坐标；
（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为-1）的对称图形，写出点C关于直线m的对称点C1的坐标；
（3）点P是坐标轴上一点，使△ABP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有 ，任意写出符合条件的两个P点的坐标 .
20．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求OEC的面积.
21．（2022八下·湖南开学考）2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生.某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元：其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍.
（1）求A，B两种饰品的单价.
（2）购买当日，正逢开学季搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种饰品的资金不少于720元，A，B两种饰品共100件：问购买A，B两种饰品有哪几种方案？
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP.
（1）观察猜想：如图（1），DP与CP之间的数量关系是 ，DP与CP之间的位置关系是 .
（2）类比探究： 将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3，将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，不合题意；
B.不是轴对称图形，不合题意；
C.不是轴对称图形，不合题意；
D.是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000001＝1×10﹣8．
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：+1的倒数是.
故答案为：C.
【分析】根据1除以一个数等于这个数的倒数可得+1的倒数是，然后给分子、分母同时乘以-1分母有理化即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、92+402=412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.32+0.42=0.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于较大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
5．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵-8x=-2×4x，
∴m2=42=16，
解得m=±4．
故答案为：A．
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是4和x，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可。
6．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C、，的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=2，
∴AC=2OA=4，
∴CD=，
∴矩形的面积=AD CD=；
故答案为：C.
【分析】
8．【答案】A
【解析】【解答】∵三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴A符合题意；
∵三条高所在直线的交点不满足到三角形三个顶点的距离相等，
∴B不符合题意；
∵三条角平分线的的交点不满足到三角形三个顶点的距离相等，
∴C不符合题意；
∵三条中线的交点不满足到三角形三个顶点的距离相等，
∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】
9．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，是等边三角形，
，
，即，
，
故答案为：D.
【分析】
10．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据提速前列车的平均速度为，得提速后的速度为，列车用相同时间比提速前多行驶，列方程得.
故答案为：A.
【分析】根据时间等于路程除以速度，分别表示出提速前行驶400km所用的时间及提速后行驶500km所用的时间，然后根据时间相同就可列出方程.
11．【答案】x≥-1且x≠0
【解析】【解答】解：∵二次根式的被开方数是非负数，
∴，
解得.
又∵分母不等于零，
∴，
∴且.
故答案是：x≥-1且x≠0
【分析】
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
.
【分析】先提取公因式x，然后利用十字相乘法分解即可.
13．【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得： x a＝3-x，
由分式方程有增根，得到x 3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：3 a＝3-3，
解得：a＝3.
故答案为：3.
【分析】将分式方程化为整式方程可得x a＝3-x，所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此可得出x的值，分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，据此将x的值代入x-a＝3-x中求解就可得到a的值.
14．【答案】4
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF//BC，DF＝BC，
∴DF//BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故答案为：4.
【分析】
15．【答案】-
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
把a+b=-3ab代入分式，得
=
=
=
=- .
故答案为：-.
【分析】待求式可变形为，然后将已知条件代入化简即可.
16．【答案】（4，-1）或（2，3）或（-4，1）
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
O、A、B的坐标分别是
设，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，
①当OA为对角线时，，解得，则
②当AB为对角线时，，解得，则
③当BO为对角线时，，解得，则
综上所述，点M的坐标为（4，-1）或（2，3）或（-4，1）.
故答案为：（4，-1）或（2，3）或（-4，1）.
【分析】设M（x，y），然后分①OA为对角线；②AB为对角线；③BO为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分进行计算即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂、二次根式的性质及负整数指数幂的运算性质分别化简，然后合并同类二次根式以及进行有理数的加减法计算即可.
18．【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中分式的分母进行分解，然后通分，将除法化为乘法，再约分可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：点C关于x轴的对称点的坐标是（4，-3）
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
；
C1的坐标为（4，-5）；
（3）6；（0，4），（1，0）
【解析】【解答】解：(1)∵点C的坐标是（4，3）
∴点C关于x轴的对称点的坐标是（4，-3）
(3)符合条件的点P的个数有6个，符合条件的两个P点的坐标比如（0，4），（1，0），（2，0）等
故答案为：6；（0，4），（1，0）
【分析】
20．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF是△BDC的中位线，
∴，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°，
∴在Rt△EDC中，EC=CD=1
∴△OEC的面积.
21．【答案】（1）解：设A饰品的单价为x元，则B奖品的单价为（）元，由题意可得：
，解得
经检验，是原方程的解，
则
答：A饰品的单价为40元，B饰品的单价为15元.
（2）解：设购买A饰品的数量为m件，则购买B饰品的数量为件，由题意得：
，
解得 ，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A型号饰品23件，B型号饰品77件；
②购买A型号饰品24件，B型号饰品76件；
③购买A型号饰品25件，B型号饰品75件.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A饰品的单价为x元，则B奖品的单价为（x-25）元，购买B种商品的钱数为1700-800=900元，由题意可得800元可购买A种商品的数量为件，900元可购买B种商品的数量为件，然后根据购买B种的数量是A种的3倍建立方程，求解即可；
（2）设购买A饰品的数量为m件，则购买B饰品的数量为（100-m）件，由购买A种饰品的资金不少于720元得40×0.8m≥720，根据预算资金为1700元可得40×0.8m+15×0.8×(100-m)≤1700，联立不等式求出m的范围，结合m为正整数可得m的值，进而可得购买方案.
22．【答案】（1）PD＝PC；PD⊥PC
（2）解：结论成立.理由如下：
过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O.
则
∴，
∴，，
由勾股定理可得：
∴
∴
∴
∵点P为AE的中点，
∴
∴
在中，，
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴.
（3）解：PC的长为4或2.
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，
∵，
∴，
∵点P为AE的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴
故答案为：，.
（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q.
则，
∴
∵
∴
由（2）可得，，，∴为等腰直角三角形
∴
∴
由勾股定理得，
如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2.
综上所述，PC的长为4或2.
【分析】
1 / 1湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年八年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．如图是科学防控新冠肺炎病毒传染的宣传图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏捂口鼻 B．喷嚏后慎揉眼
C．勤洗手勤通风 D．戴口罩讲卫生
【答案】D
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，不合题意；
B.不是轴对称图形，不合题意；
C.不是轴对称图形，不合题意；
D.是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】
2．（2020七下·昌平期末）北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来在亚太地区定位精度将优于5米，测速精度优于0.1米/秒，授时精度优于10纳秒，10纳秒为0.00000001秒，0.00000001用科学记数法表示为（ ）
A．0.1×10﹣7 B．1×10﹣8 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣8
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000001＝1×10﹣8．
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2021八下·长沙开学考）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：+1的倒数是.
故答案为：C.
【分析】根据1除以一个数等于这个数的倒数可得+1的倒数是，然后给分子、分母同时乘以-1分母有理化即可.
4．（2022八下·湖南开学考）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、92+402=412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.32+0.42=0.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于较大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
5．（2021七下·裕安期末）若二次三项式 是一个完全平方式，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵-8x=-2×4x，
∴m2=42=16，
解得m=±4．
故答案为：A．
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是4和x，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可。
6．（2021八下·长沙开学考）下列二次根式中，（ ）是最简二次根式.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C、，的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=2，
∴AC=2OA=4，
∴CD=，
∴矩形的面积=AD CD=；
故答案为：C.
【分析】
8．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【解析】【解答】∵三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴A符合题意；
∵三条高所在直线的交点不满足到三角形三个顶点的距离相等，
∴B不符合题意；
∵三条角平分线的的交点不满足到三角形三个顶点的距离相等，
∴C不符合题意；
∵三条中线的交点不满足到三角形三个顶点的距离相等，
∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】
9．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
A．220° B．180° C．270° D．240°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，是等边三角形，
，
，即，
，
故答案为：D.
【分析】
10．（2021八下·长沙开学考）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据提速前列车的平均速度为，得提速后的速度为，列车用相同时间比提速前多行驶，列方程得.
故答案为：A.
【分析】根据时间等于路程除以速度，分别表示出提速前行驶400km所用的时间及提速后行驶500km所用的时间，然后根据时间相同就可列出方程.
二、填空题
11．如果代数式有意义，那么x的取值范围是 .
【答案】x≥-1且x≠0
【解析】【解答】解：∵二次根式的被开方数是非负数，
∴，
解得.
又∵分母不等于零，
∴，
∴且.
故答案是：x≥-1且x≠0
【分析】
12．（2019·淄博模拟）分解因式： = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
.
【分析】先提取公因式x，然后利用十字相乘法分解即可.
13．（2022八下·湖南开学考）若关于x的分式方程有增根，则a= .
【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得： x a＝3-x，
由分式方程有增根，得到x 3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：3 a＝3-3，
解得：a＝3.
故答案为：3.
【分析】将分式方程化为整式方程可得x a＝3-x，所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此可得出x的值，分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，据此将x的值代入x-a＝3-x中求解就可得到a的值.
14．如图，在中，点D、E、F分别是各边的中点，若的面积为，则的面积是 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF//BC，DF＝BC，
∴DF//BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故答案为：4.
【分析】
15．（2022八下·湖南开学考）已知，则 .
【答案】-
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
把a+b=-3ab代入分式，得
=
=
=
=- .
故答案为：-.
【分析】待求式可变形为，然后将已知条件代入化简即可.
16．（2022八下·湖南开学考）已知O、A、B的坐标分别是，在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 .
【答案】（4，-1）或（2，3）或（-4，1）
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
O、A、B的坐标分别是
设，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，
①当OA为对角线时，，解得，则
②当AB为对角线时，，解得，则
③当BO为对角线时，，解得，则
综上所述，点M的坐标为（4，-1）或（2，3）或（-4，1）.
故答案为：（4，-1）或（2，3）或（-4，1）.
【分析】设M（x，y），然后分①OA为对角线；②AB为对角线；③BO为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分进行计算即可.
三、解答题
17．（2022八下·湖南开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂、二次根式的性质及负整数指数幂的运算性质分别化简，然后合并同类二次根式以及进行有理数的加减法计算即可.
18．（2022八下·湖南开学考）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】对括号中分式的分母进行分解，然后通分，将除法化为乘法，再约分可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）.
（1）直接写出点C关于x轴的对称点的坐标；
（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为-1）的对称图形，写出点C关于直线m的对称点C1的坐标；
（3）点P是坐标轴上一点，使△ABP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有 ，任意写出符合条件的两个P点的坐标 .
【答案】（1）解：点C关于x轴的对称点的坐标是（4，-3）
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
；
C1的坐标为（4，-5）；
（3）6；（0，4），（1，0）
【解析】【解答】解：(1)∵点C的坐标是（4，3）
∴点C关于x轴的对称点的坐标是（4，-3）
(3)符合条件的点P的个数有6个，符合条件的两个P点的坐标比如（0，4），（1，0），（2，0）等
故答案为：6；（0，4），（1，0）
【分析】
20．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求OEC的面积.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF是△BDC的中位线，
∴，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°，
∴在Rt△EDC中，EC=CD=1
∴△OEC的面积.
21．（2022八下·湖南开学考）2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生.某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元：其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍.
（1）求A，B两种饰品的单价.
（2）购买当日，正逢开学季搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种饰品的资金不少于720元，A，B两种饰品共100件：问购买A，B两种饰品有哪几种方案？
【答案】（1）解：设A饰品的单价为x元，则B奖品的单价为（）元，由题意可得：
，解得
经检验，是原方程的解，
则
答：A饰品的单价为40元，B饰品的单价为15元.
（2）解：设购买A饰品的数量为m件，则购买B饰品的数量为件，由题意得：
，
解得 ，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A型号饰品23件，B型号饰品77件；
②购买A型号饰品24件，B型号饰品76件；
③购买A型号饰品25件，B型号饰品75件.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A饰品的单价为x元，则B奖品的单价为（x-25）元，购买B种商品的钱数为1700-800=900元，由题意可得800元可购买A种商品的数量为件，900元可购买B种商品的数量为件，然后根据购买B种的数量是A种的3倍建立方程，求解即可；
（2）设购买A饰品的数量为m件，则购买B饰品的数量为（100-m）件，由购买A种饰品的资金不少于720元得40×0.8m≥720，根据预算资金为1700元可得40×0.8m+15×0.8×(100-m)≤1700，联立不等式求出m的范围，结合m为正整数可得m的值，进而可得购买方案.
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP.
（1）观察猜想：如图（1），DP与CP之间的数量关系是 ，DP与CP之间的位置关系是 .
（2）类比探究： 将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3，将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长.
【答案】（1）PD＝PC；PD⊥PC
（2）解：结论成立.理由如下：
过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O.
则
∴，
∴，，
由勾股定理可得：
∴
∴
∴
∵点P为AE的中点，
∴
∴
在中，，
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴.
（3）解：PC的长为4或2.
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，
∵，
∴，
∵点P为AE的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴
故答案为：，.
（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q.
则，
∴
∵
∴
由（2）可得，，，∴为等腰直角三角形
∴
∴
由勾股定理得，
如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2.
综上所述，PC的长为4或2.
【分析】
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