数学人教A版（2019）必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系（共19张ppt）

(共19张PPT)
5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握三角函数的基本关系;
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
学习目标
知识回顾
1.三角函数的定义
设是一个任意角，.它的终边OP与单位圆相交于P(x,y)
（1）把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即
（2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即=.
2.三角函数值在各象限的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
探究新知
+=1
=
同一个角的正弦函数、余弦函数的平方和等于1，商等于角的正切.
由特殊到一般
算一算，填一填
+= = =
+= = =
+= = =
猜想：你发现了什么规律？你能用代数式表示这个规律吗？你能用自然语言描述这个规律吗
=
+=1
探究新知
平方关系：
商数关系：
同一个角的正弦函数、余弦函数的平方和等于1，商等于角的正切.
证明：设点是角的终边与单位圆的交点，过P作轴的垂线交轴于M，则是直角三角形，而且, ,,由勾股定理，得,即 =1，
由
同角三角函数的基本关系
说明：
1.是的简写，读作“的平方”；
2.商数关系成立的条件：;
3.“同角”有两层含义：(1)“角相同”：如；
(2) 对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关：如不一定成立.
变形公式
知一求二
+=1
小试牛刀
思考辨析：（正确画，错误画）
(1) 对任意角，=1. ( )
(2) 对任意角， ( )
(3) +=1. ( )
(4) 若是第二象限角，则. ( )
(5) =1. ( )
√
×
×
×
√
解：因为 ，所以是第三、四象限角.
由，得
=.
当是第三象限角，则，
所以，
.
当是第四象限角，则，
所以 .
典例讲解
分类讨论
题型一：已知某个三角函数值，求其余三角函数值（知一求二）
例1.已知，求和的值.
小结：知弦求切，先平方关系，再商数关系，并且在不知象限时，要分类讨论.
方程（组）思想
练习：已知，且是第三象限角，求，的值.
解：由，得，
由，得，
又因为是第三象限角，所以，
.
小结：知切求弦，先商数关系，再平方关系，且在开方前根据象限确定符号.
典例讲解
关于和的齐次式是式子中的每一项都是关于，的式子且它们的次数之和相同.
题型二：已知，求关于和的齐次式的值.
例2.若，求下列各式的值.
(1);
(2)
解：（1）原式=
=
切弦互化
转化化归
（2）解法一：原式
解法二：原式
练习：已知
解：原式
小结：已知，求关于和齐次式的值.
(1)形如的分式，将分子分母同除以，再代入求值.
(2)形如，再代入求值.
（3）形如的式子，将其看作分母为1的分式，再将分母1变形为，转化成形如的分式求解.
典例讲解
左右归一
题型三：三角恒等式的证明
例3.求证：
证法1：由，知,所以,于是
左边
右边.
证法2：由，知,所以,于是
左边
右边=左边
原式成立.
过程完整性
条件严谨性
变更命题法
比较法
证法3：因为
且 ,
所以.
证法4：
.
小结：证明三角恒等式的基本方法：
（1）由繁到简：从繁琐的一边证到简单的一边；
（2）左右归一：即证明左右两边等于同一个式子；
（3）变更命题法：如要证明,可证或
（4）比较法：即证明“左边-右边=0”或“=1”
由繁到简
练习：
求证：
证明：左边=
.
证明完毕.
1.同角三角函数的基本关系
2.思想方法
数形结合、分类讨论、方程（组）思想、转化与化归
课堂小结
平方关系：
商数关系： =