7.4一元一次方程的应用 教案 青岛版数学七年级上册

7.4一元一次方程的应用
教学目标
1、经历运用方程解决实际问题的过程，发展应用数学的意识；
2、熟练运用列方程解应用题的一般步骤列方程；
3、学会列一元一次方程解决与行程有关的实际问题。
教学重难点
运用方程解决实际问题
教学过程
3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵，要正好使每个树坑种一棵树，则该年级的男生、女生各有多少人？
(1)审题：审清题意，找出已知量和未知量；
(2)设未知数：设该年级的男生有x人，那么女生有（170-x）人；
(3)列方程：根据相等关系，列方程为3x=7（170-x）；
(4)解方程，得x＝119，则女生有51人；
(5)检验：将解得的未知数的值放入实际问题中进行验证；
(6)作答：答：该年级有男生119人，女生51人．
探索新知
设未知数的方法
设未知数的方法：
(1)直接设未知数：即题目求什么就设什么为未知数；
(2)间接设未知数：直接设所求的量为未知数，不便列方程时，可设与所求量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量．
应用举例
小彬用172元钱买了两种书，共10本，单价分别为18元、10元，每种书小彬各买了多少本？
解：设单价为18元的书买了x本，则单价为10元的书买了(10－x)本．
根据题意，得18x＋10(10－x)＝172，
解得x＝9，则10－x＝10－9＝1，
所以单价为18元的书买了9本，
单价为10元的书买了1本．
一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，现由甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作完成这项工程，则甲一共做了多少天？
分析：对于工程问题，一般有工作效率×工作时间＝工作总量，当工作总量没有具体数值时，一般看作“1”．
解：设甲一共做了x天．
根据题意， ，
解得 x＝24.
答：甲一共做了24天．
相遇问题
甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？
问题1：找出本题中的等量关系.
轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲乙两地间的路程.
问题2：设两车出发后xh相遇，请解释下图的含义
问题3：列出的方程是90x+60x=375
解得x=2.5.
即轿车与公共汽车出发后2.5h在途中相遇.
变式：
小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇
一般行程问题
1. 行程问题的基本关系式：
路程＝速度×时间，
时间＝路程÷速度，
速度＝路程÷时间．
探索新知
2.行程问题中的等量关系：
(1)相遇问题中的等量关系：
①甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙出发点之间的路程；
②若甲、乙同时出发，甲用的时间＝乙用的时间．
(2)追及问题中的等量关系：
①快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；
②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间＝慢者用的时间．
某期3年国债，年利率为5.18%；这期国债发行时，3年定期存款的年利率为5%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来买这期国债比存3年定期存款到期后可多得利息43.2元，那么这笔钱为多少元？
分析：利息＝本金×年利率×年数
解：设这笔钱是x元.依题意，得
x×5.18%×3-x×5%×3=43.2.
解得 x=8000.
答:这笔钱是8000元.
归纳
列一元一次方程解决百分率问题、销售问题
百分率问题：储蓄问题、增长率问题
销售问题：利润=售价-进价
利润率=利润÷进价
售价=标价×折扣÷10
在例题的情境中，如果点P到达点B后沿BC方向继续运动，点Q到达点A后沿AB方向继续运动，如图所示，当点P到达C点时，点P和点Q同时停止运动。试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段CP长度的一半。
等量关系：AQ=CP
用含t的代数式表示线段
(

)AP=2t，CP=18-2t
动点问题解题策略
一.关注运动全称
二.分析出 关键图形
三.找到等量关系
四.用代数式表示线段
五.建方程
六.解方程
七.检验
（1）方程的解是否专正确
（2）方程的解是否符合题意
一个旅行团从驻地出发，经2h到达某景区参观，返回时，仍以去时的速度行走，但由于更改路线，比去时多走了6km，因此用了3h才回到驻地，求去时的路程.
解：设去时的路程为xkm.
依据题意得
解得：x=12
答：去时的路程是12km.
一块长200cm，宽100cm，厚1cm的钢板，经锻压后，宽度不变，长度增加到320cm，锻压后的钢板厚度是多少厘米？
解：设锻压后的钢板厚度为x厘米.
依据题意得：200×100 ×1=320 ×100 ×x
解得：x=0.625
答：锻压后的钢板厚度是0.625厘米.
归纳
方案问题：
找等量关系，并能用其中一个量表示另一个未知量。
追及问题：
同地不同时出发：
前者走的路程=后者走的路程；
同时不同地出发：
前者走的时间=后者走的时间；
前者走的路程+两者始发距离=追者走的路程。
将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
等量关系：变形前的体积=变形后的体积
1、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发，每小时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米，问两车同时、同向而行，如果慢车在前，出发后多长时间快车追上慢车？
分析：此题属于追及问题，等量关系为：
快车路程—慢车路程＝相距路程
解：出发x小时后快车追上慢车，则依题意可得：
80x - 60x＝448 解得：x=22.4
答：出发22.4小时后快车追上慢车。
2、甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而 行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍．
（1）几小时后两车相遇？
2）若吉普车先开40分钟，那么客车开出多长时间两车相遇？
分析：（1）若两车同时出发，则等量关系为：
吉普车的路程+客车的路程＝1500
解:（1）设两车x小时后相遇，依题意可得
60x+（60÷1.5）x=1500
解得：x=15
答：15小时后两车相遇。
分析：(2)若吉普车先出发40分钟(即2/3小时)，则等量关系为：
吉普车先行路程+吉普车后行路程+客车路程＝1500
解：（2）设客车开出x小时后两车相遇，依题意可得
60×2/3+60x+（60÷1.5）x=1500
解得：x=14.6
答： 14.6小时后两车相遇。
行程问题-——相遇问题
关系式：甲走的路程+乙走的路程＝AB两地间的距离
3、甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
分析：等量关系
乙先跑的路程+乙后跑的路程＝甲跑的路程
解：设甲经过x秒后追上乙，则依题意可得
6.5×（x+1）＝7x
解得：x=13
答：甲经过13秒后追上乙。
4、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．
顺水航行速度= 水流速度 +静水航行速度．
逆水航行速度=静水航行速度－水流速度．
解：设船在静水中的平均速度为x千米/小时，则船顺水的速
度为(x+3)千米/小时，而逆水的速度为(x-3)千米/小时。
则依题意可得：
2（x+3）=2.5（x-3）
解得：x=27
答：该船在静水中的速度为27千米/小时。
5. 2011年11月9日，李华在某银行存入一笔一年期定期存款，年利率是3.5%，一年到期后取出时，他可得本息和3105元，求李华存入的本金是多少元.
解 设李华存入的本金是x 元，根据等量关系，得
x+1×3.5 % x = 3105
解得 x=3000
答：李华存入的本金是3000元
列方程解应用题中的设元问题是一个十分广泛、灵活而有趣的内容，没有一种万能的方法，没有一种必由的途径．总之，设元的宗旨要使列方程的思路简捷，列出的方程的解法容易．在学习中必须灵活运用．切忌生搬硬套．
总结
列方程解应用题的原理是：正确列出的方程能准确地表达出题目中各量之间的关系．就是说，方程即表达了题意，这样方程中未知数的值能使方程成立，也就符合题意．
我们对间接未知数的作用有了一个初步的了解，它是我们从已知通向未知，从复杂通向简单，从困难通向容易的一座桥梁。正因为如此，在选择哪一个未知数作为间接未知数时，要经过认真思考，为此一定要弄清题意，弄清题目中已知数与未知数之间的数量关系。
课堂小结
1.实际问题
2.数学问题
（一元一次方程）
3.数学问题的解
（一元一次方程的解）
4.实际问题的解