广东省深圳市宝安区海旺学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019八下·滕州期末）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七下·济宁高新区期末）如果点P（x-4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·宝安开学考）…依次观察左边的三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·宝安开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
5．（2023九上·宝安开学考）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
6．（2023九上·宝安开学考）已知分式（其中a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 0.5 －2 m
分式 无意义 值为0 值为1
则m的值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
7．（2023九上·宝安开学考）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·宝安开学考）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．不能确定
9．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A． B．4 C． D．5
10．（2023九上·宝安开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共28分）
11．（2023九上·宝安开学考）已知x＋y＝6xy，则＋＝ ．
12．（2023九上·宝安开学考）若n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则边数n＝ ．
13．（2023九上·宝安开学考）若关于x的一元二次方程（k－2）x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是 ．
14．（2023九上·宝安开学考）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，AC＝6，则AE＝ .
15．（2023九上·宝安开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是边BC上一点，M为AB边上的中点，点D，E分别为CN，MN的中点，DE的值是 ．
16．（2023九上·宝安开学考）如图，等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交OA于点C，再分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线OE交AB于点D，若点B的坐标为（1，1），则点D的坐标为 ．
17．（2020九上·抚州期末）如图， ， ， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
三、解答题（共62分）
18．（2023九上·宝安开学考）
（1）解不等式（组）：；
（2）解方程：x2＋2x－15＝0．
19．（2023九上·宝安开学考）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（4，2）、（2，4）．
⑴将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1；
⑵将△ABC绕着O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出旋转后的△A2B2C2；
⑶将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到B1A1（其中点A的对应点为点B1，点B的对应点为点A1），则这个定点的坐标是 ▲ ．
20．（2023八下·黄岛期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： ；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
21．（2023·长沙模拟）如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，延长，过点D作，交的延长线于点C ．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积 ．
22．（2023八下·罗湖期末）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．
（1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；
（2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
23．（2023九上·宝安开学考）学习完“一元一次不等式与一次函数”后，老师给出了这样一道练习题：如图，直线y＝2x与直线y＝kx＋b交于点A（1，m），求不等式kx＋b＞2x的解集．同学们都感觉这道题很容易，通过观察图象快速写出了这道题的答案是： ▲ ．接着，老师又提出了一个具有挑战性的题目：求不等式：的解集．小明所在的数学兴趣小组展开了对这个问题的探究，探究的思路是借助函数图象解决问题．
⑴首先画出函数的图象．的图象．
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ▲ ；
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，a）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；
X … －2 － －1 － 0 1 2 …
Y … 1 a 1 …
⑵观察分析图象特征，结合已有的学习经验和该函数的性质，可得不等式的解集是 ．
24．（2023九上·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴，y轴分别交于点B，A两点，点C在x轴上点B的右侧，四边形ABCD为平行四边形，且D（12，m）．
（1）m＝ ，点C的坐标为 ．
（2）一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
①连接CP，当CP平分∠BCD时，求此时△CDP的面积；
②另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
25．（2023九上·宝安开学考）如图1，△ABC，△EDC是两个等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠EDC＝90°，AB＝5，DE＝3，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF．
（1）如图1，当B，C，D三个点共线时，请直接写出BF与DF的数量关系与位置关系；
（2）如图2，将△EDC绕点C逆时针旋转，取AC与EC的中点G，H，当点G，H，F三点不共线时，连接GF，HF，BG，DH，求证：△BGF≌△FHD；
（3）在（2）的条件下，连接BD，在△EDC绕点C旋转的过程中，求△BFD面积的最小值，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
2．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（x-4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，
∴ ，
解得：-3＜x＜4，
在数轴上表示为： ，
故答案为：C．
【分析】根据点与象限的关系列出不等式组求出x人取值范围，再作出解集即可。
3．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：依次观察三个图形可知：从左至右，依次顺时针旋转72°，
∴第四个图形是D.
故答案为：D.
【分析】观察三个图形可知：从左至右，依次顺时针旋转72°，结合各选项即可求解.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的外接圆与外心；坐标与图形变化﹣平移；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴-2a＜-2b，∴1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、 将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（-2，6），此选项不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可以是等腰梯形，此选项不符合题意；
D、 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、根据点的坐标的平移规律“左减右加、上加下减”可求解；
C、根据平行四边形的判定可知 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
D、根据线段的垂直平分线的性质可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，
而 a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，
∴（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解后，结果呈现的密码信息可能爱我中华 .
故答案为：C.
【分析】观察多项式，先提公因式，再用平方差公式分解并对应已知的信息即可求解.
6．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由图知：当x=0.5时，分式无意义，
∴2x-b=0，
∴2×0.5-b=0，解得b=1；
当x=-2时，分式值为0，
∴x+a=0，且2x-b≠0，
m=2；
当x=m时，分式值为1，
∴且2x-b≠0，解得：m=3.
故答案为：D.
【分析】由表格中的信息可知：当x=0.5时，分式无意义；当x=-2时，分式值为0；当x=m时，分式值为1；根据分式无意义、分式值为0的条件可求出a、b的值；根据分式值为1的条件可得关于m的方程，解方程可求解.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
.
故答案为：B.
【分析】根据题中的相等关系“ 大货车运输75吨货物所用车辆数=小货车运输50吨货物所用车辆数”可列方程求解.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，设AC与BD相交于点O，过点M作ME⊥BD交AB于点E，连接EN，EP，
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，且点E和点M关于对称轴BD对称，
∴，
∴，
当且仅当E，P，N三点共线时，，
∵AC=6，BD=8，
∴AO=AC=3，OB=BD=4，
∴AB=；
∵M是BC的中点，
∴ME是三角形ABC的中位线，
∵N是CD的中点，
∴NE=AD=AB=5.
故答案为：A.
【分析】常见的将军饮马线段最值问题，利用对称进行转换分析其最值为EN，结合中点分析此时EN即为菱形边长，利用菱形性质结合勾股定理计算出边长即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【分析】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵AD=2AB=BC，
∴EC=AE=BE，
∴∠CAE=∠ACE=30°，
∴∠DAC=30°，此结论符合题意；
②∵∠BAD=120°，∠DAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，此结论不符合题意；
③∵S四边形ABCD=AB·AC=AC·CD，
∴此结论符合题意；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S平行四边形ABCD=3：8，
∵S△AOD：S平行四边形ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=S△AOD，此结论符合题意；
⑤∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=AD，此结论符合题意.
故答案为：D.
【分析】①由已知条件易证△ABE是等边三角形并结合AD=BC=2AB可求解；
②由角的构成易证∠BAC=90°，由三角形中的边角关系可判断求解；
③由平行四边形的面积公式计算可判断求解；
④根据三角形中线的性质并结合三角形的面积和四边形的面积可求解；
⑤由三角形的中位线定理易得AB=2OE求解.
11．【答案】6
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
而x+y=6xy，
∴原式=.
故答案为：6.
【分析】将所求代数式通分，然后整体代换即可求解.
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：（n-2）180°=3×360°，
解得：n=8.
故答案为：8.
【分析】根据多边形的内角和与外角和定理可得关于n的方程，解方程可求解.
13．【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为x1，方程的一个根为0，
∴，解得：k=-2.
故答案为：-2.
【分析】设另一个根为x1，由一元二次方程的根与系数的关系可得关于x1和k的方程组，解方程组可求解.
14．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=2，AB=3，AC=6，
∴，
解得：AE=4.
故答案为：4.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△ADE∽△ABC，于是可得比例式求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CM，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵M为AB的中点，∴CM=AB=，
∵D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE=CM=.
故答案为：.
【分析】连接CM，由题意先用勾股定理求出AB的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出CM的值，再根据三角形的中位线等于斜边的一半可求解.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接DC，过点B作BF⊥x轴于点F，由作图可得：OB=OC，OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=∠COD，
∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD（SAS）
∴∠OCD=∠OBD，
∵Rt△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OBD=90°，∠DAC=∠BOA=45°，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴DC=AC，
而B（1，1）
∴OA=2，
∴OF=AF=BF=1，
∴OB=BF=，
∴AC=OA-OC=DC=2-，
∴D（，2-）.
故答案为：(，2-).
【分析】连接DC，过点B作BF⊥x轴于点F，用边角边可证△BOD≌△COD，再根据三角形OAB是等腰直角三角形可求解.
17．【答案】8.4或2或12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】若 ，
∴ ，
设 ，
，
，
解得 ；
若 ，
∴ ，
设 ，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
【分析】分情况讨论，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
18．【答案】（1）解：由5x＋2＞3（x－1）得：x＞－2.5，
由x－1≤7－x得：x≤4，
则不等式组的解集为－2.5＜x≤4．
（2）解：∵x2+2x-15=0，
∴（x+5）（x-3）=0，
∴x+5=0，x-3=0，
解得：x1=-5，x2=3.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）由题意先求出每一个不等式的解集，然后找出两个不等式解集的公共部分即可求解；
（2）由题意先将原方程的左边分解因式，将一元二次方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
19．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；
⑵如图，△A2B2C2即为所求；
⑶（0，1）．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：定点的坐标为（0，1）.
【分析】（1）根据题意并结合平移的性质画出图形即可；
（2）根据题意并结合旋转的性质画出图形即可；
（3）根据题意可求解.
20．【答案】（1）①③
（2）解：
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①=1+，是“和谐分式”，故①符合题意；
②=，不是和谐分式”，故②不符合题意；
③==1+，是“和谐分式”，故③符合题意；
④==2x+1，不是和谐分式”，故④不符合题意；
所以，属于“和谐分式”的是①③。
（2）
=
=
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简即可；
（3）根据分式的性质进行化简后，再根据“和谐分式”的定义即可可判断。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
∴由勾股定理得，
∴四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的性质与判定和勾股定理。
（1）根据四边形是平行四边形得，则有；根据平分得，则有，得，即平行四边形是菱形；
（2）根据，判定四边形是平行四边形，得，结合四边形是菱形得，=2，由勾股定理得，则得四边形的面积．
22．【答案】（1）解：设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，
由题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克．
（2）解：设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元．
由题意得：，
．
，随的增大而减小，
当时，（元）
千克
答：桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，根据题干：超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，列分式方程，求解即可；
（2）设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元，根据题干：糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，列不等式：，得，由题意得：，由一次函数的性质得，y随m增大而减小，当m=100时，y有最大值为，求解即可.
23．【答案】解：x＜1；
⑴①2；
②③如图，
⑵－1≤x≤1．
【知识点】分段函数；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：观察图1可得：不等式kx+b＞2x的解集为：x＜1；
故答案为：x＜1；
（1）①列表：把x=0代入y=得：y=2，
∴a=2；
故答案为：2；
（2）由图象得－1＜x＜1时，≥1，
即不等式的解集是－1≤x≤1．
故答案为：－1≤x≤1．
【分析】观察图象可得不等式kx+b＞2x的解集；
（1）①把x=0代入y=计算可求解；
②在所给直角坐标系中描点即可；
③将各点连接起来，画出函数图象即可；
（2）观察函数图象即可求解.
24．【答案】（1）3；（－＋12，0）
（2）解：①由题意，CP平分∠BCD，
∴∠DCP＝∠BCP．
∵AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP．
∴∠DCP＝∠DPC．
∴DP＝CD．
∵由（1）得A（0，3），B（－，0），
∴AB＝＝2．
由四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝DP＝2．
∵D（12，3），
∴S△CDP＝DP h＝2×3＝3．
②设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：
Ⅰ．当点Q的运动路线是C－B时，DP＝BQ，
∴12－4t＝12－t．
此时方程t＝0，此时不符合题意．
Ⅱ．当点Q的运动路线是C－B－C时，DP＝BQ，
∴4t－12＝12－t，
解得：t＝4.8．
Ⅲ．当点Q的运动路线是C－B－C－B时，DP＝BQ，
∴12－（4t－24）＝12－t．
解得：t＝8．
Ⅳ．当点Q的运动路线是C－B－C－B－C时，DP＝BQ，
∴4t－36＝12－t．
解得：t＝9.6．
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且D（12，m），
∴AD=BC=12，OA=m，
∵直线y=x+3分别与x、y轴相交于点B、A，
∴A（0，3），B（-，0），
∴m=OA=3；
OC=BC-OB=12-；
故答案为：3，12-；
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，OA=m，根据直线AB分别与x、y轴相交于点B、A可求得点A、B的坐标，然后根据线段的构成OC=BC-OB求出OC的值，于是可得点C的坐标；
（2）①由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCP＝∠DPC，由等角对等边可得DP=CD，结合已知用勾股定理可求得AB的值，由平行四边形的性质可得CD=AB=DP，结合（1）中求出的点D的坐标并根据三角形的面积S△CDP=可求解；
②设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，根据平行四边形的性质可分四种情况讨论：
Ⅰ、当点Q的运动路线是C－B时，根据DP＝BQ可得关于t的方程，解方程可求解；
Ⅱ、当点Q的运动路线是C－B－C时，根据DP＝BQ可得关于t的方程，解方程可求解；
Ⅲ、当点Q的运动路线是C－B－C－B时，根据DP＝BQ可得关于t的方程，解方程可求解；
Ⅳ、当点Q的运动路线是C－B－C－B－C时，根据DP＝BQBQ可得关于t的方程，解方程可求解.
25．【答案】（1）解：解：BF＝DF，BF⊥DF，理由如下：
如图1，连接CF，
∵△ABC和△EDC是等腰直角三角形，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE＝45°，DC＝DE＝3，AB＝BC＝5，
∴∠ACE＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－45°－45°＝90°，
∵F为AE的中点，
∴CF＝AE＝AF＝EF，
又∵DF＝DF，
∴△DCF≌△DEF（SSS），
∴∠CDF＝∠EDF＝∠EDC＝45°，
同理△ABF≌△CBF（SSS），
∴∠ABF＝∠CBF＝45°，
∴∠CDF＝∠CBF＝45°，
∴BF＝DF，∠BFD＝180°－∠CDF－∠CBF＝180°－45°－45°＝90°，
∴BF⊥DF；
（2）证明：∵△ABC、△EDC是等腰直角三角形，∠ABC＝∠EDC＝90°，G、H分别是AC、EC的中点，
∴∠CGB＝90°，BG＝CG＝AC，∠CHD＝90°，DH＝CH＝CE，
∵F是AE的中点，
∴FH是△AEC的中位线，
∴FH∥AC，FH＝AC＝CG＝BG，
∴四边形FHCG是平行四边形，
∴FG＝CH，∠FGC＝∠FHC，
∴∠FGB＋∠CGB＝∠DHF＋∠CHD，
∴∠FGB＝∠DHF，
∴△BGF≌△FHD（SAS）；
（3）解：△BFD面积的最小值是1，理由如下：
由（2）知，△BGF≌△FHD，四边形FHCG是平行四边形，
∴∠GBF＝∠HFD，BF＝DF，∠GFH＝∠GCH，FG∥CH，
∴∠AGF＝∠GCH，
∴∠GFH＝∠AGF，
∵∠BGC＝∠GBF＋∠BFG＋∠AGF＝90°，
∴∠HFD＋∠BFG＋∠GCH＝90°，
即∠BFD＝90°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝BD，
如图3，当BD最小时，△BFD的面积最小，
∵BD≥BC－CD，
∴当B、C、D共线时，BD最小值＝BC－CD＝5－3＝2，
∴BF＝DF＝，
此时，S△BDF＝BF DF＝××＝1，
即△BFD面积的最小值是1．
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）BF＝DF，BF⊥DF，理由如下：如图1，连接CF，
由题意用边边边易证△DCF≌△DEF，则∠CDF＝∠EDF＝∠EDC=45°，同理可得△ABF≌△CBF，则∠ABF＝∠CBF=45°=∠CDF，由等角对等边可得BF=DF，然后由三角形内角和定理可求得∠BFD=90°，燃煤后由垂直的定义可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理易证四边形FHCG是平行四边形，由平行四边形的性质并用边角边可证△BGF≌△FHD；
（3）△BFD面积的最小值是1，理由如下：结合（2）的结论易证△BFD是等腰直角三角形，于是BF=DF=BD，当BD最小时，△BFD的面积最小，只需找出BD的最小值即可，而当B、C、D共线时，BD的最小值=BC-CD，然后根据S△BDF=×BF×DF可求解.
1 / 1广东省深圳市宝安区海旺学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019八下·滕州期末）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
2．（2021七下·济宁高新区期末）如果点P（x-4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（x-4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，
∴ ，
解得：-3＜x＜4，
在数轴上表示为： ，
故答案为：C．
【分析】根据点与象限的关系列出不等式组求出x人取值范围，再作出解集即可。
3．（2023九上·宝安开学考）…依次观察左边的三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：依次观察三个图形可知：从左至右，依次顺时针旋转72°，
∴第四个图形是D.
故答案为：D.
【分析】观察三个图形可知：从左至右，依次顺时针旋转72°，结合各选项即可求解.
4．（2023九上·宝安开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的外接圆与外心；坐标与图形变化﹣平移；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴-2a＜-2b，∴1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、 将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（-2，6），此选项不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可以是等腰梯形，此选项不符合题意；
D、 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、根据点的坐标的平移规律“左减右加、上加下减”可求解；
C、根据平行四边形的判定可知 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
D、根据线段的垂直平分线的性质可判断求解.
5．（2023九上·宝安开学考）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，
而 a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，
∴（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解后，结果呈现的密码信息可能爱我中华 .
故答案为：C.
【分析】观察多项式，先提公因式，再用平方差公式分解并对应已知的信息即可求解.
6．（2023九上·宝安开学考）已知分式（其中a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 0.5 －2 m
分式 无意义 值为0 值为1
则m的值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由图知：当x=0.5时，分式无意义，
∴2x-b=0，
∴2×0.5-b=0，解得b=1；
当x=-2时，分式值为0，
∴x+a=0，且2x-b≠0，
m=2；
当x=m时，分式值为1，
∴且2x-b≠0，解得：m=3.
故答案为：D.
【分析】由表格中的信息可知：当x=0.5时，分式无意义；当x=-2时，分式值为0；当x=m时，分式值为1；根据分式无意义、分式值为0的条件可求出a、b的值；根据分式值为1的条件可得关于m的方程，解方程可求解.
7．（2023九上·宝安开学考）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
.
故答案为：B.
【分析】根据题中的相等关系“ 大货车运输75吨货物所用车辆数=小货车运输50吨货物所用车辆数”可列方程求解.
8．（2023九上·宝安开学考）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．不能确定
【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，设AC与BD相交于点O，过点M作ME⊥BD交AB于点E，连接EN，EP，
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，且点E和点M关于对称轴BD对称，
∴，
∴，
当且仅当E，P，N三点共线时，，
∵AC=6，BD=8，
∴AO=AC=3，OB=BD=4，
∴AB=；
∵M是BC的中点，
∴ME是三角形ABC的中位线，
∵N是CD的中点，
∴NE=AD=AB=5.
故答案为：A.
【分析】常见的将军饮马线段最值问题，利用对称进行转换分析其最值为EN，结合中点分析此时EN即为菱形边长，利用菱形性质结合勾股定理计算出边长即可.
9．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【分析】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
10．（2023九上·宝安开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵AD=2AB=BC，
∴EC=AE=BE，
∴∠CAE=∠ACE=30°，
∴∠DAC=30°，此结论符合题意；
②∵∠BAD=120°，∠DAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，此结论不符合题意；
③∵S四边形ABCD=AB·AC=AC·CD，
∴此结论符合题意；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S平行四边形ABCD=3：8，
∵S△AOD：S平行四边形ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=S△AOD，此结论符合题意；
⑤∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=AD，此结论符合题意.
故答案为：D.
【分析】①由已知条件易证△ABE是等边三角形并结合AD=BC=2AB可求解；
②由角的构成易证∠BAC=90°，由三角形中的边角关系可判断求解；
③由平行四边形的面积公式计算可判断求解；
④根据三角形中线的性质并结合三角形的面积和四边形的面积可求解；
⑤由三角形的中位线定理易得AB=2OE求解.
二、填空题（每题4分，共28分）
11．（2023九上·宝安开学考）已知x＋y＝6xy，则＋＝ ．
【答案】6
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
而x+y=6xy，
∴原式=.
故答案为：6.
【分析】将所求代数式通分，然后整体代换即可求解.
12．（2023九上·宝安开学考）若n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则边数n＝ ．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：（n-2）180°=3×360°，
解得：n=8.
故答案为：8.
【分析】根据多边形的内角和与外角和定理可得关于n的方程，解方程可求解.
13．（2023九上·宝安开学考）若关于x的一元二次方程（k－2）x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是 ．
【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为x1，方程的一个根为0，
∴，解得：k=-2.
故答案为：-2.
【分析】设另一个根为x1，由一元二次方程的根与系数的关系可得关于x1和k的方程组，解方程组可求解.
14．（2023九上·宝安开学考）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，AC＝6，则AE＝ .
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=2，AB=3，AC=6，
∴，
解得：AE=4.
故答案为：4.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△ADE∽△ABC，于是可得比例式求解.
15．（2023九上·宝安开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是边BC上一点，M为AB边上的中点，点D，E分别为CN，MN的中点，DE的值是 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CM，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵M为AB的中点，∴CM=AB=，
∵D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE=CM=.
故答案为：.
【分析】连接CM，由题意先用勾股定理求出AB的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出CM的值，再根据三角形的中位线等于斜边的一半可求解.
16．（2023九上·宝安开学考）如图，等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，O为坐标原点，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交OA于点C，再分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线OE交AB于点D，若点B的坐标为（1，1），则点D的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接DC，过点B作BF⊥x轴于点F，由作图可得：OB=OC，OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=∠COD，
∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD（SAS）
∴∠OCD=∠OBD，
∵Rt△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OBD=90°，∠DAC=∠BOA=45°，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴DC=AC，
而B（1，1）
∴OA=2，
∴OF=AF=BF=1，
∴OB=BF=，
∴AC=OA-OC=DC=2-，
∴D（，2-）.
故答案为：(，2-).
【分析】连接DC，过点B作BF⊥x轴于点F，用边角边可证△BOD≌△COD，再根据三角形OAB是等腰直角三角形可求解.
17．（2020九上·抚州期末）如图， ， ， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
【答案】8.4或2或12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】若 ，
∴ ，
设 ，
，
，
解得 ；
若 ，
∴ ，
设 ，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
【分析】分情况讨论，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
三、解答题（共62分）
18．（2023九上·宝安开学考）
（1）解不等式（组）：；
（2）解方程：x2＋2x－15＝0．
【答案】（1）解：由5x＋2＞3（x－1）得：x＞－2.5，
由x－1≤7－x得：x≤4，
则不等式组的解集为－2.5＜x≤4．
（2）解：∵x2+2x-15=0，
∴（x+5）（x-3）=0，
∴x+5=0，x-3=0，
解得：x1=-5，x2=3.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）由题意先求出每一个不等式的解集，然后找出两个不等式解集的公共部分即可求解；
（2）由题意先将原方程的左边分解因式，将一元二次方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
19．（2023九上·宝安开学考）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（4，2）、（2，4）．
⑴将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1；
⑵将△ABC绕着O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出旋转后的△A2B2C2；
⑶将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到B1A1（其中点A的对应点为点B1，点B的对应点为点A1），则这个定点的坐标是 ▲ ．
【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；
⑵如图，△A2B2C2即为所求；
⑶（0，1）．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：定点的坐标为（0，1）.
【分析】（1）根据题意并结合平移的性质画出图形即可；
（2）根据题意并结合旋转的性质画出图形即可；
（3）根据题意可求解.
20．（2023八下·黄岛期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： ；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
【答案】（1）①③
（2）解：
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①=1+，是“和谐分式”，故①符合题意；
②=，不是和谐分式”，故②不符合题意；
③==1+，是“和谐分式”，故③符合题意；
④==2x+1，不是和谐分式”，故④不符合题意；
所以，属于“和谐分式”的是①③。
（2）
=
=
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简即可；
（3）根据分式的性质进行化简后，再根据“和谐分式”的定义即可可判断。
21．（2023·长沙模拟）如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，延长，过点D作，交的延长线于点C ．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积 ．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
∴由勾股定理得，
∴四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的性质与判定和勾股定理。
（1）根据四边形是平行四边形得，则有；根据平分得，则有，得，即平行四边形是菱形；
（2）根据，判定四边形是平行四边形，得，结合四边形是菱形得，=2，由勾股定理得，则得四边形的面积．
22．（2023八下·罗湖期末）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．
（1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；
（2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，
由题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克．
（2）解：设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元．
由题意得：，
．
，随的增大而减小，
当时，（元）
千克
答：桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，根据题干：超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，列分式方程，求解即可；
（2）设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元，根据题干：糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，列不等式：，得，由题意得：，由一次函数的性质得，y随m增大而减小，当m=100时，y有最大值为，求解即可.
23．（2023九上·宝安开学考）学习完“一元一次不等式与一次函数”后，老师给出了这样一道练习题：如图，直线y＝2x与直线y＝kx＋b交于点A（1，m），求不等式kx＋b＞2x的解集．同学们都感觉这道题很容易，通过观察图象快速写出了这道题的答案是： ▲ ．接着，老师又提出了一个具有挑战性的题目：求不等式：的解集．小明所在的数学兴趣小组展开了对这个问题的探究，探究的思路是借助函数图象解决问题．
⑴首先画出函数的图象．的图象．
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ▲ ；
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，a）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；
X … －2 － －1 － 0 1 2 …
Y … 1 a 1 …
⑵观察分析图象特征，结合已有的学习经验和该函数的性质，可得不等式的解集是 ．
【答案】解：x＜1；
⑴①2；
②③如图，
⑵－1≤x≤1．
【知识点】分段函数；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：观察图1可得：不等式kx+b＞2x的解集为：x＜1；
故答案为：x＜1；
（1）①列表：把x=0代入y=得：y=2，
∴a=2；
故答案为：2；
（2）由图象得－1＜x＜1时，≥1，
即不等式的解集是－1≤x≤1．
故答案为：－1≤x≤1．
【分析】观察图象可得不等式kx+b＞2x的解集；
（1）①把x=0代入y=计算可求解；
②在所给直角坐标系中描点即可；
③将各点连接起来，画出函数图象即可；
（2）观察函数图象即可求解.
24．（2023九上·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴，y轴分别交于点B，A两点，点C在x轴上点B的右侧，四边形ABCD为平行四边形，且D（12，m）．
（1）m＝ ，点C的坐标为 ．
（2）一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
①连接CP，当CP平分∠BCD时，求此时△CDP的面积；
②另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1）3；（－＋12，0）
（2）解：①由题意，CP平分∠BCD，
∴∠DCP＝∠BCP．
∵AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP．
∴∠DCP＝∠DPC．
∴DP＝CD．
∵由（1）得A（0，3），B（－，0），
∴AB＝＝2．
由四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝DP＝2．
∵D（12，3），
∴S△CDP＝DP h＝2×3＝3．
②设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：
Ⅰ．当点Q的运动路线是C－B时，DP＝BQ，
∴12－4t＝12－t．
此时方程t＝0，此时不符合题意．
Ⅱ．当点Q的运动路线是C－B－C时，DP＝BQ，
∴4t－12＝12－t，
解得：t＝4.8．
Ⅲ．当点Q的运动路线是C－B－C－B时，DP＝BQ，
∴12－（4t－24）＝12－t．
解得：t＝8．
Ⅳ．当点Q的运动路线是C－B－C－B－C时，DP＝BQ，
∴4t－36＝12－t．
解得：t＝9.6．
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且D（12，m），
∴AD=BC=12，OA=m，
∵直线y=x+3分别与x、y轴相交于点B、A，
∴A（0，3），B（-，0），
∴m=OA=3；
OC=BC-OB=12-；
故答案为：3，12-；
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，OA=m，根据直线AB分别与x、y轴相交于点B、A可求得点A、B的坐标，然后根据线段的构成OC=BC-OB求出OC的值，于是可得点C的坐标；
（2）①由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCP＝∠DPC，由等角对等边可得DP=CD，结合已知用勾股定理可求得AB的值，由平行四边形的性质可得CD=AB=DP，结合（1）中求出的点D的坐标并根据三角形的面积S△CDP=可求解；
②设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，根据平行四边形的性质可分四种情况讨论：
Ⅰ、当点Q的运动路线是C－B时，根据DP＝BQ可得关于t的方程，解方程可求解；
Ⅱ、当点Q的运动路线是C－B－C时，根据DP＝BQ可得关于t的方程，解方程可求解；
Ⅲ、当点Q的运动路线是C－B－C－B时，根据DP＝BQ可得关于t的方程，解方程可求解；
Ⅳ、当点Q的运动路线是C－B－C－B－C时，根据DP＝BQBQ可得关于t的方程，解方程可求解.
25．（2023九上·宝安开学考）如图1，△ABC，△EDC是两个等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠EDC＝90°，AB＝5，DE＝3，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF．
（1）如图1，当B，C，D三个点共线时，请直接写出BF与DF的数量关系与位置关系；
（2）如图2，将△EDC绕点C逆时针旋转，取AC与EC的中点G，H，当点G，H，F三点不共线时，连接GF，HF，BG，DH，求证：△BGF≌△FHD；
（3）在（2）的条件下，连接BD，在△EDC绕点C旋转的过程中，求△BFD面积的最小值，并说明理由．
【答案】（1）解：解：BF＝DF，BF⊥DF，理由如下：
如图1，连接CF，
∵△ABC和△EDC是等腰直角三角形，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE＝45°，DC＝DE＝3，AB＝BC＝5，
∴∠ACE＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－45°－45°＝90°，
∵F为AE的中点，
∴CF＝AE＝AF＝EF，
又∵DF＝DF，
∴△DCF≌△DEF（SSS），
∴∠CDF＝∠EDF＝∠EDC＝45°，
同理△ABF≌△CBF（SSS），
∴∠ABF＝∠CBF＝45°，
∴∠CDF＝∠CBF＝45°，
∴BF＝DF，∠BFD＝180°－∠CDF－∠CBF＝180°－45°－45°＝90°，
∴BF⊥DF；
（2）证明：∵△ABC、△EDC是等腰直角三角形，∠ABC＝∠EDC＝90°，G、H分别是AC、EC的中点，
∴∠CGB＝90°，BG＝CG＝AC，∠CHD＝90°，DH＝CH＝CE，
∵F是AE的中点，
∴FH是△AEC的中位线，
∴FH∥AC，FH＝AC＝CG＝BG，
∴四边形FHCG是平行四边形，
∴FG＝CH，∠FGC＝∠FHC，
∴∠FGB＋∠CGB＝∠DHF＋∠CHD，
∴∠FGB＝∠DHF，
∴△BGF≌△FHD（SAS）；
（3）解：△BFD面积的最小值是1，理由如下：
由（2）知，△BGF≌△FHD，四边形FHCG是平行四边形，
∴∠GBF＝∠HFD，BF＝DF，∠GFH＝∠GCH，FG∥CH，
∴∠AGF＝∠GCH，
∴∠GFH＝∠AGF，
∵∠BGC＝∠GBF＋∠BFG＋∠AGF＝90°，
∴∠HFD＋∠BFG＋∠GCH＝90°，
即∠BFD＝90°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝BD，
如图3，当BD最小时，△BFD的面积最小，
∵BD≥BC－CD，
∴当B、C、D共线时，BD最小值＝BC－CD＝5－3＝2，
∴BF＝DF＝，
此时，S△BDF＝BF DF＝××＝1，
即△BFD面积的最小值是1．
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）BF＝DF，BF⊥DF，理由如下：如图1，连接CF，
由题意用边边边易证△DCF≌△DEF，则∠CDF＝∠EDF＝∠EDC=45°，同理可得△ABF≌△CBF，则∠ABF＝∠CBF=45°=∠CDF，由等角对等边可得BF=DF，然后由三角形内角和定理可求得∠BFD=90°，燃煤后由垂直的定义可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理易证四边形FHCG是平行四边形，由平行四边形的性质并用边角边可证△BGF≌△FHD；
（3）△BFD面积的最小值是1，理由如下：结合（2）的结论易证△BFD是等腰直角三角形，于是BF=DF=BD，当BD最小时，△BFD的面积最小，只需找出BD的最小值即可，而当B、C、D共线时，BD的最小值=BC-CD，然后根据S△BDF=×BF×DF可求解.
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