浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·拱墅开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：由于抛物线是顶点式，
则其顶点坐标为（2，-5）；
故答案为：（2，-5）.
【分析】根据抛物线顶点式：的顶点坐标为，直接写出答案即可.
2．（2023九上·拱墅开学考）抛物线是由抛物线（ ）
A．向下平移个单位长度得到 B．向上平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线是由抛物线 向下平移2个单位得到.
故答案为：A.
【分析】根据平移规律：“左加右减，上加下减”，可直接写出答案.
3．（2018九上·桥东月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故答案为：A．
【分析】此题中只有第①块有两完整的弦，可以利用两次中垂线求出圆心和半径，相对其他情况，它最可能配到。
4．（2023九上·拱墅开学考）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得， 二次函数，
其中a=1，b=-4，c=-1，
a=1＞0，所以抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
，所以抛物线与x轴由两个交点，故B正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为x=2，故C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】①根据a判断抛物线的开口方向，，抛物线开口向上，，抛物线开口向下；
②根据判定抛物线与x轴的交点，当时，抛物线与x轴由2个交点，当时，抛物线与x轴由1个交点，当时，抛物线与x轴无交点；
③抛物线的对称轴为：；
④增减性：，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
根据以上4点逐一判断即可.
5．（2023九上·拱墅开学考）函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴且，
解得且，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数成立的条件①，②的最高次数为2，即可列出混合组，求解即可.
6．（2022九上·温州期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝ ＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在⊙C内.
故答案为：A.
【分析】首先利用勾股定理求出BC的值，若ACBC，则点A在⊙C外；若AC=BC，则点A在⊙C上.
7．（2023九下·浙江月考） 如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】连接，由AB是的直径，可得∠ACB=90°，从而求出∠ABC=60°，根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
8．（2023九上·拱墅开学考）下列说法正确的有（ ）
圆中的线段是弦；直径是圆中最长的弦；经过圆心的线段是直径；半径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；弧是半圆，半圆是弧．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：弦是圆中的线段，但圆中的线段不一定是弦，故①错误；
直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦，故②正确，③错误；
根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，可得 半径相等的两个圆是等圆，④正确；
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故⑤错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故⑥错误；
所以正确的是②④，共2个.
故答案为：A.
【分析】根据圆的有关定义：连接圆上任意两点间的线段是弦，直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦；圆上任意两点间的部分就是弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，直径两个端点间的部分就是半圆，据此逐项判断得出答案.
9．（2023九上·拱墅开学考）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
由折叠的性质可知，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=BD=OD，
∴为等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴，
∵∠AOB=90°，OA=3，
∴，
∴，
，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接OD，可得△BOD为等边三角形，再求出∠CBO及OC的长度，即可知△BDC及△BOC的面积，再求出扇形AOB的面积（），即可得阴影部分得面积（）.
10．（2023九上·拱墅开学考）在平面直角坐标系式中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点若点在函数的图象上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：画出函数y=x2+2x+3的图象，如图所示，
将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象.
故答案为：A.
【分析】画出函数y=x2+2x+3的图象，根据“可控变点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出答案.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2020八下·清涧期末）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是 .
【答案】正八边形
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴它的每一个外角为45°.
又因为多边形的外角和恒为360°，
360°÷45°＝8
即该正多边形为正8边形.
故答案为：正八边形.
【分析】先求出正多边形的每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°，即可求解.
12．（2021九上·西林期末）如图，若关于 的二次函数 的图象与 轴交于两点，那么方程 的解是 .
【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象与 轴交于两点 ， ，则方程一元二次方程 的解是 ， ，
故答案是 ， .
【分析】二次函数与x轴的交点的横坐标即方程 的解，于是看图根据其交点坐标即可得出答案.
13．（2023九上·拱墅开学考）已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，扇形的面积，半径，
根据得，
弧长.
故答案为：4π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
14．（2023九上·拱墅开学考）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数可化为，
∴二次函数的对称轴为x=2，且开口向上，顶点坐标为（2，-3），
在 中，
当x=-1时，二次函数有最大值：y=6，
当x=2时，二次函数有最小值：y=-3，
∴当 时，y的取值范围是：；
故答案为：.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解.
15．（2023九上·拱墅开学考）二次函数的部分图象如图所示对称轴为，图象过点，且，以下结论：
；
；
关于的不等式的解集：；
若，且，则；
其中正确的结论是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
∴，，
∴b=-2a>0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵9a+3b+c=0，
∴抛物线与x轴的交点为（3，0），
又∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一交点为（-1，0），
∴当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c<0，故②正确；
∵，
∴，即ax2+bx+c＜0，
∴y＜0，
∴，或，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据对称性可判断②；根据不等式和二次函数图象的交点可判断③；根据抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断④.
16．（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
【答案】26
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
【分析】作OE⊥AB，DF⊥OE，则四边形CDFE为矩形，DF=FC，EF=CD=14，由垂径定理可得BE=10，则CE=DF=24，设OF=x，则OE=x+14，由勾股定理可得OD2，OB2，然后根据OB=OD可得x，接下来利用勾股定理进行求解就可得到OD.
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·拱墅开学考）已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值；
（2）若这个函数是二次函数，则的值应怎样？
【答案】（1）解：依题意得
；
（2）解：依题意得，
且．
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）形如“y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）”的函数就是一次函数，根据一次函数定义解题即可；
（2）形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，根据二次函数定义解题即可.
18．（2023九上·拱墅开学考）在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为，且经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与轴的交点坐标．
【答案】（1）解：由题得：设抛物线解析式为：，
将代入得：，
．
抛物线解析式为：；
（2）解：令时，则，
，．
该二次函数与轴交点坐标为，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式，分别将A、B两点代入顶点式即可求解；
（2） 二次函数图象与x轴的交点坐标，即令y=0，求x的值，即可写出.
19．（2021九上·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， .
⑴直接写出点 关于原点对称的点 的坐标： ▲ ；
⑵平移 ，使平移后点 的对应点 的坐标为 ，请画出平移后的 ；
⑶画出 绕原点 逆时针旋转 后得到的 .
【答案】解：（1）（4，-1）
（2）如图所示， 即为所求；
（3）如图所示， 即为所求.
【知识点】作图﹣平移；关于原点对称的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）∵
∴点 关于原点对称的点 的坐标为 ；
故答案为：（4，-1）；
【分析】（1）根据关于原点对称的点：横纵坐标均互为相反数，可得点B′的坐标；
（2）根据点A、A1的坐标可得：平移步骤为：先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，据此确定出B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出点A、B、C绕原点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可.
20．（2023九上·拱墅开学考）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式；
（3）若物价部门规定每箱售价不得高于元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
【答案】（1）解：，
平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式为；
（3）解：由（2）知
，
，，
当元时，利润最大．
每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“平均每天销售量=原来的销售量-3×相对于50元的单价提高的价格”，列出y与x之间的关系式即可；
（2）根据“销售利润=每箱苹果的利润×平均每天销售量”，结合（1）即可列出关系式；
（3）利用二次函数的性质求解函数的最值即可.
21．（2022九上·宁波月考）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，连接BD，AE，且∠ADB=∠CDE．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AB=10，BE=12，求⊙O的半径r．
【答案】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠ABE=∠CDE，
∵，
∴∠ADB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
（2）解：如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，
∵AB=AE，OB=OE，
∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，
∴AO⊥BE于点H，BH=BE，
∵AB=10，BE=12，
∴，，
∴在Rt△OBH中，，
解得：.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得∠ABE=∠CDE，由弧和圆周角关系可得∠ADB=∠AEB，再通过角等量代换可得∠ABE=∠AEB，从而得出AB=AE，即可证明△ABE为等腰三角形；
（2）如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，由AB=AE，OB=OE，易得点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，根据垂径定理得到AO⊥BE于点H，BH=BE=6，根据勾股定理求得AH=8，最后在Rt△OBH中，利用勾股定理得到关于半径r的方程，解之即可.
22．（2023九上·拱墅开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2
为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上大理石厚度不计，达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
（1）任务1：确定水柱的形状
在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
（2）任务2：确定喷灌器的位置
求出喷灌器与围墙的距离.
（3）任务3：拟定喷头升降方案
调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
【答案】（1）解：如图，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，把代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：令，得，
解得：，，
，
，
故喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（3）解：如图，由题意得：，，
，，
设，把代入得，，
解得：，
，
当时，，
，
设，把代入得，，
解得：，
，
当时，
，
，
故，喷水口距离地面高度的最小值为．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令y= 0，求得方程的解，根据问题的实际意义作出取舍即可；
（3）由题意可得D(4.2，0.4)，E(5，0.4)，分别代入，求得k的最小值和最大值，再令x = 0，即可分别求得OA的最小值和最大值.
23．（2023九上·拱墅开学考）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有 ；
②若矩形是“美丽四边形”，且，则 ；
（2）如图，“美丽四边形”内接于，与相交于点，且对角线，为直径，，，求另一条对角线的长；
（3）如图，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”的四个顶点，，在第三象限，在第一象限，与交于点，且四边形的面积为，若二次函数、、为常数，且的图象同时经过这四个顶点，求的值．
【答案】（1）菱形、正方形；或
（2）解：过O点作OH⊥BD，连接OD，
，，
，，
直径，
，
，
四边形ABCD是“美丽四边形”，
，
在中，，
，
在中，，
；
（3）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，
四边形ABCD是“美丽四边形”，
，
，
即，
直线解析式为，
二次函数的图象过点、，
即与轴交点为、，
用交点式设二次函数解析式为，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
解得：，，
的值为：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆的综合题；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形不是“美丽四边形”，
故答案为：菱形、正方形；
②设矩形ABCD对角线相交于点O，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC = 90°，
∴AO=BO=CO=DO，
∵矩形ABCD是“美丽四边“，
∴AC、BD所夹锐角为60°，
i)如图1，若AB=1为较短的边，则∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB = 60°，
∴在Rt△ABC中，
，
∴；
ii)如图2，若AB=1为较长的边，则∠BOC = 60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB = 60°，
∴在Rt△ABC中，
，
∴；
故答案为：或；
【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断；
②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线所夹锐角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan 60° ，由于A B边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算；
（2）过O点作OH⊥BD，连接OD，由∠DPC= 60°可求得OH，在Rt△ODH中，勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD = 2DH；
（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y= a(x+3)(x-2)，把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，再用韦达定理得到和进而得到用a表示的，又由四边形面积可求得，即得到关于a的方程并解方程求得a.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·拱墅开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·拱墅开学考）抛物线是由抛物线（ ）
A．向下平移个单位长度得到 B．向上平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
3．（2018九上·桥东月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
4．（2023九上·拱墅开学考）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
5．（2023九上·拱墅开学考）函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·温州期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定
7．（2023九下·浙江月考） 如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·拱墅开学考）下列说法正确的有（ ）
圆中的线段是弦；直径是圆中最长的弦；经过圆心的线段是直径；半径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；弧是半圆，半圆是弧．
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2023九上·拱墅开学考）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·拱墅开学考）在平面直角坐标系式中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点若点在函数的图象上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2020八下·清涧期末）如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是 .
12．（2021九上·西林期末）如图，若关于 的二次函数 的图象与 轴交于两点，那么方程 的解是 .
13．（2023九上·拱墅开学考）已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为 ．
14．（2023九上·拱墅开学考）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
15．（2023九上·拱墅开学考）二次函数的部分图象如图所示对称轴为，图象过点，且，以下结论：
；
；
关于的不等式的解集：；
若，且，则；
其中正确的结论是 ．
16．（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·拱墅开学考）已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值；
（2）若这个函数是二次函数，则的值应怎样？
18．（2023九上·拱墅开学考）在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为，且经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与轴的交点坐标．
19．（2021九上·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， .
⑴直接写出点 关于原点对称的点 的坐标： ▲ ；
⑵平移 ，使平移后点 的对应点 的坐标为 ，请画出平移后的 ；
⑶画出 绕原点 逆时针旋转 后得到的 .
20．（2023九上·拱墅开学考）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式；
（3）若物价部门规定每箱售价不得高于元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
21．（2022九上·宁波月考）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，连接BD，AE，且∠ADB=∠CDE．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AB=10，BE=12，求⊙O的半径r．
22．（2023九上·拱墅开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2
为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上大理石厚度不计，达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
（1）任务1：确定水柱的形状
在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
（2）任务2：确定喷灌器的位置
求出喷灌器与围墙的距离.
（3）任务3：拟定喷头升降方案
调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
23．（2023九上·拱墅开学考）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有 ；
②若矩形是“美丽四边形”，且，则 ；
（2）如图，“美丽四边形”内接于，与相交于点，且对角线，为直径，，，求另一条对角线的长；
（3）如图，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”的四个顶点，，在第三象限，在第一象限，与交于点，且四边形的面积为，若二次函数、、为常数，且的图象同时经过这四个顶点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：由于抛物线是顶点式，
则其顶点坐标为（2，-5）；
故答案为：（2，-5）.
【分析】根据抛物线顶点式：的顶点坐标为，直接写出答案即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线是由抛物线 向下平移2个单位得到.
故答案为：A.
【分析】根据平移规律：“左加右减，上加下减”，可直接写出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故答案为：A．
【分析】此题中只有第①块有两完整的弦，可以利用两次中垂线求出圆心和半径，相对其他情况，它最可能配到。
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得， 二次函数，
其中a=1，b=-4，c=-1，
a=1＞0，所以抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
，所以抛物线与x轴由两个交点，故B正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为x=2，故C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】①根据a判断抛物线的开口方向，，抛物线开口向上，，抛物线开口向下；
②根据判定抛物线与x轴的交点，当时，抛物线与x轴由2个交点，当时，抛物线与x轴由1个交点，当时，抛物线与x轴无交点；
③抛物线的对称轴为：；
④增减性：，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
根据以上4点逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴且，
解得且，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数成立的条件①，②的最高次数为2，即可列出混合组，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝ ＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在⊙C内.
故答案为：A.
【分析】首先利用勾股定理求出BC的值，若ACBC，则点A在⊙C外；若AC=BC，则点A在⊙C上.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】连接，由AB是的直径，可得∠ACB=90°，从而求出∠ABC=60°，根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
8．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：弦是圆中的线段，但圆中的线段不一定是弦，故①错误；
直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦，故②正确，③错误；
根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，可得 半径相等的两个圆是等圆，④正确；
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故⑤错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故⑥错误；
所以正确的是②④，共2个.
故答案为：A.
【分析】根据圆的有关定义：连接圆上任意两点间的线段是弦，直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦；圆上任意两点间的部分就是弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，直径两个端点间的部分就是半圆，据此逐项判断得出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
由折叠的性质可知，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=BD=OD，
∴为等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴，
∵∠AOB=90°，OA=3，
∴，
∴，
，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接OD，可得△BOD为等边三角形，再求出∠CBO及OC的长度，即可知△BDC及△BOC的面积，再求出扇形AOB的面积（），即可得阴影部分得面积（）.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：画出函数y=x2+2x+3的图象，如图所示，
将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象.
故答案为：A.
【分析】画出函数y=x2+2x+3的图象，根据“可控变点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出答案.
11．【答案】正八边形
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴它的每一个外角为45°.
又因为多边形的外角和恒为360°，
360°÷45°＝8
即该正多边形为正8边形.
故答案为：正八边形.
【分析】先求出正多边形的每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°，即可求解.
12．【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象与 轴交于两点 ， ，则方程一元二次方程 的解是 ， ，
故答案是 ， .
【分析】二次函数与x轴的交点的横坐标即方程 的解，于是看图根据其交点坐标即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，扇形的面积，半径，
根据得，
弧长.
故答案为：4π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数可化为，
∴二次函数的对称轴为x=2，且开口向上，顶点坐标为（2，-3），
在 中，
当x=-1时，二次函数有最大值：y=6，
当x=2时，二次函数有最小值：y=-3，
∴当 时，y的取值范围是：；
故答案为：.
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
∴，，
∴b=-2a>0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵9a+3b+c=0，
∴抛物线与x轴的交点为（3，0），
又∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一交点为（-1，0），
∴当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c<0，故②正确；
∵，
∴，即ax2+bx+c＜0，
∴y＜0，
∴，或，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据对称性可判断②；根据不等式和二次函数图象的交点可判断③；根据抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断④.
16．【答案】26
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
【分析】作OE⊥AB，DF⊥OE，则四边形CDFE为矩形，DF=FC，EF=CD=14，由垂径定理可得BE=10，则CE=DF=24，设OF=x，则OE=x+14，由勾股定理可得OD2，OB2，然后根据OB=OD可得x，接下来利用勾股定理进行求解就可得到OD.
17．【答案】（1）解：依题意得
；
（2）解：依题意得，
且．
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）形如“y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）”的函数就是一次函数，根据一次函数定义解题即可；
（2）形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，根据二次函数定义解题即可.
18．【答案】（1）解：由题得：设抛物线解析式为：，
将代入得：，
．
抛物线解析式为：；
（2）解：令时，则，
，．
该二次函数与轴交点坐标为，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式，分别将A、B两点代入顶点式即可求解；
（2） 二次函数图象与x轴的交点坐标，即令y=0，求x的值，即可写出.
19．【答案】解：（1）（4，-1）
（2）如图所示， 即为所求；
（3）如图所示， 即为所求.
【知识点】作图﹣平移；关于原点对称的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）∵
∴点 关于原点对称的点 的坐标为 ；
故答案为：（4，-1）；
【分析】（1）根据关于原点对称的点：横纵坐标均互为相反数，可得点B′的坐标；
（2）根据点A、A1的坐标可得：平移步骤为：先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，据此确定出B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出点A、B、C绕原点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可.
20．【答案】（1）解：，
平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式为；
（3）解：由（2）知
，
，，
当元时，利润最大．
每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“平均每天销售量=原来的销售量-3×相对于50元的单价提高的价格”，列出y与x之间的关系式即可；
（2）根据“销售利润=每箱苹果的利润×平均每天销售量”，结合（1）即可列出关系式；
（3）利用二次函数的性质求解函数的最值即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠ABE=∠CDE，
∵，
∴∠ADB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
（2）解：如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，
∵AB=AE，OB=OE，
∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，
∴AO⊥BE于点H，BH=BE，
∵AB=10，BE=12，
∴，，
∴在Rt△OBH中，，
解得：.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得∠ABE=∠CDE，由弧和圆周角关系可得∠ADB=∠AEB，再通过角等量代换可得∠ABE=∠AEB，从而得出AB=AE，即可证明△ABE为等腰三角形；
（2）如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，由AB=AE，OB=OE，易得点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，根据垂径定理得到AO⊥BE于点H，BH=BE=6，根据勾股定理求得AH=8，最后在Rt△OBH中，利用勾股定理得到关于半径r的方程，解之即可.
22．【答案】（1）解：如图，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，把代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：令，得，
解得：，，
，
，
故喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（3）解：如图，由题意得：，，
，，
设，把代入得，，
解得：，
，
当时，，
，
设，把代入得，，
解得：，
，
当时，
，
，
故，喷水口距离地面高度的最小值为．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令y= 0，求得方程的解，根据问题的实际意义作出取舍即可；
（3）由题意可得D(4.2，0.4)，E(5，0.4)，分别代入，求得k的最小值和最大值，再令x = 0，即可分别求得OA的最小值和最大值.
23．【答案】（1）菱形、正方形；或
（2）解：过O点作OH⊥BD，连接OD，
，，
，，
直径，
，
，
四边形ABCD是“美丽四边形”，
，
在中，，
，
在中，，
；
（3）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，
四边形ABCD是“美丽四边形”，
，
，
即，
直线解析式为，
二次函数的图象过点、，
即与轴交点为、，
用交点式设二次函数解析式为，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
解得：，，
的值为：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆的综合题；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形不是“美丽四边形”，
故答案为：菱形、正方形；
②设矩形ABCD对角线相交于点O，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC = 90°，
∴AO=BO=CO=DO，
∵矩形ABCD是“美丽四边“，
∴AC、BD所夹锐角为60°，
i)如图1，若AB=1为较短的边，则∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB = 60°，
∴在Rt△ABC中，
，
∴；
ii)如图2，若AB=1为较长的边，则∠BOC = 60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB = 60°，
∴在Rt△ABC中，
，
∴；
故答案为：或；
【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断；
②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线所夹锐角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan 60° ，由于A B边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算；
（2）过O点作OH⊥BD，连接OD，由∠DPC= 60°可求得OH，在Rt△ODH中，勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD = 2DH；
（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y= a(x+3)(x-2)，把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，再用韦达定理得到和进而得到用a表示的，又由四边形面积可求得，即得到关于a的方程并解方程求得a.
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