安徽省合肥四十六中九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各数中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·合肥开学考）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
3．（2023九上·合肥开学考）某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
4．（2017九上·巫山期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
5．（2019八下·瑶海期末）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
6．（2021八下·新洲期中）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
7．（2019八下·江阴期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．（2023九上·合肥开学考）为了了解班上体育锻炼情况，班主任从八（1）班45名同学中随机抽取了8位同学开展“1分钟跳绳”测试，得分如下（满分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是（ ）
A．这组数据的众数是9，说明全班同学的平均成绩达到9分
B．这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小
C．这组数据的中位数是8，说明8分以上的人数占大多数
D．这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是8分
9．（2023九上·合肥开学考）对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是 B．图象开口向上
C．图象关于直线对称 D．函数最大值为-9
10．（2023九上·合肥开学考）如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，且，有下列结论：
①是等边三角形；②；③周长的最小值为；④面积的最大值为.
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（2023九上·合肥开学考）有一组数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，则这组数据的方差是 .
12．（2023九上·合肥开学考）若m、n是方程的两不同的根，则的值为 .
13．（2023九上·合肥开学考）某抛物线的顶点为（3，-4），并且经过点（4，-2），则此抛物线的解析式为 .
14．（2018八上·江干期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为 ．
15．（2023九上·合肥开学考）在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm、6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是 .
16．（2021九上·余姚月考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 .
三、解答题
17．（2015八下·临沂期中）计算：
18．（2023八下·安庆期末）解方程：．
19．（2023九上·合肥开学考）如图，在中，，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得，连接BF、CF.
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当，时，求BF的长.
20．（2021九上·永吉期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ．求：
（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
21．（2023九上·合肥开学考）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案.
22．（2023九上·合肥开学考）已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上.
（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，，P为EF中点，求证：；
（3）如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长为 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=5，与不是同类二次根式，故错误；
B、=2，与不是同类二次根式，故错误；
C、=3，与，是同类二次根式，故正确；
D、=，与不是同类二次根式，故错误；
故选：C．
【分析】先把各项化简，再根据被开方数相同的即为同类二次根式．
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴C选项不正确，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，
∴2月份的产值为a（1-10%），
∵3，4月份平均月增长率为10%，
∴4月份的产值为，
故答案为：B.
【分析】先求出2月份的产值，再结合“3，4月份平均月增长率为10%”求出4月份的产值即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得（-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系。
【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又a+b+c=0，即b=-a-c，
代入b2-4ac=0得（-a-c)2-4ac=0，
即（a+c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c)2=0，
∴a=c．
故选A
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项不符合题意．
B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项不符合题意．
C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项不符合题意．
D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B.当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C.如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；
D.如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据任意一个四边形各边中点依次连线的四边形为平行四边形，再结合中点四边形的性质即可求解.
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13.
∵F为DE的中点，
∴DF=EF.
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC－CE）= （12－5）=3.5，
故答案为：D.
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论.
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】A、这组数据的众数是9，而全班同学的平均成绩达到8，∴A选项错误；
B、这组数据的方差是2，说明这组数据的波动较大，∴B选项错误；
C、这组数据的中位数是8.5，说明8以上的人数占大多数，∴C选项错误；
D、这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是8，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用众数、方差、中位数和平均数的计算方法逐项判断即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（-2，-9），∴A正确；
B、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的开口方向向上，∴B正确；
C、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，∴C正确；
D、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的最小值为-9，∴D不正确；
故答案为：D.
【分析】根据顶点式的抛物线逐项判断即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，
∵菱形ABCD中， ，
∴ 与 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴结论①正确；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论②正确；
∵ 的周长为： ，
∴等边三角形 的边长最小时， 的周长最小，
当 时， 最小 ，
∴ 周长的最小值为 ，
∴结论③正确；
∵菱形ABCD边长为4， ；
∴ 与 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴，
∴当 时，△BEF的面积最大值为 ，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等每个结论逐一判断求解即可。
11．【答案】
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：∵数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，
∴a=4，
∴平均数=（5+2+4+5+2+6）÷6=4，
∴方差=，
故答案为：.
【分析】先利用中位数求出a的值，再求出平均数，最后利用方差的计算方法求解即可.
12．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程的两不同的根，
∴m2+m-1=0，m+n=-1，
∴m2+m=1，
∴，
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=-1，再将代数式变形为，再计算即可.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为（3，-4），
∴，
再将点（4，-2）代入，
可得：，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:如图
连接CM、CN,由勾股定理得,
AB=DE= ,
△ABC、△CDE是直角，三角形,M,N为斜边的中点,
CM=CN= ,∠MCB=∠ECM,∠MCE=∠NCD,
∠MCN= ,
MN= .
因此, 本题正确答案是: .
【分析】根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形的性质得到CM= ,CN= ,∠MCB=∠ECM,∠MCE=∠NCD,根据勾股定理计算即可.
15．【答案】48或
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图所示：
∴周长=2×（10+8+6）=48cm；
②如图所示：
∵BD=6，BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴AC=12，
∴，
∴周长=2×（10++6）=32+cm，
综上，原三角形的周长为：48或.
故答案为： 48或 .
【分析】分类讨论，再分别画出图象并利用三角形的周长公式求解即可.
16．【答案】-1
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD＝ MD＝ ，
∴FM＝DM×cos30°＝ ，
∴MC＝ ＝ ，
∴A′C＝MC﹣MA′＝ ﹣1.
故答案为： ﹣1.
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置；过点M作MF⊥DC于点F，根据菱形的性质以及线段中点的概念可得2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，则∠FMD＝30°，然后求出FD、FM，由勾股定理可得MC，然后根据A′C＝MC-MA′进行计算.
17．【答案】解：
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
18．【答案】解：，
将方程化为一元二次方程的一般形式得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程化为一般式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵E是AC中点，∴，
在和中，
，
∴，∴，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵，，∴，
∴四边形AFCD是菱形.
（2）解：如图，作交BC的延长线于H.
∵四边形AFCD是菱形，
∴，，
∴，
∴四边形FHCE是矩形，
∴，，，
在中，
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形AFCD是平行四边形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，最后可证出四边形AFCD是菱形.；
（2）作交BC的延长线于H，先证出四边形FHCE是矩形，可得，，利用线段的和差求出BH的长，最后利用勾股定理求出BF的长即可.
20．【答案】（1）解：
∵
∴y的最大值为3
∴铅球在行进中的最大高度为
（2）解：令 得：
解方程得， ， （负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出 y的最大值为3 ，再求解即可；
（2）先求出 ，再解方程即可。
21．【答案】（1）解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得
当时，，
解之得，.
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元.
答：每件衬衫应降价20元.
（2）解：商场每天盈利.
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元.
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意列出函数解析式，再将代入解析式求解即可；
（2）先列出，再利用二次函数的性质求解即可.
22．【答案】（1）证明：如图1，过点G作于M，
则，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴四边形ABMG是矩形，∴，
∵，∴，
∴，
又，∴，
∴，∴，
则；
（2）解：如图2，过点E作，交BC于点Q，
∵P是EF的中点，∴PC是的中位线，
则，，
∵，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
则，
∴，
则，
∴；
（3）
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图3所示，作交AD于M，作交CD于N，
则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，
∴，，，
∵，，∴，
延长DC到P，使，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由可得，
解得，
则，
故答案为：.
【分析】（1）先利用“AAS”证出，可得，再利用线的的和差及等量代换求出即可；
（2）过点E作，交BC于点Q，先利用“ASA”证出，可得，再结合，可得，再求出即可；
（3）作交AD于M，作交CD于N，先利用“SAS”证出，可得，设，则，，再利用勾股定理可得，求出，再利用勾股定理求出即可.
1 / 1安徽省合肥四十六中九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各数中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=5，与不是同类二次根式，故错误；
B、=2，与不是同类二次根式，故错误；
C、=3，与，是同类二次根式，故正确；
D、=，与不是同类二次根式，故错误；
故选：C．
【分析】先把各项化简，再根据被开方数相同的即为同类二次根式．
2．（2023九上·合肥开学考）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴C选项不正确，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法逐项判断即可.
3．（2023九上·合肥开学考）某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，
∴2月份的产值为a（1-10%），
∵3，4月份平均月增长率为10%，
∴4月份的产值为，
故答案为：B.
【分析】先求出2月份的产值，再结合“3，4月份平均月增长率为10%”求出4月份的产值即可.
4．（2017九上·巫山期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得（-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系。
【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又a+b+c=0，即b=-a-c，
代入b2-4ac=0得（-a-c)2-4ac=0，
即（a+c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c)2=0，
∴a=c．
故选A
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根。
5．（2019八下·瑶海期末）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项不符合题意．
B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项不符合题意．
C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项不符合题意．
D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
6．（2021八下·新洲期中）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B.当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C.如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；
D.如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据任意一个四边形各边中点依次连线的四边形为平行四边形，再结合中点四边形的性质即可求解.
7．（2019八下·江阴期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13.
∵F为DE的中点，
∴DF=EF.
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC－CE）= （12－5）=3.5，
故答案为：D.
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论.
8．（2023九上·合肥开学考）为了了解班上体育锻炼情况，班主任从八（1）班45名同学中随机抽取了8位同学开展“1分钟跳绳”测试，得分如下（满分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是（ ）
A．这组数据的众数是9，说明全班同学的平均成绩达到9分
B．这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小
C．这组数据的中位数是8，说明8分以上的人数占大多数
D．这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是8分
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】A、这组数据的众数是9，而全班同学的平均成绩达到8，∴A选项错误；
B、这组数据的方差是2，说明这组数据的波动较大，∴B选项错误；
C、这组数据的中位数是8.5，说明8以上的人数占大多数，∴C选项错误；
D、这组数据的平均数是8，可以估计班上其他同学的平均成绩大约也是8，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用众数、方差、中位数和平均数的计算方法逐项判断即可.
9．（2023九上·合肥开学考）对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是 B．图象开口向上
C．图象关于直线对称 D．函数最大值为-9
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（-2，-9），∴A正确；
B、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的开口方向向上，∴B正确；
C、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，∴C正确；
D、∵抛物线的解析式为，∴抛物线的最小值为-9，∴D不正确；
故答案为：D.
【分析】根据顶点式的抛物线逐项判断即可.
10．（2023九上·合肥开学考）如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，且，有下列结论：
①是等边三角形；②；③周长的最小值为；④面积的最大值为.
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，
∵菱形ABCD中， ，
∴ 与 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴结论①正确；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论②正确；
∵ 的周长为： ，
∴等边三角形 的边长最小时， 的周长最小，
当 时， 最小 ，
∴ 周长的最小值为 ，
∴结论③正确；
∵菱形ABCD边长为4， ；
∴ 与 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴，
∴当 时，△BEF的面积最大值为 ，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（2023九上·合肥开学考）有一组数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，则这组数据的方差是 .
【答案】
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：∵数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，
∴a=4，
∴平均数=（5+2+4+5+2+6）÷6=4，
∴方差=，
故答案为：.
【分析】先利用中位数求出a的值，再求出平均数，最后利用方差的计算方法求解即可.
12．（2023九上·合肥开学考）若m、n是方程的两不同的根，则的值为 .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程的两不同的根，
∴m2+m-1=0，m+n=-1，
∴m2+m=1，
∴，
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=-1，再将代数式变形为，再计算即可.
13．（2023九上·合肥开学考）某抛物线的顶点为（3，-4），并且经过点（4，-2），则此抛物线的解析式为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为（3，-4），
∴，
再将点（4，-2）代入，
可得：，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可.
14．（2018八上·江干期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:如图
连接CM、CN,由勾股定理得,
AB=DE= ,
△ABC、△CDE是直角，三角形,M,N为斜边的中点,
CM=CN= ,∠MCB=∠ECM,∠MCE=∠NCD,
∠MCN= ,
MN= .
因此, 本题正确答案是: .
【分析】根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形的性质得到CM= ,CN= ,∠MCB=∠ECM,∠MCE=∠NCD,根据勾股定理计算即可.
15．（2023九上·合肥开学考）在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm、6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是 .
【答案】48或
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图所示：
∴周长=2×（10+8+6）=48cm；
②如图所示：
∵BD=6，BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴AC=12，
∴，
∴周长=2×（10++6）=32+cm，
综上，原三角形的周长为：48或.
故答案为： 48或 .
【分析】分类讨论，再分别画出图象并利用三角形的周长公式求解即可.
16．（2021九上·余姚月考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 .
【答案】-1
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD＝ MD＝ ，
∴FM＝DM×cos30°＝ ，
∴MC＝ ＝ ，
∴A′C＝MC﹣MA′＝ ﹣1.
故答案为： ﹣1.
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置；过点M作MF⊥DC于点F，根据菱形的性质以及线段中点的概念可得2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，则∠FMD＝30°，然后求出FD、FM，由勾股定理可得MC，然后根据A′C＝MC-MA′进行计算.
三、解答题
17．（2015八下·临沂期中）计算：
【答案】解：
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
18．（2023八下·安庆期末）解方程：．
【答案】解：，
将方程化为一元二次方程的一般形式得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程化为一般式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可.
19．（2023九上·合肥开学考）如图，在中，，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得，连接BF、CF.
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）当，时，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵E是AC中点，∴，
在和中，
，
∴，∴，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵，，∴，
∴四边形AFCD是菱形.
（2）解：如图，作交BC的延长线于H.
∵四边形AFCD是菱形，
∴，，
∴，
∴四边形FHCE是矩形，
∴，，，
在中，
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形AFCD是平行四边形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，最后可证出四边形AFCD是菱形.；
（2）作交BC的延长线于H，先证出四边形FHCE是矩形，可得，，利用线段的和差求出BH的长，最后利用勾股定理求出BF的长即可.
20．（2021九上·永吉期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ．求：
（1）铅球在行进中的最大高度；
（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？
【答案】（1）解：
∵
∴y的最大值为3
∴铅球在行进中的最大高度为
（2）解：令 得：
解方程得， ， （负值舍去）．
∴该男生把铅球推出的水平距离是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出 y的最大值为3 ，再求解即可；
（2）先求出 ，再解方程即可。
21．（2023九上·合肥开学考）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案.
【答案】（1）解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得
当时，，
解之得，.
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元.
答：每件衬衫应降价20元.
（2）解：商场每天盈利.
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元.
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意列出函数解析式，再将代入解析式求解即可；
（2）先列出，再利用二次函数的性质求解即可.
22．（2023九上·合肥开学考）已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上.
（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，，P为EF中点，求证：；
（3）如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长为 .
【答案】（1）证明：如图1，过点G作于M，
则，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴四边形ABMG是矩形，∴，
∵，∴，
∴，
又，∴，
∴，∴，
则；
（2）解：如图2，过点E作，交BC于点Q，
∵P是EF的中点，∴PC是的中位线，
则，，
∵，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
则，
∴，
则，
∴；
（3）
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图3所示，作交AD于M，作交CD于N，
则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，
∴，，，
∵，，∴，
延长DC到P，使，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由可得，
解得，
则，
故答案为：.
【分析】（1）先利用“AAS”证出，可得，再利用线的的和差及等量代换求出即可；
（2）过点E作，交BC于点Q，先利用“ASA”证出，可得，再结合，可得，再求出即可；
（3）作交AD于M，作交CD于N，先利用“SAS”证出，可得，设，则，，再利用勾股定理可得，求出，再利用勾股定理求出即可.
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