第1章 一元二次方程 单元训练2023-2024学年苏科版数学九年级上册（含解析）

第1章 一元二次方程 单元训练——苏科版数学九年级上
一、选择题
1．关于x的方程：①；②﹣＝7；③3﹣4x+5＝0；④中，一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（　　）
A． B． C． D．
3．若方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
4．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝7 B．（x﹣2）2＝4
C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
5．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
6．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（　　）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
8．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
9．若一个矩形的长和宽是关于的方程 的两根， 则该矩形的周长为 （　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（　　）
A． B．
C． D．
11．若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12． 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（　　）．
A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
二、填空题
14．若关于的方程是一元二次方程，则　 　．
15．若为方程的一个根，则代数式的值为　 　．
16．某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程　 　．
17．若a≠b，且 则 的值为　 　
三、计算题
18．解一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
19．已知关于x的方程的两个实根为，.且满足，试求这个方程的两个实根及k的值.
20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21． 昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．
（1）用含有的代数式表示月销售量；
（2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
22．如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ，请说明理由．（写出证明及计算过程）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】解：①，当a≠0时，是一元二次方程；
②﹣＝7，含有分式，不是一元二次方程；
③3﹣4x+5＝0，是一元二次方程；
④，化简后不含x的二次项，不是一元二次方程，
∴只有③是一元二次方程，共1个，
故答案为：A.
2．【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：C
3．【答案】A
【解析】解：∵ 方程x2+2x+m+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即22-4×1×（m+1）＞0，
解得m＜0，故只有A选项符合题意，B、C、D三个选项都不符合题意.
故答案为：A.
4．【答案】D
【解析】解： 方程x2+4x+3=0，
移项得：x2+4x=-3，
两边同时加4，得：x2+4x+4=-3+4，即（x+2）2=1.
故答案为：D.
5．【答案】A
【解析】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
6．【答案】A
【解析】解：∵ 一元二次方程的两根分别为，，
∴m+n=4，mn=-1，
∴m+n-mn=4-（-1）=4+1=5.
故答案为：A.
7．【答案】C
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得
1+x+x（1+x）＝121.
故答案为：C
8．【答案】D
【解析】解：设方程两根设为x1，x2，
方程整理得：x2+x- 2- p2= 0，
由根与系数的关系得：x1+x2= -1< 0，
x1x2= -2- p2<0，
∴方程的两个根是：一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小.
故答案为：D.
9．【答案】A
【解析】设矩形的长为 ，宽为 ，
矩形的长和宽是关于 的方程 的两根，
矩形的周长为 ，
故答案为：A.
10．【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为=2，=-3，
∴2-3=-p，2×（-3）=q，
∴p=1，q=-6，
∴原方程为，
∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0.
故答案为：D.
11．【答案】A
【解析】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，
∴，m＋n＝4，
∴，
∴，
故答案为：A.
12．【答案】C
【解析】
根据题意可得：
即
故答案为：C
13．【答案】D
【解析】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
14．【答案】0
【解析】解：∵ 关于的方程是一元二次方程
∴|m-2|=2且m-4=0，
解之：m1=0，m2=4，m≠4，
∴m=0.
故答案为：0.
15．【答案】-23
【解析】解：∵为方程的一个根，
∴a2-3a=6，
∴原式=-3（a2-3a）-5=-3×6-5=-23.
故答案为：-23.
16．【答案】
【解析】解：设每件应降价x元，
依题意得：，
故答案为：．
17．【答案】1
【解析】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
（3）解：，
，，，
，
，
，
19．【答案】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
20．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且.
（2）解：假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
设方程的两根为．则
∴
即，且
解得
又∵
∴不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
21．【答案】（1）解：根据题意得：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
，
．
答：该品牌头盔的实际售价应定为元个．
22．【答案】解：∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1，
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，
∴∠AD1A1=∠BA1B1，
同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，
∴AA1=D1D，
设AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，
Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得：
A1D12=x2+（1﹣x）2，
∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+（1﹣x）2= ，
解得x= ，x= ．
答：依次将四周的直角边分别为 和 的直角三角形减去即可．