4.2　直线、射线、线段——线段中点有关的计算教学设计　2023—2024学年人教版数学七年级上册

线段中点有关的计算
微课学习目标：
1.回顾线段中点的定义及几何语言.
2.利用线段中点的基本模型解决与线段中点有关的计算问题.
3.培养学生解决几何题型的逻辑语言.
微课学习过程：
一、知识回顾、复习模型
教师活动：（用西沃白板里的作图工具）在射线AM上，画一条线段AC=a，再画一条线段CB=a，从而得到：点C是线段AB的中点。
学生明确线段的中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫做线段的中点.
教师活动：规范线段中点的基本模型的几何语言：
∵ 点C是线段AB的中点
∴ AC=BC=或AB=2AC=2BC
二、例题演练、掌握模型
例1.如图，线段AB的长为8cm，点C是线段AB上一点，AC=3.2cm,点M是线段AB的中点，点N是AC的中点，求线段MN的长.
分析：此题中有两个线段中点模型，一个是点M是线段AB的中点，一个是点N是线段AC的中点，由图可知MN=AM-AN，所以只要求出线段AM和AN的长度即可.
解答：∵ 点M是线段AB的中点，且AB=8cm
∴ AM==4cm
∵ 点N是线段AC的中点,且AC=3.2cm
∴ AN==1.6cm
∴ MN=AM-AN=4-1.6=2.4cm
例2.如图，线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长.
分析：根据线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，可以设AC为3xcm,CD为4xcm,DB为5xcm.再根据线段中点基本模型可以求出MC、DN，利用MC+CD+DN=MN=40构造一元一次方程求出x,便可以求出线段AB的长度.
解答：设AC=3xcm，CD=4xcm,DB=5xcm,则AB=12xcm.
∵ 点M是线段AC的中点
∴ MC==1.5xcm
∵ 点N是线段DB的中点
∴ DN==2.5xcm
∵ MN=MC+CD+DN=1.5x+4x+2.5x=8x
∴ 8x=40 x=5
∴ AB=12 5=60(cm)
三、演示动点、引导学生分类
利用西沃白板上的在线画图工作，演示点C在线段AB所在的直线上运动
教师问：我把点C的位置做了一个变化，大家发现什么？
学生活动：学生通过观察会发现点C可以在线段AB上、可以在线段AB的延长线上、还可以在线段BA的延长线上三种情况
教师提问：请学生思考，这三种情况下MN的长度如何求呢？
四、深入探究、形成模型
例3.如图，线段AB=8cm，点C在直线AB上，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长.
分析：因为点C的运动分三种情况，所以我们进行分类讨论，如下：
（1）如图，当点C在线段AB上时
∵ 点M是线段AC的中点
∴ MC=
∵ 点N是线段BC的中点
∴ CN=
∴ MN=MC+CN
=+
=
=
∵ AB=8cm
∴ MN=(cm)
(2)如图，当点C在线段AB的延长线上时
∵ 点M是线段AC的中点
∴ MC=
∵ 点N是线段BC的中点
∴ CN=
∴ MN=MC-CN
=-
=
=
∵ AB=8cm
∴ MN=(cm)
(3)如图，当点C在线段BA的延长线上时
∵ 点M是线段AC的中点
∴ MC=
∵ 点N是线段BC的中点
∴ CN=
∴ MN=NC-MC
=-
=
=
∵ AB=8cm
∴ MN=(cm)
教师引导：我们对例3这三种情况进行对比总结，便可以得到最终的结论，这三幅图被合成为“双中点模型”.
教师小结：通过例3的变式探究，我们发现线段中点的模型在解题中应用广泛，能从复杂的图形当中提炼出这样的模型来是解决问题的突破口.
五、小结新课、梳理新知
利用思维导图进行课堂小结，我们学习了线段中点的有关计算问题，通过学习认识了两种模型：一个是基本模型、一个是双中点模型，同时在解题的过程中，我们还应用了方程思想以及分类讨论的数学思想.