2023-2024学年上学期八年级数学第一次学情检测
2023.10
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等
C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等
3．元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个本凳，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则套子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
4.如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
（第4题） （ 第5题） （第6题）
5．如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F．是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
6．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A．105° B．120° C．125° D．130°
7．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题）
8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请把答案直接填写在横线上
9．如图，△ABC≌△A1B1C1，且∠A：∠B：∠ACB＝1：3：5，则∠A1等于 度．
10．如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量∠ACB＝30°，然后在BC的一侧找到一点D，使得BC为∠ABD的平分线，且∠DCB＝30°，若BD的长为8米，则池塘两岸A，B之间的距离为 ．
（第9题） （第10题） （第11题）
11．小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是 ．
12.如图，已知∠MON，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是 （请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
如图，在中，，平分，于点E，如果，则的长为 ．
14.如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 个．
15. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为__________.
（第13题） （第14题） （第15题）
16.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ．
17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动__ s时，CF＝AB．
18.如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 ．
（第16题） （第17题） （第18题）
三.解答题（本大题共10小题，共96分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）用尺规作图，在BC上作点D、E，使点D到AB与AC的距离相等，点E到点A与B的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接EA、DA，若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ °．
20. 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
21.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
如图，在 中，是边上的高，是边上的中线，且 ．
(1)连接，求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
23.已知：如图，△ACB 中，点 D 为 AB 中点，CD=
求证：∠ACB= 90°．（请用两种不同的方法证明）
24.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
25.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．
（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；
（2）求证：BG＝CF．
26．已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．
（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；
（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．
27.如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．
(1)当时，判断的形状并说明理由；
(2)当的最小值为2时，此时 ；
(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．
28.已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；八年级数学答题卡
(
姓名
班级
考场
座位号
)一、选择题（每题3分，共24分）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、填空题（每题3分，共30分） ___________ 10、_____________ 11、___________ 12、__________ _____________ 14、____________ 15、__________ 16、____________ 17、_______________18、____________
19.（6分） （2） ∠DAE＝ °．
（6分）
21.（6分）
22.（8分）
23.（8分）
24.（10分）
（12分） （1） （2）
26.（12分） （1） （2）
27.（14分）
28.（14分）
B
人行道
行车道
行车道>
隔离带H
人行道
富强民主文明和谐自由平等公正法治爱国敬业诚信友善
A
A
D
D
C
B
C
B
A
F
B
D E
C
A
108°
E
100-
E
B
图1
B
图2
C
C
A
B
B
A
1
E
2
D2023-2024 学年上学期八年级数学第一次学情检测
2023.10
（时间 120 分钟 满分 150 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成
的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等
C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等
3．元旦联欢会上，3名同学分别站在 ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间
放一个本凳，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则套子应放置的最适当的位置是在 ABC
的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
4.如图，在 ABC中， AB AC， AD BD，DE AB于点 E，若 BC 4， BDC的周长
为 10，则 AE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
（第 4 题） （ 第 5 题） （第 6 题）
5．如图，在 ABC中， BAC=110 ，EF 是边 AB的垂直平分线，垂足为 E，交BC于 F．MN
是边 AC的垂直平分线，垂足为 M，交 BC于 N．连接 AF、AN则 FAN 的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
6．如图 a 是长方形纸带， DEF 25 ，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF折叠成图 c，则
图 c 中的 CFE的度数是（ ）
A．105° B．120° C．125° D．130°
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
7．如图，在五边形 ABCDE中， BAE 120 ， B E 90 ，AB BC，AE DE，在BC、
DE上分别找到一点 M、N，使得 AMN的周长最小，则 AMN + ANM的度数为（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
（第 7 题） （第 8 题）
8.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O作 EF∥BC 交 AB 于 E，交
1 1
AC 于 F，过点 O作 OD⊥AC 于 D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ ∠A，②∠EBO= ∠AEF，
2 2
③∠DOC+∠OCB＝90°，④设 OD＝m，AE+AF＝n，则 S△AEF= ．其中正确的结论有（ ）2
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）请把答案直接填写在横线上
9．如图，△ABC≌△A1B1C1，且∠A：∠B：∠ACB＝1：3：5，则∠A1等于 度．
10．如图，为了测量池塘两岸 A，B 间的距离，在 B 点同侧选取点 C，经测量∠ACB＝30°，
然后在 BC 的一侧找到一点 D，使得 BC 为∠ABD 的平分线，且∠DCB＝30°，若 BD 的长为
8米，则池塘两岸 A，B之间的距离为 ．
（第 9题） （第 10 题） （第 11 题）
11．小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时
刻是 ．
12.如图，已知∠MON，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线
OM、ON 分别交于 A、B，再分别过点 A、B 作 OM、ON 的垂线，交
点为 P，画射线 OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是 （请
从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
13．如图，在Rt△ABC中， ACB 90 ， AD平分 BAC，DE AB于点 E，如果
BC 8，DE 3，则 BD的长为 ．
14.如图，是 4×4 正方形网格，其中已有 3 个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的 13 个白
色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图
形，则这样的白色小正方形有 个．
15. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线 AE，AE交 BC于点 D，CD＝
2，P为 AB上一动点，则 PD的最小值为__________.
（第 13 题） （第 14 题） （第 15 题）
16.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE 交于点 H，连接 CH，则∠CHE= ．
17.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD 为 AB 边上的高，点 E 从点 B
出发，在直线 BC 上以 2cm 的速度移动，过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F，当点 E 运动
__ s 时，CF＝AB．
18.如图，∠AOB＝45°，点 M、N 分别在射线 OA、OB 上，MN＝7，△OMN 的面积为 14，P 是
直线 MN 上的动点，点 P 关于 OA 对称的点为 P1，点 P关于 OB 对称的点为 P2，当点 P 在直线
NM 上运动时，△OP1P2的面积最小值为 ．
（第 16 题） （第 17 题） （第 18 题）
三.解答题（本大题共 10 小题，共 96 分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.如图，在△ABC 中，∠A＞∠B．
（1）用尺规作图，在 BC 上作点 D、E，使点 D 到 AB 与 AC 的距离相等，点 E 到点 A 与 B
的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接 EA、DA，若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ °．
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
20. 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
21.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离带的空隙
O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足为 D，
已知 AB＝20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度．
22. 如图，在 ABC 中，CD是 AB边上的高， BE是 AC边上的中线，且BD CE ．
(1)连接DE，求证： BD DE ；
(2)若 ABE 25 ，求 BEC 的度数．
1
23.已知：如图，△ACB 中，点 D 为AB 中点，CD= AB2
求证：∠ACB= 90°．（请用两种不同的方法证明）
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
24.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，且 BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD 的度数；
（2）若 AC＝5，DC＝4，求△ABC 的周长．
25.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 边于点 D，点 E
是 BC 边的中点，线段 EF∥AD 交线段 AB 于点 G，交线段
CA 的延长线于点 F．
（1）若 CF＝6，AG＝2，求 AC 的长；
（2）求证：BG＝CF．
26．已知△ABC 中，AB＝AC，BE 平分∠ABC 交边 AC 于 E．
（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；
（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两
条线段之和等于 BC，若有请写出结论并完成证明．
27.如图， ABC中， AB AC， B 30 ，点 O 在BC边上运动（O 不与 B、C重合），点 D
在线段 AB上，连结 AO，OD．点 O 运动时，始终满足 AOD B．
(1)当OD∥AC时，判断 AOB的形状并说明理由；
(2)当 AO的最小值为 2 时，此时 BD ；
(3)在点 O 的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形时，求此时 BDO的度数．
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
28.已知在 ABC中， AB AC，过点 B 引一条射线 BM，D 是 BM上一点
【问题解决】
(1)如图 1，若 ABC 60 ，射线 BM在 ABC内部， ADB 60 ，求证： BDC 60 ，小
明同学展示的做法是：在 BM上取一点 E 使得 AE AD，通过已知的条件，从而求得 BDC
的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图 2，已知 ABC ADB 30 ．
①当射线 BM在 ABC内，求 BDC的度数
②当射线 BM在BC下方，如图 3所示，请问 BDC的度数会变化吗 若不变，请说明理由，
若改变，请求出 BDC的度数；
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}八年级数学答题卡
一、选择题（每题 3分，共 24 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、填空题（每题 3分，共 30 分）
9、___________ 10、_____________ 11、___________ 12、__________
13、_____________ 14、____________ 15、__________ 16、____________
17、_______________18、____________
19.（6 分）
（2） ∠DAE＝ °．
20.（6 分）
21.（6 分）
1
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
姓名 班级 考场 座位号
22.（8 分）
23.（8 分）
24.（10 分）
25．（12 分）
（1）
2
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
（2）
26.（12 分）
（1）
（2）
27.（14 分）
3
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}
28.（14 分）
4
{#{QQABDQwAogioAABAAQhCQwGQCEIQkAACCIoGRAAMIAAAgAFABAA=}#}八年级数学
2023.10
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有-项是符合题
目要求的.
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等
C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．
3．元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个本凳，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则套子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】根据到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：套子的位置到3名同学的距离相等，
∴套子应放置的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
4.如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
【详解】解：，且的周长为10，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键
5．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A．105° B．120° C．125° D．130°
【答案】A
【分析】在图a中，由题意可得：，则，，再根据折叠的性质求解即可．
【详解】解：在图a中，由题意可得：，
∴，，
在图b中，由折叠的性质可得：，
∴
在图c中，由折叠的性质可得：，
∴，
故选：A
【点睛】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
6．如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F．是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质得，，再由等边对等角，以及三角形内角和定理求出所求角度数即可．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，
8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
利用角平分线的定义得到∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，则∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC（180°﹣∠A），则可对①进行判断；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO∠EBC，则可对②进行判断；利用互余和∠OCB＝∠OCD可对③进行判断；根据角平分线的性质得到O点到AE的距离等于m，然后利用三角形面积公式可对④进行判断．
【解题过程】
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠BOC（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝90°∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，
而OB平分∠EBC，
∴∠EBO∠EBC，
∴∠EBO∠AEF，所以②正确；
∵OD⊥AC于D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DOC+∠OCD＝90°，
∵OC平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等，
∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m，
∴S△AEFAE mAF mm（AE+AF）mn，所以④正确．
故选：D．
填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请把答案直接填写在横线上
9．（3分）（2012秋 镇赉县校级月考）如图，△ABC≌△A1B1C1，且∠A：∠B：∠ACB＝1：3：5，则∠A1等于 20 度．
解：∵∠A：∠B：∠ACB＝1：3：5，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠A＝20°，∠B＝60°，∠ACB＝100°，
∵，△ABC≌△A1B1C1，
∴∠A1＝∠A＝20°，
故答案为：20．
10．（3分）如图，为了测量池塘两岸A，B间的距离，在B点同侧选取点C，经测量∠ACB＝30°，然后在BC的一侧找到一点D，使得BC为∠ABD的平分线，且∠DCB＝30°，若BD的长为8米，则池塘两岸A，B之间的距离为 8 ．
解：∵BC为∠ABD的平分线，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△ABC与△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝BD＝8（米），
故池塘两岸A，B之间的距离为8米．
故答案为：8．
11．（3分）（2021秋 沂源县期中）小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是 21：05 ．
解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，
∴，
故答案为：21：05．
12.（3分）（2022秋 灵宝市期中）如图，已知∠MON，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是 （请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入）．
解：由题意知OA＝OB，∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故答案为：HL．
13．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于点E，如果，则的长为 ．
【答案】5
【分析】利用证明得到，则．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
14.如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 4 个．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：4．
15. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为___________.
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；
【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
16.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= 65° ．
17．（3分）（2022秋 邯山区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 2或5 s时，CF＝AB．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：＝5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：＝2（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
18.如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 8 ．
解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．
∵S△OMN＝ MN OH＝14，MN＝7，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OH最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，
故答案为：8．
三.解答题（本大题共8小题，共66分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）用尺规作图，在BC上作点D、E，使点D到AB与AC的距离相等，点E到点A与B的距离相等（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接EA、DA，若∠B＝45°，∠C＝65°，则∠DAE＝ 10 °．
解：（1）如图，点D、E即为所求；
（2）∵∠B＝45°，∠C＝65°，
∴∠CAB＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠BAD＝CAB＝35°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠EAB﹣∠BAD＝45°﹣35°＝10°．
故答案为：10．
20. 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ACB≌△ACD是解题的关键．
21.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20（m）
22.如图，在 中，是边上的高，是边上的中线，且 ．
(1)连接，求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
解：（1）∵是边上的高，
∴ ，
∵是边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
23. 已知：如图，△ACB 中，点 D 为 AB 中点，CD=
求证：∠ACB= 90°．（请用两种不同的方法证明）
24.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
（1）解：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝40°，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，
∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；
（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，
∵BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，
25.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．
（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；
（2）求证：BG＝CF．
【思路引领】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG＝CF，只要证明BG＝CM，CF＝CM即可．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AD∥EF，
∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，
∴∠F＝∠FGA，
∴AG＝AF，
∵CF＝6，AG＝2，
∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．
∵BG∥CM，
∴∠B＝∠MCE，
∵E是BC中点，
∴BE＝EC，
在△BEG和△CEM中，
，
∴△BEG≌△CEM，
∴BG＝CM，
∵AD∥EF，
∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，
∵∠1＝∠2，
∴∠F＝∠FGA，
∵AB∥CM，
∴∠FGA＝∠M，
∴∠F＝∠M，
∴CF＝CM，
∴BG＝CF．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
26.已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．
（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；
（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．
【思路引领】（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．只要证明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解决问题；
（2）结论：BC＝BE+AE．如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，再证明EA＝EH＝EF＝CF即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．
∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，
∴△BEA≌△BED，
∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，
∴∠CED＝72°，
∴CE＝CD，
∴BC＝BD+CD＝AB+CE．
（2）结论：BC＝BE+AE．
理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，
∴EF＝EH，
∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∴∠EBA＝∠EBC＝20°，
∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，
∴AE＝EH，
∵∠BFE＝∠C+∠FEC，
∴∠CEF＝∠C＝40°，
∴EF＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+AE．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型
27.如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．
(1)当时，判断的形状并说明理由；
(2)当的最小值为2时，此时 ；
(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．
【答案】(1)直角三角形
(2)3
(3)的度数是60°或105°
【分析】（1）证明即可解答；
（2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出，的值即可解答；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（2）解：当时，的值最小，如图，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
（3）解：的形状可以是等腰三角形，理由如下，
分三种情况：
①时，，
∴；
②时，，
∴；
③时，，
∴，点O与C重合，不合题意，
综上所述，的度数是60°或105°．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
28.已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【答案】(1)见解析
(2)①②；的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
