【五三测】初中数学鲁教版七年级上册专项训练卷(三)与勾股定理有关的热点问题
一、选择题
1．下列说法中，正确的有（ ）
⑴与其他两个内角和的三角形是直角三角形；(3)若△ABC的三边长满足b2=a2-c2 ，则△ABC是直角三角形；(4)若△ABC中，∠A：∠B：∠C=8：15：17，则△ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020八下·韩城期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长是（ ）
A． B． C．9 D．6
4．如图，已知S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2，S3满足的关系式为（ ）
A．S1S2+S3 D．S1=S2·S3
二、填空题
5．（2020八上·太原期中）如图， 中， ， ， ．以 为边在点 同侧作正方形 ，则图中阴影部分的面积为 ．
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、BC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别为S1、S2，以AB为边向外作正方形，其面积为S．若S1+S2=9，则S= ．
7．已知三角形的两边长分别为13cm和15cm，第三边上的高为12cm，则此三角形的面积为
cm2．
三、解答题
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若CA=28°
，求∠ACD的度数；
（2）若BC=3，AC=4，求AD的长．
9．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC=4m，BE=1m，求滑道AC的长度．
10．如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，已知长方形的长AB=4米，宽BC=2.6米．现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2米，请问这辆卡车能否通过这个通道？(参考数据： ≈1.7)
11．一艘轮船从A港沿南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的距离是60km．
（1）若该轮船的速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）C岛在A港的什么方向？
12．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
（1）试判断△CHB是不是直角三角形，并说明理由；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米．
13．图①是超市的购物车，图②为其侧面示意图，测得支架AC=24 cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离．(结果保留整数)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】若直角三角形的斜边长为4，则第三边的长小于5，故(1)中的说法错误；
有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形，故(2)中的说法正确；
若△ABC的三边长满足b2=a2-c2，即b2+c2=a2，则△ABC是直角三角形，故(3)中的说法正确；
(4)若△ABC中，∠A：∠B：∠C=8：15：17，则∠C=180°× =76.5°，则△ABC不是直角三角形，故(4)中的说法错误．
综上，说法正确的有(2)(3)，共2个．
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形的判定方法，结合勾股定理的逆定理和三角形的内角和等于180°求解即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6；
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理得出8+A=14，进而求出A的面积。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠ACB=90° ， BC=6，AC=8，
由勾股定理得，AB2=BC2+AC2 =62+82= 102 ， AB=10，
∴△ABC的面积= BC·AC= AB·CD，
∴ ×6×8= ×10×CD，
解得CD= ，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB=10，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，
∴S1= ，S2= ，S3=
又∵AB2=AC2+BC2，
∴S1=S2+S3．
故答案为：B．
【分析】先求出S1= ，S2= ，S3= ，再根据AB2=AC2+BC2，求解即可。
5．【答案】19
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ．
故答案为：19．
【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再利用割补法求解即可。
6．【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意易知AC2=4S1，BC2=4S2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴AB2=S，
∴S=4S2+4S2=4(S1+S2)，
∴S1+S2=9，
∴S=4×9=36=62，
∴S=6．
故答案为6．
【分析】先求出AB2=S，再求出S=4×9=36=62，最后计算求解即可。
7．【答案】84或24
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：①当第三边上的高在三角形内部时，如图所示，
AB=15 cm，AC=13 cm，AD=12 cm，
∵AD是△ABC的BC边上的高△ABD、△ACD是直角三角形，
∴BD2 =AB2-AD2=152-122=92 ，∴BD=9 cm，
同理可得CD=5 cm，
∴BC= BD+CD= 14 cm，
∴S△ABC= BC·AD= ×14×12=84 cm2 ；
②当第三边上的高在三角形外部时，如图所示，
AB=15 cm，AC=13 cm，AD=12 cm，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴△ABD、△ACD是直角三角形，
∴BD2=AB2-AD2=152-122=92 ，∴BD=9 cm，
同理可得CD=5 cm，
∴BC=BD-CD=9-5=4 cm，
∴S△ABC= BC·AD= ×4×12=24 cm2．
综上所述，此三角形的面积为84 cm2或24 cm2．
故答案为84或24．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，三角形的面积公式计算求解即可。
8．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=28°，
∴∠B=62°．
由题意可知BD= BC，
∴∠BCD=∠BDC= =59°．
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-59°=31°．
（2）解：∵∠ACB= 90° ，BC=3，AC=4，
∴由勾股定理得AB2=AC2+BC2=42+32=52，∴AB=5．
∵AB=AD+BD ， BD=BC=3，
∴AD=5-3=2．
【知识点】角的运算；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=62° ，再求出 ∠BCD=∠BDC= 59°，最后计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出 AB=5 ，再计算求解即可。
9．【答案】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=(x-1)m，
由题意得∠ABC= 90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即(x-1)2+42=x2，
解得x=8.5，
∴AC的长为8.5 m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理求出 (x-1)2+42=x2， 再求出 x=8.5， 最后求解即可。
10．【答案】解：如图，
设宽为2米的卡车能通过这个通道的最高点为M，连接OM，ON的长为卡车宽度的一半，连接MN并延长交AB于E，
过直径CD的中点O作直径CD的垂线，交AB于点F，
在Rt△MNO中，易知OM=OD= AB=2米，EF=ON=1米，
所以MN= 米．
因为 +2.6>4，
所以这辆卡车可以通过．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 OM=OD= AB=2米，EF=ON=1米， 再利用勾股定理求出MN的值，最后求解即可。
11．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，即602+BD2= 1002 ，
∴BD= 80 km．
∴CD= BC-BD= 125-80=45 km．
在Rt△ACD中，AC2 =CD2 +AD2 =452+602=752，
∴AC= 75 km．
75÷25= 3(h)．
答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
（2）解：∵ AB2+AC2= 1002 +752=15 625， BC2=1252=15625，
∴AB2+AC2=BC2．
∴∠BAC= 90°．
∴∠NAC= 180°-90°-48°=42°．
∴C岛在A港的北偏西42°的方向上．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先求出 BD= 80 km ，再求出CD=45km，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 AB2+AC2=BC2 ，再求出 ∠BAC= 90° ，最后计算求解即可。
12．【答案】（1）解：△CHB是直角三角形．
理由：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，
BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形．
（2）解：设AC=x千米，
则AB=x千米，AH=(x-0.9)千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得，AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，∴AC=1.25千米，
1.25-1.2=0.05(千米)．
答：新路CH比原路CA短0.05千米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先求出 CH2+BH2=BC2， 再证明求解即可；
（2）根据题意利用勾股定理求出 x2=(x-0.9)2+1.22， 再解方程求出 x=1.25， 最后计算求解即可。
13．【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离，
在△ABC中，AC=24cm，CB= 18cm ，AB=30 cm，
∴AC2+CB2=242+182=900，AB2=302=900，
∴AC2+BC2 =AB'，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，
∵S△ABC= AC·BC= CE·AB，
∴AC·BC=CE·AB，即24×18=CE×30，
∴CE= 14.4≈14 cm．
答：点C到AB的距离约为14cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出 AC2+BC2 =AB'， 再求出 △ABC为直角三角形，∠ACB= 90°， 最后利用三角形的面积公式求解即可。
1 / 1【五三测】初中数学鲁教版七年级上册专项训练卷(三)与勾股定理有关的热点问题
一、选择题
1．下列说法中，正确的有（ ）
⑴与其他两个内角和的三角形是直角三角形；(3)若△ABC的三边长满足b2=a2-c2 ，则△ABC是直角三角形；(4)若△ABC中，∠A：∠B：∠C=8：15：17，则△ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】若直角三角形的斜边长为4，则第三边的长小于5，故(1)中的说法错误；
有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形，故(2)中的说法正确；
若△ABC的三边长满足b2=a2-c2，即b2+c2=a2，则△ABC是直角三角形，故(3)中的说法正确；
(4)若△ABC中，∠A：∠B：∠C=8：15：17，则∠C=180°× =76.5°，则△ABC不是直角三角形，故(4)中的说法错误．
综上，说法正确的有(2)(3)，共2个．
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形的判定方法，结合勾股定理的逆定理和三角形的内角和等于180°求解即可。
2．（2020八下·韩城期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6；
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理得出8+A=14，进而求出A的面积。
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，则Rt△ABC的斜边AB上的高CD的长是（ ）
A． B． C．9 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠ACB=90° ， BC=6，AC=8，
由勾股定理得，AB2=BC2+AC2 =62+82= 102 ， AB=10，
∴△ABC的面积= BC·AC= AB·CD，
∴ ×6×8= ×10×CD，
解得CD= ，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB=10，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
4．如图，已知S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2，S3满足的关系式为（ ）
A．S1S2+S3 D．S1=S2·S3
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，
∴S1= ，S2= ，S3=
又∵AB2=AC2+BC2，
∴S1=S2+S3．
故答案为：B．
【分析】先求出S1= ，S2= ，S3= ，再根据AB2=AC2+BC2，求解即可。
二、填空题
5．（2020八上·太原期中）如图， 中， ， ， ．以 为边在点 同侧作正方形 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】19
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ．
故答案为：19．
【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再利用割补法求解即可。
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、BC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别为S1、S2，以AB为边向外作正方形，其面积为S．若S1+S2=9，则S= ．
【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意易知AC2=4S1，BC2=4S2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴AB2=S，
∴S=4S2+4S2=4(S1+S2)，
∴S1+S2=9，
∴S=4×9=36=62，
∴S=6．
故答案为6．
【分析】先求出AB2=S，再求出S=4×9=36=62，最后计算求解即可。
7．已知三角形的两边长分别为13cm和15cm，第三边上的高为12cm，则此三角形的面积为
cm2．
【答案】84或24
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：①当第三边上的高在三角形内部时，如图所示，
AB=15 cm，AC=13 cm，AD=12 cm，
∵AD是△ABC的BC边上的高△ABD、△ACD是直角三角形，
∴BD2 =AB2-AD2=152-122=92 ，∴BD=9 cm，
同理可得CD=5 cm，
∴BC= BD+CD= 14 cm，
∴S△ABC= BC·AD= ×14×12=84 cm2 ；
②当第三边上的高在三角形外部时，如图所示，
AB=15 cm，AC=13 cm，AD=12 cm，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴△ABD、△ACD是直角三角形，
∴BD2=AB2-AD2=152-122=92 ，∴BD=9 cm，
同理可得CD=5 cm，
∴BC=BD-CD=9-5=4 cm，
∴S△ABC= BC·AD= ×4×12=24 cm2．
综上所述，此三角形的面积为84 cm2或24 cm2．
故答案为84或24．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，三角形的面积公式计算求解即可。
三、解答题
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若CA=28°
，求∠ACD的度数；
（2）若BC=3，AC=4，求AD的长．
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=28°，
∴∠B=62°．
由题意可知BD= BC，
∴∠BCD=∠BDC= =59°．
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-59°=31°．
（2）解：∵∠ACB= 90° ，BC=3，AC=4，
∴由勾股定理得AB2=AC2+BC2=42+32=52，∴AB=5．
∵AB=AD+BD ， BD=BC=3，
∴AD=5-3=2．
【知识点】角的运算；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=62° ，再求出 ∠BCD=∠BDC= 59°，最后计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出 AB=5 ，再计算求解即可。
9．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC=4m，BE=1m，求滑道AC的长度．
【答案】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=(x-1)m，
由题意得∠ABC= 90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即(x-1)2+42=x2，
解得x=8.5，
∴AC的长为8.5 m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理求出 (x-1)2+42=x2， 再求出 x=8.5， 最后求解即可。
10．如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，已知长方形的长AB=4米，宽BC=2.6米．现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2米，请问这辆卡车能否通过这个通道？(参考数据： ≈1.7)
【答案】解：如图，
设宽为2米的卡车能通过这个通道的最高点为M，连接OM，ON的长为卡车宽度的一半，连接MN并延长交AB于E，
过直径CD的中点O作直径CD的垂线，交AB于点F，
在Rt△MNO中，易知OM=OD= AB=2米，EF=ON=1米，
所以MN= 米．
因为 +2.6>4，
所以这辆卡车可以通过．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 OM=OD= AB=2米，EF=ON=1米， 再利用勾股定理求出MN的值，最后求解即可。
11．一艘轮船从A港沿南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的距离是60km．
（1）若该轮船的速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）C岛在A港的什么方向？
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，即602+BD2= 1002 ，
∴BD= 80 km．
∴CD= BC-BD= 125-80=45 km．
在Rt△ACD中，AC2 =CD2 +AD2 =452+602=752，
∴AC= 75 km．
75÷25= 3(h)．
答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
（2）解：∵ AB2+AC2= 1002 +752=15 625， BC2=1252=15625，
∴AB2+AC2=BC2．
∴∠BAC= 90°．
∴∠NAC= 180°-90°-48°=42°．
∴C岛在A港的北偏西42°的方向上．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先求出 BD= 80 km ，再求出CD=45km，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 AB2+AC2=BC2 ，再求出 ∠BAC= 90° ，最后计算求解即可。
12．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．
（1）试判断△CHB是不是直角三角形，并说明理由；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米．
【答案】（1）解：△CHB是直角三角形．
理由：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，
BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形．
（2）解：设AC=x千米，
则AB=x千米，AH=(x-0.9)千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得，AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，∴AC=1.25千米，
1.25-1.2=0.05(千米)．
答：新路CH比原路CA短0.05千米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先求出 CH2+BH2=BC2， 再证明求解即可；
（2）根据题意利用勾股定理求出 x2=(x-0.9)2+1.22， 再解方程求出 x=1.25， 最后计算求解即可。
13．图①是超市的购物车，图②为其侧面示意图，测得支架AC=24 cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离．(结果保留整数)
【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离，
在△ABC中，AC=24cm，CB= 18cm ，AB=30 cm，
∴AC2+CB2=242+182=900，AB2=302=900，
∴AC2+BC2 =AB'，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB= 90°，
∵S△ABC= AC·BC= CE·AB，
∴AC·BC=CE·AB，即24×18=CE×30，
∴CE= 14.4≈14 cm．
答：点C到AB的距离约为14cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出 AC2+BC2 =AB'， 再求出 △ABC为直角三角形，∠ACB= 90°， 最后利用三角形的面积公式求解即可。
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