人教A版（2019）必修第二册《10.1 随机事件与概率》同步练习
一、单选题（本大题共12小题，共72分）
1．将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁四位同学竞选数学课代表和化学课代表每科课代表只能由一人担任，且同一个人不能任两科课代表，则甲、丙竞选成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2016高二上·梅里斯达斡尔族期中）将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是（ ）
A． B． C． D．97
5．（2016高一上·德州期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
6．（2020·吉林模拟）2013年5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是 ， ， ， ， ， ．现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．恰有一个红球与恰有两个红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有个白球
D．至少有一个红球与都是红球
8．某校高一共有20个班，编号为01，02，…，20，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（1）班被抽到的可能性为，高一（2）班被抽到的可能性为，则（ ）
A． B．
C． D．
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1个黑球与恰有2个黑球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球
D．至多有一个黑球与都是黑球
10．若将一颗质地均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和小于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高一上·海安期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．从分别写有1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，连续抽取4次，则恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共33分）
13．现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .
14．（2022高二下·湖州期中）随着第二十四届冬奥会在北京和张家口成功举办，冬季运动项目在我国迅速发展．调查发现 两市擅长滑雪的人分别占全市人口的 ，这两市的人口数之比为 ．现从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为
15．甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，两人对成平局的概率为0.25，则甲不输的概率为 .
16．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率为 ．
17．（2021高二下·湖南月考）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是 .
18．随机投掷三枚正方体骰子，则其中有两枚骰子出现点数之和为7的概率为 .
三、多选题（本大题共4小题，共20分）
19．（2021·龙岩模拟）一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有（ ）
A．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是
B．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是
C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
20．（2021高一下·惠州期末）如图是一个古典概型的样本空间 和事件 和 ，其中 ， ， ， ，下列运算结果，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
21．若，为互斥事件，，分别表示事件，发生的概率，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2020高一下·烟台期末）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
四、解答题（本大题共5小题，共25分）
23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1、抽奖方案有以下两种：方案，从装有1个红球、2个白球仅颜色不同的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案，从装有2个红、1个白球仅颜色不同的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.2.抽奖条件是：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案抽奖一；满足150元，可根据方案抽奖例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案抽奖三次或方案抽奖两次或方案，各抽奖一次已知顾客在该商场购买商品的金额为250元．
（1）若顾客只选择根据方案进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
（2）当若顾客采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0元除外．
24．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期单位：天
人 数 60岁及以上 2 5 8 7 5 2 1
60岁以下 0 2 2 4 9 2 1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
25．（2021高一下·常州期末）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；
（2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件 为什么
（3）这种游戏规则公平吗 试说明理由．
26．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数．写出：
（1）这个试验的样本空间；
（2）这个试验的结果的个数；
（3）指出事件的含义．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数 ，
最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：
取最小点为1，最大点为4，另外1个点数为2，3，则包含的基本事件个数为 ；另外1个点数为1，4，则包含的基本事件个数为 ，共18个基本事件；
同理："取点最小点为2，最大点为5"与"取点最小点为3，最大点为6"包含的基本事件均为18
则最大点数与最小点数之差为3的概率是： ．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合求概率公式与分类加法计数原理，进而得出最大点数与最小点数之差为3的概率。
2．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】包括的基本事件为：
(甲，乙)、(乙，甲)、(甲，丙)、(丙，甲)，(甲，丁)(丁，甲)、(乙，丙)(丙，乙)、(乙，丁)、(丁，乙)(丙，丁)、(丁，丙)，共12个，
甲、丙竞选成功包括的基本事件为：
(甲，丙)、(丙，甲)，共2个，
故甲、丙竞选成功的概率为
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出甲、丙竞选成功的概率。
3．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件 表示“男生甲被选中”，事件 表示“女生乙被选中”，
则 ， ，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率。
4．【答案】A
【知识点】概率的基本性质
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件由分步计数原理知有6×6=36种结果，
满足条件的事件是向上点数之和是5，列举出结果包括（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）共有4种结果，
∴由古典概型公式得到P==，
故选A．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件由分步计数原理知有6×6种结果，满足条件的事件是向上点数之和是5，列举出结果，根据古典概型公式得到结果．
5．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确
对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D不正确
故选：C．
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意，从6对数据中选出两对，共有 种不同的选法，
其中符合题意取出4个素数的和大于100的有 和 ， 和 ， 和 ，共有3种不同的选法，
所以取出4个素数的和大于100的概率为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意先找出符合题意的所有基本事件，再找出所求事件中所包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
在 中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，A符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，B不符合题意；
在 中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，C不符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而找出互斥而不对立的事件。
8．【答案】C
【知识点】概率的意义；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由抽签法特征知：每个班被抽到的可能性均相等，则
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合抽签法中可能性相等的特征，进而结合古典概型求概率公式，从而得出a，b的值。
9．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，进而得出互斥而不对立的两个事件。
10．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具 ，先后抛掷两次，基本事件总数 ，
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有6个，分别为：
， ， ， ， ， ，
出现向上的点数之和小于10的概率是： ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出出现向上的点数之和小于10的概率。
11．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，
满足条件的事件是点数之和是3的倍数但不是2的倍数，有 ， ， ， ， ， 共6种结果，
根据古典概型概率公式得到 ，
故答案为：C。
【分析】由题意知本题是一个古典概型，再利用古典概型求概率公式结合已知条件，进而求出点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率。
12．【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】 每次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为 ，
恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率。
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由于每位同学参加各个小组的可能性相同，
故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为 ，
故答案为
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率。
14．【答案】0.054
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，设这两市的人口数分别为4t，6t，则两市擅长滑雪的人口数分别为4t×6%，6t×%，
则从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为
故答案为：0.054
【分析】分别设这两市的人口数分别为4t，6t，再计算得两市擅长滑雪的人口数，进而结合古典概型的计算公式求得答案.
15．【答案】0.55
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率
故答案为0.55
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式，进而得出甲不输的概率。
16．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，
基本事件总数 ，
按4位女生和2位男生组成课外活动小组包含的基本事件个数 ，
按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率。
17．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；概率的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】所求概率 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合对立事件求概率公式结合古典概型求概率公式，进而求出从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率。
18．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】随机投掷三枚正方体骰子共有 种可能，考虑 ；
投掷三枚正方体骰子，有两枚骰子出现1和6的可能有 种，
分为 种可能，
其中 重复出现；
同理投掷三枚正方体骰子，有2粒骰子出现2和5的可能与有两枚骰子出现3和4的可能均为30种，
所以投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现点数之和为7的有 种可能
所以所求概率为
故答案为
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出有两枚骰子出现点数之和为7的概率。
19．【答案】B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于 ，总事件数是 ，摸出的球均为红球的事件数为 ，所以摸出的球均为红球的概率是 ，A不符合题意；
对于 ，总事件数是 ，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为 ，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是 ，B符合题意；
对于 ，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为 ；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为 ．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 ，C符合题意；
对于 ，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为 ，②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为 ．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 ，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】运用古典概型可判断选项A，B；对于C，可分为：①第一次摸出红球，第二次摸出白球；②第一次摸出白球，第二次摸出红球。求两种情况概率和即可。对于 ，同C，分为①第一次摸出红球，第二次摸出白球； ②第一次摸出白球，第二次摸出红球。
20．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A：∵ ，
∴ ．A符合题意；
对于B： ，B符合题意；
对于C： ，C符合题意；
对于D：∵ ，∴ ；D不符合题意。
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式，对立事件求概率公式，从而结合韦恩图找出正确的选项。
21．【答案】B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；样本点与有限样本空间
【解析】【解答】 ， 为互斥事件， ， 分别表示事件 ， 发生的概率，
， ，
A不符合题意，B符合题意，C不符合题意，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和交事件求概率公式，进而得出说法正确的选项。
22．【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A符合题意；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B符合题意；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不符合题意；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.
23．【答案】（1）解：记甲袋中红球是r，白球分别为 ，
由题意得顾客A可以从甲袋中先后摸出2个球，其所有等可能出现的结果为：
（r，r），（r， ），（r， ），（ ，r），（ ， ），（ ， ），（ ，r），（ ， ），（ ， ）共9种，
其中结果（r， ），（r， ），（ ，r），（ ，r）可获奖金15元，
所以顾客A所获奖金为15元的概率为 ．
（2）解：由题意的顾客A可以根据方案a抽奖两次或根据方案a，b各抽奖一次．
由（1）知顾客A根据方案a抽奖两次所获奖金及其概率如下表：
所获奖金（元） 0 15 30
概率
记乙袋中红球分别是R1，R2，白球W
则顾客A根据方案a，b各抽奖一次的所有等可能出现的结果为：
（r，R1），（r，R2），（r，W），（ ，R1），（ ，R2），（ ，W），（ ，R1），（ ，R2），（ ，W）共9种
其中结果（r，R1），（r，R2）可获奖金25元．结果（r，W）可获奖金15元，
（ ，R1），（ ，R2），（ ，W），（ ，R1），（ ，R2）可获奖金10元，其余可获奖金0元，
所以顾客A根据方案a，b各抽奖一次所获奖金及其概率如下表：
所获奖金（元） 0 10 15 25
概率
由此可知顾客A最有可能获得的奖金数为15元．
【知识点】概率的意义；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出其所获奖金为15元的概率。
（2） 利用已知条件结合列举法得出顾客A根据方案a，b各抽奖一次的所有等可能出现的结果，再利用古典概型求概率公式得出顾客A根据方案a，b各抽奖一次所获奖金及其概率，进而得出顾客A最有可能获得的奖金数。
24．【答案】（1）解：调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有 人
（2）解：50名患者的平均潜伏期为：
（天）
（3）解：样本潜伏期超过10天的患者共六人，
其中潜伏期在10～12天的四人编号为：1，2，3，4，
潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：
1，2；1，3； 1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6．
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，
所以这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率 ．
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而估计出该地区500名患者中60岁以下的人数。
（2）利用已知条件结合频率分布表得出频率分布直方图，再结合频率分布直方图求平均数公式，进而计算出50名患者的平均潜伏期。
（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率。
25．【答案】（1）易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等.
事件A包含的样本点共4个：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
所以P(A)=0.25
（2）B与C不是互斥事件
理由：因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次
（3）这种游戏规则公平.理由如下：
和为偶数的样本点有：(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共8个，
所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率
【解析】【分析】 (1)易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等，事件A包含的样本点共4个，由此能求出P(A)的值.
(2)由事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次，B与C不是互斥事件.
(3)甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.
26．【答案】（1）解：这个试验的样本空间 为
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
（2）解：这个试验的结果的个数为36
（3）解：事件 的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1) 利用已知条件结合列举法得出这个试验的样本空间 。
（2）利用（1）得出这个试验的结果的个数。
（3）利用已知条件解释出事件A的含义。
1 / 1人教A版（2019）必修第二册《10.1 随机事件与概率》同步练习
一、单选题（本大题共12小题，共72分）
1．将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数 ，
最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：
取最小点为1，最大点为4，另外1个点数为2，3，则包含的基本事件个数为 ；另外1个点数为1，4，则包含的基本事件个数为 ，共18个基本事件；
同理："取点最小点为2，最大点为5"与"取点最小点为3，最大点为6"包含的基本事件均为18
则最大点数与最小点数之差为3的概率是： ．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合求概率公式与分类加法计数原理，进而得出最大点数与最小点数之差为3的概率。
2．甲、乙、丙、丁四位同学竞选数学课代表和化学课代表每科课代表只能由一人担任，且同一个人不能任两科课代表，则甲、丙竞选成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】包括的基本事件为：
(甲，乙)、(乙，甲)、(甲，丙)、(丙，甲)，(甲，丁)(丁，甲)、(乙，丙)(丙，乙)、(乙，丁)、(丁，乙)(丙，丁)、(丁，丙)，共12个，
甲、丙竞选成功包括的基本事件为：
(甲，丙)、(丙，甲)，共2个，
故甲、丙竞选成功的概率为
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出甲、丙竞选成功的概率。
3．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件 表示“男生甲被选中”，事件 表示“女生乙被选中”，
则 ， ，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率。
4．（2016高二上·梅里斯达斡尔族期中）将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是（ ）
A． B． C． D．97
【答案】A
【知识点】概率的基本性质
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件由分步计数原理知有6×6=36种结果，
满足条件的事件是向上点数之和是5，列举出结果包括（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）共有4种结果，
∴由古典概型公式得到P==，
故选A．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件由分步计数原理知有6×6种结果，满足条件的事件是向上点数之和是5，列举出结果，根据古典概型公式得到结果．
5．（2016高一上·德州期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确
对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D不正确
故选：C．
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
6．（2020·吉林模拟）2013年5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是 ， ， ， ， ， ．现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意，从6对数据中选出两对，共有 种不同的选法，
其中符合题意取出4个素数的和大于100的有 和 ， 和 ， 和 ，共有3种不同的选法，
所以取出4个素数的和大于100的概率为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意先找出符合题意的所有基本事件，再找出所求事件中所包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
7．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．恰有一个红球与恰有两个红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有个白球
D．至少有一个红球与都是红球
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
在 中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，A符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，B不符合题意；
在 中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，C不符合题意；
在 中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而找出互斥而不对立的事件。
8．某校高一共有20个班，编号为01，02，…，20，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（1）班被抽到的可能性为，高一（2）班被抽到的可能性为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】概率的意义；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由抽签法特征知：每个班被抽到的可能性均相等，则
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合抽签法中可能性相等的特征，进而结合古典概型求概率公式，从而得出a，b的值。
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1个黑球与恰有2个黑球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球
D．至多有一个黑球与都是黑球
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，进而得出互斥而不对立的两个事件。
10．若将一颗质地均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和小于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具 ，先后抛掷两次，基本事件总数 ，
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有6个，分别为：
， ， ， ， ， ，
出现向上的点数之和小于10的概率是： ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出出现向上的点数之和小于10的概率。
11．（2021高一上·海安期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，
满足条件的事件是点数之和是3的倍数但不是2的倍数，有 ， ， ， ， ， 共6种结果，
根据古典概型概率公式得到 ，
故答案为：C。
【分析】由题意知本题是一个古典概型，再利用古典概型求概率公式结合已知条件，进而求出点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率。
12．从分别写有1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，连续抽取4次，则恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】 每次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为 ，
恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出恰好有2次抽到的卡片上的数字为奇数的概率。
二、填空题（本大题共6小题，共33分）
13．现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由于每位同学参加各个小组的可能性相同，
故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为 ，
故答案为
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率。
14．（2022高二下·湖州期中）随着第二十四届冬奥会在北京和张家口成功举办，冬季运动项目在我国迅速发展．调查发现 两市擅长滑雪的人分别占全市人口的 ，这两市的人口数之比为 ．现从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为
【答案】0.054
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，设这两市的人口数分别为4t，6t，则两市擅长滑雪的人口数分别为4t×6%，6t×%，
则从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为
故答案为：0.054
【分析】分别设这两市的人口数分别为4t，6t，再计算得两市擅长滑雪的人口数，进而结合古典概型的计算公式求得答案.
15．甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，两人对成平局的概率为0.25，则甲不输的概率为 .
【答案】0.55
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率
故答案为0.55
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式，进而得出甲不输的概率。
16．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，
基本事件总数 ，
按4位女生和2位男生组成课外活动小组包含的基本事件个数 ，
按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率。
17．（2021高二下·湖南月考）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是 .
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；概率的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】所求概率 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合对立事件求概率公式结合古典概型求概率公式，进而求出从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率。
18．随机投掷三枚正方体骰子，则其中有两枚骰子出现点数之和为7的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】随机投掷三枚正方体骰子共有 种可能，考虑 ；
投掷三枚正方体骰子，有两枚骰子出现1和6的可能有 种，
分为 种可能，
其中 重复出现；
同理投掷三枚正方体骰子，有2粒骰子出现2和5的可能与有两枚骰子出现3和4的可能均为30种，
所以投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现点数之和为7的有 种可能
所以所求概率为
故答案为
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出有两枚骰子出现点数之和为7的概率。
三、多选题（本大题共4小题，共20分）
19．（2021·龙岩模拟）一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有（ ）
A．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是
B．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是
C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
【答案】B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于 ，总事件数是 ，摸出的球均为红球的事件数为 ，所以摸出的球均为红球的概率是 ，A不符合题意；
对于 ，总事件数是 ，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为 ，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是 ，B符合题意；
对于 ，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为 ；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为 ．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 ，C符合题意；
对于 ，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为 ，②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为 ．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 ，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】运用古典概型可判断选项A，B；对于C，可分为：①第一次摸出红球，第二次摸出白球；②第一次摸出白球，第二次摸出红球。求两种情况概率和即可。对于 ，同C，分为①第一次摸出红球，第二次摸出白球； ②第一次摸出白球，第二次摸出红球。
20．（2021高一下·惠州期末）如图是一个古典概型的样本空间 和事件 和 ，其中 ， ， ， ，下列运算结果，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A：∵ ，
∴ ．A符合题意；
对于B： ，B符合题意；
对于C： ，C符合题意；
对于D：∵ ，∴ ；D不符合题意。
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式，对立事件求概率公式，从而结合韦恩图找出正确的选项。
21．若，为互斥事件，，分别表示事件，发生的概率，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；样本点与有限样本空间
【解析】【解答】 ， 为互斥事件， ， 分别表示事件 ， 发生的概率，
， ，
A不符合题意，B符合题意，C不符合题意，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和交事件求概率公式，进而得出说法正确的选项。
22．（2020高一下·烟台期末）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A符合题意；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B符合题意；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不符合题意；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.
四、解答题（本大题共5小题，共25分）
23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1、抽奖方案有以下两种：方案，从装有1个红球、2个白球仅颜色不同的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案，从装有2个红、1个白球仅颜色不同的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.2.抽奖条件是：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案抽奖一；满足150元，可根据方案抽奖例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案抽奖三次或方案抽奖两次或方案，各抽奖一次已知顾客在该商场购买商品的金额为250元．
（1）若顾客只选择根据方案进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
（2）当若顾客采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0元除外．
【答案】（1）解：记甲袋中红球是r，白球分别为 ，
由题意得顾客A可以从甲袋中先后摸出2个球，其所有等可能出现的结果为：
（r，r），（r， ），（r， ），（ ，r），（ ， ），（ ， ），（ ，r），（ ， ），（ ， ）共9种，
其中结果（r， ），（r， ），（ ，r），（ ，r）可获奖金15元，
所以顾客A所获奖金为15元的概率为 ．
（2）解：由题意的顾客A可以根据方案a抽奖两次或根据方案a，b各抽奖一次．
由（1）知顾客A根据方案a抽奖两次所获奖金及其概率如下表：
所获奖金（元） 0 15 30
概率
记乙袋中红球分别是R1，R2，白球W
则顾客A根据方案a，b各抽奖一次的所有等可能出现的结果为：
（r，R1），（r，R2），（r，W），（ ，R1），（ ，R2），（ ，W），（ ，R1），（ ，R2），（ ，W）共9种
其中结果（r，R1），（r，R2）可获奖金25元．结果（r，W）可获奖金15元，
（ ，R1），（ ，R2），（ ，W），（ ，R1），（ ，R2）可获奖金10元，其余可获奖金0元，
所以顾客A根据方案a，b各抽奖一次所获奖金及其概率如下表：
所获奖金（元） 0 10 15 25
概率
由此可知顾客A最有可能获得的奖金数为15元．
【知识点】概率的意义；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出其所获奖金为15元的概率。
（2） 利用已知条件结合列举法得出顾客A根据方案a，b各抽奖一次的所有等可能出现的结果，再利用古典概型求概率公式得出顾客A根据方案a，b各抽奖一次所获奖金及其概率，进而得出顾客A最有可能获得的奖金数。
24．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期单位：天
人 数 60岁及以上 2 5 8 7 5 2 1
60岁以下 0 2 2 4 9 2 1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【答案】（1）解：调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有 人
（2）解：50名患者的平均潜伏期为：
（天）
（3）解：样本潜伏期超过10天的患者共六人，
其中潜伏期在10～12天的四人编号为：1，2，3，4，
潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：
1，2；1，3； 1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6．
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，
所以这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率 ．
【知识点】频率分布表；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而估计出该地区500名患者中60岁以下的人数。
（2）利用已知条件结合频率分布表得出频率分布直方图，再结合频率分布直方图求平均数公式，进而计算出50名患者的平均潜伏期。
（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率。
25．（2021高一下·常州期末）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)；
（2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件 为什么
（3）这种游戏规则公平吗 试说明理由．
【答案】（1）易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等.
事件A包含的样本点共4个：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
所以P(A)=0.25
（2）B与C不是互斥事件
理由：因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次
（3）这种游戏规则公平.理由如下：
和为偶数的样本点有：(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共8个，
所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率
【解析】【分析】 (1)易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等，事件A包含的样本点共4个，由此能求出P(A)的值.
(2)由事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次，B与C不是互斥事件.
(3)甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平.
26．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数．写出：
（1）这个试验的样本空间；
（2）这个试验的结果的个数；
（3）指出事件的含义．
【答案】（1）解：这个试验的样本空间 为
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
（2）解：这个试验的结果的个数为36
（3）解：事件 的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1) 利用已知条件结合列举法得出这个试验的样本空间 。
（2）利用（1）得出这个试验的结果的个数。
（3）利用已知条件解释出事件A的含义。
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