2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.1　平面向量的概念（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
6.1.1　向量的实际背景与概念
6.1.2　向量的几何表示　
6.1.3　相等向量与共线向量
基础过关练
题组一　向量的概念及几何表示
1.给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是(　　)
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.(2023山东济宁段考)给出下列命题:(1)零向量没有方向;(2)单位向量都相等;(3)向量就是有向线段;(4)若四边形ABCD为平行四边形,则.其中正确命题的个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
3.(2022河北衡水开学考试)如图,四边形ABCD是等腰梯形,则下列关系中正确的是(　　)
A.|
C.
4.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=　　　　.
5.中国象棋的半个棋盘如图所示,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,也可以跳到A2处,用向量表示马走了“一步”.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
6.如图,某人从点A出发,向西走了200 m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的方向行走了100 m到达C点,最后又改变方向,向东走了200 m到达D点,发现D点在B点的正北方.(图中小方格的边长为100 m)
(1)作出;
(2)求的模.
题组二　相等向量与共线向量
7.(2023甘肃兰州期末)下列命题中,正确的个数是(　　)
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
②平行且模相等的两个向量是相等向量;
③若a≠b,则|a|≠|b|;
④两个向量相等,则它们的起点与终点都相同.
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
8.(2022福建福州期中)在四边形ABCD中,||且,则四边形ABCD的形状是(　　)
A.正方形　　　　B.矩形　　　　C.菱形　　　　D.等腰梯形
9.(2022河南周口月考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于O,若,则下列各组向量相等的是(　　)
A.C.
10.(2023河南校级联考)已知A,B,C,D为平面上四点,则“”是“AB∥CD”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.(多选题)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,下列关系中正确的是(　　)
A.C A　　　　B.A∩B={a}
C.C B　　　　D.(A∩B) {a}
12.设点O是正三角形ABC的中心,则向量是(　　)
A.相等向量　　　　B.模相等的向量
C.共起点的向量　　　　D.共线向量
13.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列关系中正确的是　　　　(填序号).
①||;②;③;④.
14.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边的中点.
(1)写出图中与向量长度相等的向量;
(2)写出图中与向量相等的向量;
(3)分别写出图中与向量共线的向量.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 2.A 3.B 7.D 8.C 9.C 10.B 11.AC
12.B
1.D　
2.A　零向量的方向是任意的;单位向量的方向不一定相同,故单位向量不一定都相等;有向线段只是向量的一种表示形式,向量是可以自由移动的,有向线段不可以,两者不等同;在 ABCD中,.故选A.
3.B　由题意知的大小相等,但方向不同,所以A错误,B正确;向量不能比较大小,所以C,D错误.故选B.
4.答案　
解析　由正方形ABCD的边长为2,得其对角线长为2,
所以|.
5.解析　如图所示.
6.解析　(1)因为D点在C点的正东方、在B点的正北方,所以CD⊥BD,
又||=200 m,| m,
所以|=300 m,
由此作出如图所示.
(2)由题意可知,CD∥AB且CD=AB,所以四边形ABCD是平行四边形,
则| m,即的模为100 m.
7.D　根据相等向量的定义可知①正确;两个向量方向相反且模相等时不是相等向量,②错误;存在长度相等,方向不同的两个向量,它们不是相等向量,但模相等,③错误;向量可以在平面内自由移动,④错误.故选D.
8.C　由,可得四边形ABCD是平行四边形,
又||,所以四边形ABCD是菱形.
故选C.
9.C　由,可得四边形ABCD为平行四边形,
则.故选C.
10.B　若,则A,B,C,D四点共线或AB∥CD;若AB∥CD,则.
故“”是“AB∥CD”的必要不充分条件.
故选B.
11.AC　因为A∩B包含与a长度相等且方向相反的向量,所以B,D中的关系错误.易知A,C正确.
12.B　因为O是正三角形ABC的中心,所以||,所以向量是模相等的向量,但方向不同.故选B.
13.答案　①②④
解析　∵四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,∴AB=EF,即||,①正确;
由题意知,②正确;
若,则BD∥EH,∴∠BDC=∠DEH,而当四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的正方形时,tan∠BDC=1,tan∠DEH=,∠BDC≠∠DEH,③错误;
∵D,C,E三点共线,∴,④正确.
故答案为①②④.
14.解析　(1)与.
(2)与.
(3)与;与.
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