2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.2.1 向量的加法运算 6.2.2向量的减法运算（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算　　6.2.2　向量的减法运算
基础过关练
题组一　向量的加法运算
1.在平行四边形ABCD中,等于(　　)
A.
2.(多选题)(2021江苏怀仁中学月考)已知点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是(　　)
A.　　　　
B.=0
C.　　　　
D.
3.人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(　　)
A.v1-v2　　　　B.v1+v2
C.|v1|-|v2|　　　　D.
4.(2022浙江绍兴月考)已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,E为斜边BC上一动点,则||的最小值为(　　)
A. C.1　　　　D.
5.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai或bj表示)
6.一艘小船在静水中的航行速度的大小为20 m/min,一小河的水流速度的大小为10 m/min,如果船从河岸出发,沿垂直于水流的航线到达对岸需3小时,求小船的实际航行速度和航程.
题组二　向量的减法运算
7.(2022陕西西安第三十八中学月考)在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,则=(　　)
A.
8.如图所示,A,B是单位圆O上的动点,则||的最大值为(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
9.若||=5,则||的取值范围是(　　)
A.[3,8]　　　　B.(3,8)　　　　C.[3,13]　　　　D.(3,13)
10.(2022北京西城期末)如图所示,在正六边形ABCDEF中,记向量=a,=b,则向量=　　　　.(用a,b表示)
题组三　向量加、减法的综合运算及应用
11.(多选题)化简以下各式,结果一定为0的有(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
12.在四边形ABCD中,若,且||,则四边形ABCD为(　　)
A.平行四边形　　　　B.菱形 C.矩形　　　　D.正方形
13.(2022浙江丽水月考)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则=　　　　.
14.(2022甘肃天水一中开学考试)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=　　　　.
15.已知向量a,b,c的模分别为3,4,5,则|a-b+c|的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
16.(2023浙江杭州期中)如图,在平面直角坐标系Oxy中,两个非零向量与x轴的非负半轴的夹角分别为,向量=0,则与x轴的非负半轴的夹角的取值范围是　　　　.
17.如图,已知向量a,b,c,d,e.
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用c,d表示.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 2.ABC 3.B 4.A 7.D 8.D 9.C 11.BCD
12.C
1.A　,故选A.
2.ABC　,故A正确;=0,故B正确;因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,所以DE AF,所以四边形ADEF为平行四边形,所以,故C正确;因为F为CA的中点,所以,所以,故D错误.故选ABC.
3.B　速度是既有大小又有方向的量,由向量的加法法则可知,逆风行驶的速度为v1+v2.
故选B.
4.A　易得||,显然当E为斜边BC的中点时,AE最短,此时AE⊥BC,AE=,即||的最小值为.故选A.
5.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7
=
=(
=
==b6(或-b2).
6.解析　如图,设水流的速度为,小船航行的速度为,以OA,OB为邻边作 AOBC,则表示船实际航行的速度,
由题意可得||=20,OC⊥OA,
则|,∠BOC=30°,则∠AOB=120°.
所以船的实际航行速度的大小为10 m/min,方向与水流速度间的夹角为120°,
该船的实际航程是10×3×60=1 800(m).
7.D　易知-,所以.故选D.
8.D　||,因为A,B是单位圆上的动点,所以AB的长度最大为2,
所以||的最大值为2,此时方向相反.
故选D.
9.C　,
当同向共线时,||=3;
当反向共线时,||=13;
当不共线时,由||,可得3<||<13.
综上,||的取值范围是[3,13].
10.答案　b-a
解析　在正六边形ABCDEF中,易知,连接BE,则,所以=b-a.
11.BCD　;
=0;
=0;
=0.
故选BCD.
12.C　,所以四边形ABCD是平行四边形,由||,可得||,所以平行四边形ABCD的对角线相等,因此该四边形是矩形,故选C.
13.答案　
解析　如图,设=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a-b,=a+b.
因为|a|=|b|=|a-b|,所以△OAB是等边三角形,四边形OACB是菱形,所以|a+b|=||a|,
所以.
14.答案　4
解析　设=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示,则||=|a-b|,||=|a+b|,∵(-1)2=42,即||2,∴△OAB是直角三角形,∠AOB=90°,∴ OACB是矩形,
∴||=4,即|a+b|=4.
15.答案　12;0
解析　当a,-b,c同向时,|a-b+c|最大,
所以|a-b+c|max=|a|+|-b|+|c|=3+4+5=12;
当a,-b,c首尾相连时,表示它们的有向线段可构成三角形,a-b+c=0,此时|a-b+c|最小,为0.
16.答案　
解析　由题意得).
如图,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,连接OD,则由向量加法的几何意义得,所以与x轴的非负半轴的夹角的取值介于-和-与x轴的非负半轴的夹角之间.由题意得,-与x轴的非负半轴的夹角分别为,故与x轴的非负半轴的夹角的取值范围为.
17.解析　(1)=d+e+a.
(2)=-c-b.
(3)=e+a+b.
(4)=-d-c.
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