2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.2.3　向量的数乘运算（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
6.2.3　向量的数乘运算
基础过关练
题组一　向量的数乘运算
1.若a=-b(b≠0),则(　　)
A.a和b方向相同,|a|=2|b|
B.a和b方向相同,|b|=2|a|
C.a和b方向相反,|a|=2|b|
D.a和b方向相反,|b|=2|a|
2.已知λ∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.|λa|=λ|a|　　　　B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ||a|　　　　D.|λa|>0
3.(2021河北邯郸九校期中联考)设m是非零向量,μ是非零实数,则下列结论中正确的是(　　)
A.m与μm的方向相反
B.m与μ2m的方向相同
C.|-μm|≥|m|
D.|-μm|≥|μ|m
4.(多选题)如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列关系中正确的是(　　)
A. C.
题组二　向量的线性运算
5.(2022辽宁辽阳月考)在△ABC中,,则=(　　)
A.
C.
6.(2022山西运城期中)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,点E在线段BD上,且,则=(　　)
A.
C.
7.(2023山西长治月考)如图,已知平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,AC与BE相交于点F,若,则(　　)
A.x=
C.x=
8.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=　　　　.
9.(2022山西怀仁月考)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若=0,则=　　　　.
10.(2022湖北武汉期中)如图,在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取一点D,使DB=OB,连接OC,DC,DC与OA交于点E,设=a,=b,用a,b分别表示向量.
题组三　向量共线定理及其应用
11.(2022辽宁省实验中学月考)“a=xb(x∈R)”是“向量a,b共线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2022北京中国科学院附属实验学校月考)在△ABC中,点P满足 ,则(　　)
A.点P不在直线BC上　　　　
B.点P在CB的延长线上
C.点P在线段BC上　　　　
D.点P在BC的延长线上
13.(2022广西玉林月考)已知向量a,b不共线,且=a+4b,=-a+9b,=3a-b,则一定共线的是(　　)
A.A,B,D　　　　B.A,B,C C.B,C,D　　　　D.A,C,D
14.(2022江苏盐城月考)设a,b是两个不共线的向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相同,则k=　　　　.
15.(2022黑龙江双鸭山期末)已知a,b是两个不共线的向量.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)当ka+b与a+kb共线时,求实数k的值.
16.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,且=ke1-4e2,=-e1+ke2,=e1+2e2.
(1)若方向相反,求实数k的值;
(2)若A,C,D三点共线,求实数k的值.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(2023甘肃兰州一中月考)在△ABC中,点Q为线段AC上靠近点A的三等分点,点P为线段BQ上靠近点B的三等分点,则=(　　)
A.C.
2.(2023福建福州期中)数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,在“赵爽弦图”中,若=a,=b,,则=(　　)
A.a+b　　 　B.a+b C.a+b 　 D.a+b
3.(2022安徽六安月考)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.下列关系中正确的是(　　)
A.
C.
题组二　向量共线定理及其应用
4.(2022湖南岳阳第一中学模拟)在平面四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=135°,∠BCD=90°,,则λ=(　　)
A.1或+2
5.(2023河南顶级名校月考)在△ABC中,点D在BC上,且满足,点E为AD上任意一点(不含端点),若实数x,y满足,则的最小值为(　　)
A.2
6.(2021浙江杭州学军中学期中)设P为△ABC所在平面内一点,且满足3(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为　　　　.
7.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设=a,=b.
(1)用向量a与b表示向量;
(2)若,求证:C,D,E三点共线.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 2.C 3.B 4.ABC 5.B 6.B 7.A 11.A
12.B 13.A
1.D　∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|=|b|,
∴|b|=2|a|.故选D.
2.C　当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,故A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,故B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,故D错误.故选C.
3.B　当μ>0时,m与μm的方向相同,当μ<0时,m与μm的方向相反,A错误;由于μ2>0,故m与μ2m的方向相同,B正确;|-μm|=|μ||m|,由于|μ|与1的大小关系不确定,故|-μm|与|m|的大小关系不确定,C错误;|μ|m是向量,而|-μm|表示实数,两者不能比较大小,D错误.
4.ABC　由题图可知方向相同,且||,故,A,B正确;
方向相反,且||,故,C正确;
大小相等,方向相反,故,D错误.
故选ABC.
5.B　∵,∴,
∵,∴.
又,
∴.
故选B.
6.B　由,可得E为OD的中点,所以.故选B.
7.A　∵AD∥BC,E为边AD的中点,
∴,∴AF=AC,
∴,
又,∴,
∵不共线,
∴x-=0,
解得x=.
故选A.
8.答案　4b-3a
解析　由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,即x+3a-4b=0,
所以x=4b-3a.
9.答案　2
解析　∵=0,∴),即,∴=2.
10.解析　∵AC=BA,∴A是BC的中点,
∴),
∴=2a-b.
∴=2a-b-b=2a-b.
11.A　若a=xb,则向量a,b共线,充分性成立;若向量a,b共线,取b=0,a≠0,则不存在x∈R,使a=xb,必要性不成立.故选A.
12.B　∵,∴,即,∴B,P,C三点共线,且点P在CB的延长线上.故选B.
13.A　因为=a+4b,=-a+9b,=3a-b,所以=2a+8b=2(a+4b)=2,故共线,又有公共点B,所以A,B,D三点共线,故选A.
14.答案　4
解析　由题意可知存在正实数λ使ka+2b=λ(8a+kb),即(k-8λ)a=(kλ-2)b,
因为a,b不共线,
所以(舍)或
故答案为4.
15.解析　(1)证明:由题意得=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,∴共线,又有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使得ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b,
∵a,b不共线,
∴k-λ=λk-1=0,
∴k2-1=0,解得k=±1.
16.解析　(1)由题意可得存在λ<0,使得,即ke1-4e2=λ(-e1+ke2),整理得(k+λ)e1=(kλ+4)e2,又e1,e2是不共线向量,所以(舍)或所以k的值为2.
(2)=(k+1)e1-2e2,由A,C,D三点共线,得存在μ∈R,使得,即(k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2),整理,得(k+μ+1)e1=(kμ+2)e2,又e1,e2是不共线向量,所以故k的值为1或-2.
能力提升练
1.B 2.C 3.A 4.D 5.D
1.B　.故选B.
2.C　∵,∴,
整理得,即a+b.故选C.
3.A　,故A正确;
,故B错误;
,故C错误;
,若,则=0,不合题意,故D错误.故选A.
4.D　由,所以,即BC∥AD.又∠BCD=90°,所以四边形ABCD是直角梯形.如图,作AE⊥BC于E,则四边形AECD是矩形,所以EC=AD=1,由∠BAD=135°,得∠ABC=45°.又AB=2,所以AE=BE=,所以BC=+1,即,又,所以λ-1=+1,解得λ=+2.故选D.
5.D　由题意得.
由A,E,D三点共线可得 λ∈R,使,
即),即,
所以(λ-4y),则λ-4y=x-(1-λ)=0,可得x+4y=1,易知x>0,y>0,
所以≥9+4,
当且仅当x=y时取等号.故选D.
6.答案　14
解析　由3,
可得,
令,则,且,即3,则PH∥AB,H在线段AC上,且,所以S△ABP=S△ABH,,
所以S△ABC=S△ABH=S△ABP=14.
7.解析　(1)由题可得=a,
又=b,∴=-b-a,
)
=2a+(-a+b)=a+b.
(2)证明:∵b+a+b=a+b=,∴平行,
又∵有公共点C,∴C,D,E三点共线.
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