2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.2.4　向量的数量积（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
6.2.4　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量的数量积
1.(2022广西百校联盟暨桂林质检)给出下列五个命题:
①|a|2=a2;
②=;
③(a·b)2=a2·b2;
④(a-b)2=a2-2a·b+b2;
⑤若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确命题的序号是(　　)
A.①②③　　　　B.①④
C.②④　　　　 D.②⑤
2.若e1,e2是夹角为的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b=(　　)
A.1　　　　B.-4　　　 C.-
3.( 2023北京大兴期中)在△ABC中,∠C=90°,CA=3,CB=4,,则=(　　)
A.3　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.10
题组二　向量的投影向量
4.(2023北京海淀期中)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,则a·b=(　　)
A.4　　　　B.4　　　　C.-4　　　　D.-4
5.已知|a|=3,|b|=5,设a,b的夹角为120°,则b在a上的投影向量是(　　)
A.a　　　　B.a　　 C.-a　　　　D.-a
6.(2022浙江高中联盟期中)已知O是△ABC的外心,且满足2|,则上的投影向量为(　　)
A.
C.
7.(2022上海嘉定第一中学期中)下图是由四个边长为1的正方形拼成的一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的其余各个顶点,则(i=1,2,…,7)的不同值的个数为　　　　.
题组三　向量的模和夹角
8.(2023山东日照期中)若两个单位向量a,b的夹角为,则|4a+5b|=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.7
9.(2022湖南部分学校联考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|a-b|=,则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　C.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若=-3,则cos∠DAB=　　　　.
11.(2023安徽六安舒城中学模拟)已知a,b是两个夹角为的单位向量,则|kb-a|(k∈R)的最小值为　　　　.
12.(2022辽宁辽西期中)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.
(1)求|a+b|;
(2)求向量a与a-2b的夹角.
题组四　向量的垂直
13.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则=(　　)
A.　　　　D.2
14.在△ABC中,,则△ABC一定是(　　)
A.等边三角形　　　　B.锐角三角形
C.直角三角形　　　　D.钝角三角形
15.(2022黑龙江哈尔滨第三中学期中)△ABC中,∠A=60°,AB=1,AC=2,,且,则实数λ的值为(　　)
A.
16.已知a,b为单位向量,且a⊥(a-2b),则|a+b|=　　　　.
17.已知向量e1,e2不共线,向量a=e1-e2,b=e1+2e2,c=3e1-e2.
(1)若(a+2b)∥(b+kc),求实数k的值;
(2)若e1,e2为相互垂直的单位向量,且(ta+b)⊥a,求实数t的值.
能力提升练
题组一　向量的数量积运算
1.(2022湖北新高考协作体联考)已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,D是斜边AB的中点,点P在CD上,且,则=
(　　)
A.-　　　　C.-　　　　D.4
2.(2023河南焦作期中)折扇(如图1)是具有独特风格的中国传统工艺品,炎炎夏季,手拿一把折扇,既可解暑,又有雅趣.图2中的扇形OCD为一把折扇展开后的平面图,其中∠COD=,OC=OD=1,设向量m=3,n=2,若m·n=11,则实数k的值为(　　)
　
A.1　　　　B.3　　　　C.7　　　　D.14
3.(2022山西运城高中联合体期中)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图2中正六边形ABCDEF的边长为4,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为2,若点P在正六边形的边上运动,MN为圆O的直径,则的取值范围是(　　)
　
A.[6,12]　　　　B.[6,16]
C.[8,12]　　　　D.[8,16]
题组二　向量的夹角和模
4.(2022北京西城期末)如图,AB为半圆的直径,点C为的中点,点M为线段AB上的一点(含端点A,B),若AB=2,则||的取值范围是(　　)
A.[1,3]　　　　B.[,3]
C.[3,]
5.(多选题)(2023浙江高中联盟期中)设e1,e2均为单位向量,且对任意的实数t有≤|e1+te2|恒成立,则(　　)
A.e1与e2的夹角为
B.
C.|e2-te1|的最小值为
D.|e2+t(e1-e2)|的最小值为
6.(2022浙江北斗联盟期中)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a|=2|b|,设a-b与a+b的夹角为θ,则cos θ的最小值为(　　)
A.
7.已知O为坐标原点,向量满足|)·()=0,若平面内一点P满足||=4,则||的取值范围是　　　　.
题组三　向量数量积的综合应用
8.(2023四川自贡期末)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD边上运动(含C,D点).
(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,设,求λ+μ的值;
(2)若AB=2,当=1时,求cos∠EAF的值.
9.如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知点D是AB上一点,满足,点E是CB边上一点,满足.
①当λ=时,求;
②是否存在非零实数λ,使得 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.C 8.C 9.B
13.D 14.C 15.D
1.B
2.C　由已知得e1·e2=|e1||e2|cos,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-,故选C.
3.C　如图,
由题意可得AB==5,则cos A=,
由,可得AD=,
所以|cos A=3×=6.
故选C.
4.C　由题图可得a在b上的投影向量为-b,
∴a·b=-|b|·|b|=-4.
故选C.
5.C　b在a上的投影向量为·|b|cos 120°=-a.
故选C.
6.C　设BC的中点为M,则,所以,
所以外心O与点M重合,故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
设||=x,则BC=x,cos B=,
设e为方向上的单位向量,则e=上的投影向量为||cos Be=3x·.
故选C.
7.答案　3
解析　>,
结合题图可知,|>表示(i=1,2,…,7)在上的投影向量的长度,
(i=2,5)在上的投影向量相同,
(i=1,3,6)在上的投影向量相同,
(i=4,7)在上的投影向量相同,
所以的不同值有3个.
8.C　由题意得(4a+5b)2=16a2+40a·b+25b2=16×12+40×1×1×cos+25×12=21,
所以|4a+5b|=.故选C.
9.B　∵|a-b|=,∴a2+b2-2a·b=3,即1+4-2×1×2×cos=3,∴cos=.
又∈[0,π],∴=.
故选B.
10.答案　
解析　∵,∴,
∴.
∵,
∴
=
=×4×3×cos∠DAB-×42
=-3,
∴cos∠DAB=.
11.答案　
解析　因为a,b是两个夹角为的单位向量,
所以|kb-a|2=k2|b|2+|a|2-2ka·b=k2+1-2k×1×1×,
所以|kb-a|≥,即|kb-a|的最小值为.
12.解析　(1)∵(a-3b)·(a+b)=3,
∴|a|2+a·b-3a·b-3|b|2=3,
∴4-2a·b-3=3,即a·b=-1,
故|a+b|=.
(2)设向量a与a-2b的夹角为θ,
则cos θ=,
∵|a-2b|=,
∴cos θ=,
又∵θ∈[0,π],∴θ=,即a与a-2b的夹角为.
13.D　∵a+2b与a-2b互相垂直,
∴(a+2b)·(a-2b)=0,即a2-4b2=0,∴|a|2=4|b|2,
∴|a|=2|b|,即=2.
故选D.
14.C　∵,
∴·(,
即,故=0,
即,∴CB⊥CA,
∴△ABC是直角三角形,故选C.
15.D　,
∵,
∴]·=0,
即4(1-λ)-1×2×=0,解得λ=.故选D.
16.答案　
解析　因为a,b为单位向量,且a⊥(a-2b),
所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2a·b=0,即2a·b=1,
所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+1+1=3,
所以|a+b|=.
17.解析　(1)∵a=e1-e2,b=e1+2e2,c=3e1-e2,
∴a+2b=3e1+3e2,b+kc=(1+3k)e1+(2-k)e2.
∵(a+2b)∥(b+kc),
∴由向量共线定理可得,存在实数λ,使得λ(a+2b)=b+kc,即3λe1+3λe2=(1+3k)e1+(2-k)e2,即(3λ-1-3k)e1=(2-k-3λ)e2,
∵e1,e2不共线,∴
(2)∵a=e1-e2,b=e1+2e2,
∴ta+b=(t+1)e1+(2-t)e2.
∵(ta+b)⊥a,
∴(ta+b)·a=0,
∴(t+1)+(1-2t)e1·e2+(t-2)=0.
∵e1,e2为相互垂直的单位向量,
∴e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
∴2t-1=0,
∴t=.
能力提升练
1.C 2.D 3.C 4.D 5.BD 6.B
1.C　由题意可知)·()·,
∵,∴,
∴.
由题意得AB=2,∵D是斜边AB的中点,
∴CD=,
∴.
故选C.
2.D　因为m=3,n=2,
所以m·n=(3)·(2|2=11,
因为∠COD=,OC=OD=1,
所以,
所以6+(3k+4)×+2k=11,解得k=14.
故选D.
3.C　连接PO,则)·()
·(|2-4,
当点P为正六边形ABCDEF的顶点时,||取得最大值4,
当点P为正六边形各边的中点时,||取得最小值,为4sin,
所以||∈[2,4],所以∈[8,12].
4.D　∵点C为的中点,∴|,∠CAB=,
∴|
=|
=||+1)2+1.
∵点M为线段AB上的一点(含端点A,B),
∴0≤||≤2,
∴2≤(||+1)2+1≤10,
∴||的取值范围是[].故选D.
5.BD　设e1,e2的夹角为θ,≤|e1+te2|两边平方,可得+cos θ≤t2+2tcos θ+1,即t2+2tcos θ--cos θ≥0①,由题知,不等式①对任意的实数t都成立,
所以Δ=4cos2θ+4cos θ+1≤0,即(2cos θ+1)2≤0,
则cos θ=-,又θ∈[0,π],故θ=π,故A错误;
,故B正确;
|e2-te1|=
=,当且仅当t=-时取等号,故C错误;
|e2+t(e1-e2)|=
=,当且仅当t=时取等号,
故|e2+t(e1-e2)|的最小值为,故D正确.
故选BD.
6.B　由题意得,cos θ=,
设b2=t,则a2=4b2=4t,
又|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以2a·b=5t-9,
所以|a+b|=,
则cos θ=,
因为-2|a||b|≤2a·b≤2|a||b|,所以-4t≤5t-9≤4t,即1≤t≤9,
则cos θ=,
令y=,t∈[1,9],显然y>0,则关于t的方程t2-10yt+9y=0有解,
所以Δ=100y2-36y≥0,即y≥,
当y=时,t=∈[1,9],
所以cos θ的最小值为.故选B.
7.答案　[11,13]
解析　因为||=1,
所以A,B,C三点在以O为圆心,1为半径的圆上,
因为()·()=0,
所以=0,所以BA⊥CB,
所以AC是圆O的直径,
所以,
所以||,
设的夹角为θ,θ∈[0,π],
则||
=
=,
因为θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],
所以145-24cos θ∈[121,169],
所以||∈[11,13],
即||的取值范围是[11,13].
8.解析　(1)∵E是BC的中点,点F是CD上靠近C的三等分点,
∴,
∴,
又,∴,
∵不共线,∴λ+-μ=0,∴λ=-,
故λ+μ=-.
(2)设(0≤m≤1),则,
又=0,
∴·()
=-m=-4m+2=1,
故m=.
∴
==3+2=5,
易得|,
∴cos∠EAF=.
9.解析　(1)∵,∴|,易知=2×1×cos 60°=1,则|.
(2)①当λ=时,,
∴D,E分别是边AB,BC的中点,
∴),
∴)
=
=-×1×2×cos 120°+×2×1×cos 60°+.
②假设存在非零实数λ,使得,
由,得),
∴.
∵,
∴.
∴=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)=-3λ2+2λ=0,
解得λ=或λ=0(不合题意,舍去).
故存在非零实数λ=,使得.
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