2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.3.2-6.3.4平面向量加、减、数乘运算的坐标表示（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
基础过关练
题组一　平面向量的正交分解及坐标表示
1.(多选题)下列说法中正确的有(　　)
A.相等向量的坐标相同
B.坐标系中的一个向量对应唯一的坐标
C.坐标系中的一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
2.如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2)　　　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　　　D.(3,4),(-2,-3)
3.已知点A(2 022,12),B(-1,8),将向量按向量a=(2 022,27)平移,所得到的向量的坐标是　　(　　)
A.(2 023,4)　　　　B.(-2 023,-4)
C.(15,23)　　　　D.(4 003,23)
4.已知i, j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单位向量,O为坐标原点,设=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则点A位于第　　　　象限.
题组二　平面向量加、减运算的坐标表示
5.(2022江西萍乡芦溪中学月考)若e1=(3,0),e2=(0,-1),a=e1-e2,b=(x-1,y),且a=b,则实数x,y的值分别是(　　)
A.1,4　　　　B.2,-1
C.4,1　　　　D.-1,2
6.已知2 022个向量的和为零向量,且其中一个向量的坐标为(8,15),则其余2 021个向量的和的坐标为　　　　.
7.(2022福建厦门第六中学月考)在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),则的坐标为　　　　.
8.已知=(1,0),=(1,2),=(1,-1),则点B的坐标为　　　　,的坐标为　　　　.
9.在平面直角坐标系Oxy中,已知 ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标.
题组三　平面向量数乘运算的坐标表示
10.(2023四川成都期中)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A.　　　　B.C.　　　　D.
11.(2021江苏六校联考)已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=(　　)
A.{a|a=(1,1)}　　　　 B.{a|a=(1,2)或a=(-2,-2)}
C.{a|a=(-2,-2)}　　　　D.
12.(2022广东潮州期末)在等腰直角△ABC中,∠A=90°,E为AB的中点,F为BC的中点,=λ+μ,则λ=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-1
13.(2023北京期末)根据毕达哥拉斯定理,分别以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE进行上述操作后,得如图所示的图形.若=x+y,则x+y=　　　　.
题组四　平面向量共线的坐标表示
14.(2022广东仲元中学期中)如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,那么实数k的值为(　　)
A.-3　　　　B.0　　　　C.-　　　　D.-2
15.(2022湖北武汉华中科技大学附属中学月考)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b,c-a).若p∥q,则角C的大小为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
16.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(　　)
A.k=-2　　　　B.k=C.k=1　　　　D.k=-1
17.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=||,则点P的坐标为　　　　.
18.(2023广东东莞高级中学月考)已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
19.(2022山东济宁期中)已知点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上,且||=||,求点P的坐标.
能力提升练
题组一　平面向量线性运算的坐标表示及应用
1.(2022河南部分名校质检)在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,M为BC的中点,H为△ABC的内心,且=λ+μ,则λ+μ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
2.(2022四川自贡一诊)在△ABC中,AB=6,BC=8,AB⊥BC,M是△ABC外接圆上一动点,若=λ+μ,λ,μ∈R,则λ+μ的最大值是　　(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
3.(2022湖北黄冈月考)点C在以点O为圆心的圆弧AB上移动,∠AOB=120°,若=x+y(x,y∈R),求x+y的最大值.
题组二　平面向量共线的坐标表示及应用
4.(2022山东省实验中学三诊)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
5.(2022江西九校期中联考)已知向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,则的取值范围是　　　　.
6.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
7.已知A,B,C的坐标分别为(0,0),(-1,1),(cos α,sin α),α∈(0,π).
(1)若A,B,C三点共线,求角α的值;
(2)若D(s,t),且四边形ABCD为平行四边形,求s+t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ABD 2.C 3.B 5.C 10.D 11.C 12.A 14.A
15.C 16.C
1.ABD　由向量坐标的定义可得一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.易知A,B,D正确.
2.C　由题图可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,
∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
3.B　∵A(2 022,12),B(-1,8),∴=(-2 023,-4).
∵平移后的向量的坐标不发生变化,
∴平移后的向量的坐标为(-2 023,-4).
4.答案　四
解析　由题意得A(x2+x+1,-x2+x-1).
∵x2+x+1=+>0,-x2+x-1=--<0,
∴点A位于第四象限.
5.C　由题意得a=e1-e2=(3,1),
∵a=b,∴故选C.
6.答案　(-8,-15)
解析　其余2 021个向量的和的坐标为(0,0)-(8,15)=(-8,-15).
7.答案　(-3,-5)
解析　由题意可得==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),∴=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
8.答案　(2,2);(0,3)
解析　由题意得=+=(1,0)+(1,2)=(2,2),∴点B的坐标为(2,2).
=-=(1,2)-(1,-1)=(0,3).
9.解析　解法一(利用平行四边形对边对应的向量相等):
在 ABCD中,=,设顶点D的坐标为(x,y),
则=(x+2,y-1),=(4,1),
∴(x+2,y-1)=(4,1),即
∴顶点D的坐标为(2,2).
解法二(利用向量的加法):
易得=+,=,
∴=+=(-2,1)+(4,1)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
解法三(利用向量的减法):
易得=-,=,
∴=-=(4,1)-(2,-1)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
解法四(利用中点的向量表达式):
设AC的中点为M,则点M也是BD的中点,
故=(+)=(+),
∴+=+,
∴=+-=(-2,1)+(3,4)-(-1,3)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
10.D　设c=(x,y),∵a-2b+3c=0,
∴(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(0,0),
即(5+8+3x,-2+6+3y)=(0,0),∴
解得∴c=.故选D.
11.C　令(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),
则(3,4)=(4μ-3λ,5μ-4λ),
所以
所以M∩N={a|a=(-2,-2)}.
解题模板　坐标形式下向量相等,则对应坐标相等,可以建立等量关系,由此求出参数的值或点的坐标.
12.A　以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
设B(2,0),则C(0,2),F(1,1),E(1,0),
∴=(-2,2),=(1,1),=(1,-2),
则由=λ+μ,可得(-2,2)=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),
∴解得λ=-.故选A.
13.答案　
解析　以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
设正方形ABCD的边长为2a(a>0),则正方形DEHI的边长为a,正方形EFGC的边长为a,
故A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,
则xF=(+1)a·cos 30°=a,yF=(+1)a·sin 30°+2a=a,即F.
∵=x+y,
∴=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),
∴故2ax+2ay=a+a,化简得x+y=.
14.A　因为向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,
所以解得k=-3,故选A.
易错警示　非零向量a,b共线且反向的充要条件是存在实数λ(λ<0),使得b=λa.本题容易忽略反向,即忽略λ<0而致错.
15.C　∵p=(a+c,b),q=(b,c-a),且p∥q,
∴(a+c)(c-a)-b·b=0,即c2=a2+b2,
∴角C的大小为.故选C.
16.C　因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则,又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.
17.答案　(1,-1)
解析　∵||=||,点P在直线AB上,
∴P是线段AB的中点,
设P点坐标为(x,y),
则x==1,y==-1,
∴点P的坐标为(1,-1).
解题模板　中点坐标公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点P的坐标为.
18.解析　(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-.
所以当k=-时,ka-b与a+2b共线.
(2)因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即2a+3b=λ(a+mb),
所以解得m=.
19.解析　设点P的坐标为(x,y).
①若点P在线段AB上,则=,
∴(x-3,y+4)=(-9-x,2-y),
故
∴P(-1,-2).
②若点P在线段BA的延长线上,则=-,
∴(x-3,y+4)=-(-9-x,2-y),
故
∴P(7,-6).
③若点P在线段AB的延长线上,显然不成立.
综上可得,点P的坐标为(-1,-2)或(7,-6).
能力提升练
1.A 2.C 4.C
1.A　易知△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(0,0),B(0,6),C(8,0),M(4,3),
故=(0,6),=(4,3).
设△ABC的内切圆的半径为r,
则×(6+8+10)r=×6×8,解得r=2,
∴H(2,2),∴=(2,2).
∵=λ+μ,∴(2,2)=λ(0,6)+μ(4,3),
∴∴λ+μ=.
故选A.
2.C　易得AC==10.以AC的中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(-5,0),C(5,0).设M的坐标为(5cos θ,5sin θ),θ∈[0,2π),过点B作 BD垂直于x轴,垂足为D.
易得sin∠BAC=,cos∠BAC=,
∴BD=ABsin∠BAC=,AD=ABcos∠BAC=,
∴OD=AO-AD=,∴B.
易得=,=(10,0),=(5cos θ+5,5sin θ).
∵=λ+μ,
∴(5cos θ+5,5sin θ)=λ+μ(10,0),
∴λ=sin θ,μ=cos θ-sin θ+,
∴λ+μ=cos θ+sin θ+=sin(θ+φ)+其中tan φ=,
∴当sin(θ+φ)=1时,(λ+μ)max=+=.
3.解析　以O为原点建立平面直角坐标系,如图,
设OA=1,则A(1,0),B,
设C(cos θ,sin θ),θ∈,
∵=x+y,
∴(cos θ,sin θ)=x(1,0)+y,
∴
则x+y=cos θ+sin θ=2sin,
由θ∈,可得θ+,
∴sin,故1≤x+y≤2,
则(x+y)max=2.
4.C　∵=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),
∴=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴+=(2a+b)
=2+2++≥4+2=8,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,
故+的最小值为8,故选C.
5.答案　[-6,1]
解析　∵2b=(2m,m+2sin α),a=(λ+2,λ2-cos2α),a=2b,
∴
∴(2m-2)2-m=cos2α+2sin α,
即4m2-9m+4=1-sin2α+2sin α,
∵1-sin2α+2sin α=-(sin α-1)2+2,sin α∈[-1,1],∴-(sin α-1)2+2∈[-2,2],
∴-2≤4m2-9m+4≤2,解得≤m≤2,
∴≤4,
∵λ=2m-2,∴=2-,
∴-6≤≤1,即的取值范围是[-6,1].
6.解析　因为==(0,5)=,
所以C.
因为==(4,3)=,所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),
因为,==,
所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20①.
因为,=,=,
所以x-4=0,即7x-16y=-20②,
联立①②,解得x=,y=2,
故点M的坐标为.
7.解析　(1)易得=(-1,1),=(cos α,sin α).
∵A,B,C三点共线,∴,
∴-sin α-cos α=0,即tan α=-1,
∵α∈(0,π),∴α=.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=,且不共线.
又∵=(-1,1),=(cos α-s,sin α-t),
∴cos α-s=-1,sin α-t=1,
∴s=cos α+1,t=sin α-1,
∴s+t=sin α+cos α=sin.
∵α∈(0,π),∴α+,
∴sin,
∴sin∈(-1,],
结合(1)可知,α≠,∴s+t≠0.
故s+t的取值范围是(-1,0)∪(0,].
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)