2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.3.5　平面向量数量积的坐标表示（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
基础过关练
题组一　向量数量积的坐标运算
1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
2.(2022江苏徐州学情调研)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是　　　　.
3.(2022上海期中)在△ABC中,∠C=,AC=BC=2,M为AC的中点,P在线段AB上,则的最小值为　　　　.
题组二　向量模的坐标表示
4.(2023安徽十校联盟开学考试)已知向量a=(2,-3),b=(1,4),c=(λ,-2),若|a+2b+c|=5,则实数λ=(　　)
A.1或-4　　　　B.-1或4
C.0或8　　　　D.0或-8
5.(2023浙江绍兴期末)已知向量a=(,1),b=(1,-),c=ta+b,若c在a上的投影向量的模为1,则实数t的值为(　　)
A.±1　　　　B.±　　　　C.-1　　　　D.-
6.(2023广东河源期末)已知a=(x-1,2),b=(x,1),且a∥b,则|a+b|=　　　　.
7.已知向量a=(4,3),向量b是垂直于a的单位向量,则b=　　　　.
题组三　向量夹角的坐标表示
8.(2022安徽滁州期中)已知a,b为平面向量,且a=(4,3),2a+b=(3,18),则a与b夹角的余弦值等于(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
9.(2022河南郑州月考)若向量a=(1,2)与b=的夹角为锐角,则t的取值范围为　　　　.
10.(2022湖北十堰期中)已知向量a=(1,1),b=(0,-2),在下列条件下分别求k的值:
(1)a+b与ka-b平行;
(2)a+b与ka-b的夹角为.
题组四　向量垂直的坐标表示
11.(2023河南洛阳开学考试)已知向量a=(1,1),b=(1,-2),c=(x,-1),若c⊥(a+2b),则x=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.-2　　　　D.-1
12.(2023河北邯郸开学考试)已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形　　　　B.锐角三角形
C.钝角三角形　　　　D.等边三角形
13.(多选题)(2023广东名校联盟期末)已知向量a=(1,3),b=(2,y),(a+b)⊥a,则(　　)
A.b=(2,-3)
B.向量a与b的夹角为
C.=
D.a在b上的投影向量是(-1,2)
能力提升练
题组一　向量的模、夹角与向量垂直的坐标表示
1.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.C.∪(1,)　　　　D.(1,)
2.(多选题)(2022广东汕头金山中学期中)已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b,则t的值为-2
B.|a+b|的最小值为1
C.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是t<2
3.(2022福建莆田期末)定义:a,b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|=|a||b|sin,表示向量a与b的夹角.若点A(1,0),B(1,-),O为坐标原点,则|×|=　　　　.
4.(2022湖北襄阳月考)已知O为坐标原点,=(1,5),=(7,1),=(1,2),=λ,λ∈R.
(1)当A,B,P三点共线时,求λ的值;
(2)当取最小值时,求的坐标及cos∠APB的值.
题组二　向量数量积的坐标表示的综合应用
5.(2022河南名校期中联考)在正方形ABCD中,AB=2,P为BC的中点,Q为CD的中点,M为边AB上的动点(包括端点),则的取值范围为(　　)
A.　　　　B.[-1,0]
C.　　　　D.[-1,1]
6.(2023福建宁德期中)骑自行车是一种环保又健康的运动方式,下图是某自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,E为AD的中点,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过程中,的最大值为(　　)
A.48　　　　B.36　　　　C.72　　　　D.60
7.(多选题)(2022重庆质量检测)图1为折扇,其平面图为图2中的扇形COD,其中∠COD=,OC=3OA=3,动点P在上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且=x+y,则下列说法中正确的是(　　)
　
A.若y=x,则x+y=
B.若y=2x,则=0
C.≥-2
D.
8.(2022江苏苏州八校联考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC的中点,若点P在线段BD上运动,则的最小值为　　　　.
9.已知△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ上的一个动点(含端点),试求·(+)的取值范围.
10.(2023黑龙江鹤岗一中月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2).
(1)若四边形ABCD为平行四边形,求夹角的余弦值;
(2)若M,N分别是线段AC,BC的中点,点P在线段MN上运动,求的最大值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 4.D 5.B 8.C 11.D 12.A 13.BD
1.C　∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(1,0),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
2.答案　
解析　如图,以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(,0),E(,1),所以=(,0),=(,1),
设F(x,2),0≤x≤,则=(x,2),所以=(,0)·(x,2)=x=,
所以x=1,故F(1,2),所以=(,1)·(1-,2)=.
3.答案　
解析　如图,以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
则M,C(0,),设P(x,0),-≤x≤,
则=·(x,-)=x2-x+1=+,
所以当x=时,取得最小值,为.
4.D　由题意得a+2b+c=(2,-3)+2(1,4)+(λ,-2)=(4+λ,3),∴|a+2b+c|==5,解得λ=0或λ=-8.故选D.
5.B　由题得c=t(,1)+(1,-)=(t+1,t-),所以c·a=(t+1)+t-=4t,又|a|==2,所以c在a上的投影向量的模为=|2t|=1,解得t=±.故选B.
6.答案　3
解析　因为a=(x-1,2),b=(x,1),且a∥b,所以x-1-2x=0,解得x=-1,则a+b=(2x-1,3)=(-3,3),所以|a+b|==3.
7.答案　
解析　设b=(x,y),因为向量a=(4,3),向量b是垂直于a的单位向量,
所以
所以b=或b=.
规律总结　与非零向量a=(x,y)垂直的单位向量的坐标为±,正、负号表示不同的方向.
8.C　∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),
∴a·b=-20+36=16.
易得|a|=5,|b|=13,∴cos===.
9.答案　∪(4,+∞)
解析　因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0且a与b不共线,由a·b>0,得t-1+3t>0,解得t>,
若a与b共线,则2t-2-t=0,解得t=4,
故t的取值范围为∪(4,+∞).
10.解析　因为a=(1,1),b=(0,-2),所以a+b=(1,-1),ka-b=(k,k+2).
(1)因为a+b与ka-b平行,所以k+2+k=0,解得k=-1.
(2)易得(a+b)·(ka-b)=1×k+(-1)×(k+2)=-2,
因为a+b与ka-b的夹角为,
所以(a+b)·(ka-b)=|a+b||ka-b|cos,
即-2=××,解得k=-1±.
11.D　因为向量a=(1,1),b=(1,-2),所以a+2b=(3,-3),
因为c⊥(a+2b),所以c·(a+2b)=3x+(-1)×(-3)=0,解得x=-1,故选D.
12.A　易得=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以=8×2+(-4)×4=0,故,即AB⊥AC,故△ABC是直角三角形.
13.BD　∵a=(1,3),b=(2,y),∴a+b=(3,3+y),
∵(a+b)⊥a,∴1×3+3×(3+y)=0,∴y=-4,
则b=(2,-4),故A错误;
cos===-,又∈[0,π],∴=,即向量a与b的夹角为,故B正确;
∵a+b=(1,3)+(1,-2)=(2,1),∴==,故C错误;
a在b上的投影向量为=-b=(-1,2),故D正确.
故选BD.
能力提升练
1.C 2.BC 5.D 6.D 7.ABD
1.C　设表示向量a,b的有向线段的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=-=,
∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,),又a与b的夹角不为0,故m≠1.所以m的取值范围是∪(1,).
2.BC　若a∥b,则-2t-1=0,解得t=-,故A错误;
易得a+b=(-1,1+t),∴|a+b|==,∴当t=-1时,|a+b|取得最小值,为1,故B正确;
a-b=(-3,1-t),若|a+b|=|a-b|,则=,解得t=2,故C正确(还可由|a+b|=|a-b|得a⊥b,则-2×1+1×t=0,解得t=2);
若a与b的夹角为钝角,则cos<0,且a与b不共线,∴cos==<0,且-2t-1≠0,解得t<2且t≠-,故D错误.
故选BC.
3.答案　
解析　由题意得=(1,0),=(1,-),
∴||==1,||==2,
∴cos<,>===,
∵<,>∈[0,π],∴<,>=,
∴|×|=||||sin<,>=1×2×sin=.
4.解析　(1)由题意得=λ=(λ,2λ),=-=(7,1)-(1,5)=(6,-4),
∴=-=(λ,2λ)-(1,5)=(λ-1,2λ-5),
当A,B,P三点共线时,有,
∴6(2λ-5)-(-4)(λ-1)=0,解得λ=.
(2)∵=-=(1-λ,5-2λ),=-=(7-λ,1-2λ),
∴=(1-λ)(7-λ)+(5-2λ)(1-2λ)
=5λ2-20λ+12=5(λ-2)2-8,
∴当λ=2时,取得最小值-8,此时=(2,4),=(-1,1),=(5,-3),则||=,||=,
∴cos∠APB=cos<,>===-.
5.D　以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则P(1,0),Q(2,1),
设M(0,n),则0≤n≤2,
所以=(1,1)·(-1,n)=n-1,
因为0≤n≤2,所以-1≤n-1≤1,
即∈[-1,1].
故选D.
6.D　建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-8,0),C(-2,2),
由点P在以D为圆心,为半径的圆上,可设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
(DP与x轴的非负半轴的夹角为θ)
∴=(6,2),=(cos θ+8,sin θ),
∴=6(cos θ+8)+6sin θ
=6cos θ+6sin θ+48=12sin+48,
当sin=1,即θ=时,取得最大值,最大值为60.故选D.
7.ABD　以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(1,0),C(3,0),B,D,
设Q(cos θ,sin θ),θ∈,则P(3cos θ,3sin θ),
由=x+y,可得(cos θ,sin θ)=,
即cos θ=3x-y,sin θ=y,易知x≥0,y≥0,
若y=x,则cos 2θ+sin 2θ=+=1,
解得x= (负值舍去),故x+y=2x=,A正确;
若y=2x,则cos θ=3x-y=0,故sin θ=1,则P(0,3),所以=(1,0)·(0,3)=0,故B正确;
=·(2cos θ,2sin θ)=sin θ-3cos θ=2sin,
因为θ∈,所以θ-,
故2sin∈[-3,3],故C错误;
=(3cos θ-1,3sin θ),
=,
故=(3cos θ-1)+3sin θ·=-3sin,
易得θ+,所以sin,
故=-3sin,故D正确.
故选ABD.
8.答案　
解析　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
则A(0,0),B(3,0),D(0,2),E(2,2),M(3,1),
故=(3,0),=(0,2),
令=λ+(1-λ)=(3λ,2-2λ),0≤λ≤1,
(点P在线段BD上运动,可设=λ,0≤λ≤1,则=+λ(-)=λ+(1-λ))
故P(3λ,2-2λ),则=(2-3λ,2λ),=(3-3λ,2λ-1),
所以=(2-3λ)(3-3λ)+2λ(2λ-1)=13λ2-17λ+6=13+,
所以当λ=时,.
9.解析　(1)设P(14,y),则=(14,y),=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-,y=-7,∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b),
∵A(2,9),P(14,-7),∴=(12,-16),
∵=0,∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①
∵点Q在边AB上,∴,
又=(4,-12),=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②
联立①②,解得a=4,b=3,∴点Q的坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3),∵R为线段OQ上的一个动点(含端点),∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1,
则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),∴+=(8-8t,6-6t),
∴·(+)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t=50-(0≤t≤1)(※).当t=0或t=1时,(※)式取得最大值0;当t=时,(※)式取得最小值-.
故·(+)的取值范围为.
10.解析　(1)由题可得=(6,-4),=(0,-3).
设D(x,y),则=(1-x,2-y).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,
所以即D(-5,6),
所以=(12,-5).
设的夹角为θ,则cos θ=
==,
所以.
(2)因为M,N分别是线段AC,BC的中点,
所以M,N,
所以=(3,-2),=,=,
因为点P在线段MN上运动,所以可设=λ,λ∈[0,1],则=(3λ,-2λ),
所以=-=,=-=,
所以=-3λ(6-3λ)+=13λ2-20λ-,0≤λ≤1.
令f(λ)=13λ2-20λ-,λ∈[0,1],
因为函数y=13λ2-20λ-的图象的对称轴方程为λ=,∈[0,1], f(0)=-, f(1)=-,
所以当λ=0时, f(λ)取得最大值-,即的最大值为-.
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