2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.4.1　平面几何中的向量方法　6.4.2　向量在物理中的应用举例（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
基础过关练
题组一　向量在平面几何中的应用
1.(2022辽宁锦州期末)已知△ABC中,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,点D在BC边上且BD=BC,则AD的长度为(　　)
A.　　　　 C.
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC的中点,则cos∠BDC等于(　　)
A.-　　　　
C.0　　　　D.
3.(2022广东广州四中月考)若O为△ABC所在平面内一点,且满足()·()=0,则△ABC的形状一定为　　　　.
4.(2022福建厦门月考)在四边形ABCD中,已知=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　.
5.(2023福建福州四中期中)如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　.
6.(2022上海交大附中期中)如图,在△ABC中,AC=2,AB=4,点D在边BC上,且(t∈R).
(1)若t=,∠BAC=,求||;
(2)若t=,AD恰为BC边上的高,求∠BAC;
(3)若AD=3,求t的取值范围.
7.(2022重庆六校期中)在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近点A的三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM 若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
题组二　向量在物理中的应用
8.(2022福建厦门同安实验中学月考)已知一条两岸平行的河流,河水的流速的大小为2 m/s,一艘小船实际沿垂直于河岸方向以10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　)
A.10 m/s　　　　B.2 m/s C.4 m/s　　　　D.12 m/s
9.如图,一所受重力为100 N的物体上有两根绳子,物体平衡时,两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,则两根绳子的拉力的大小分别为　　(　　)
A.50 N,50 N　　　　B.50 N,100 N
C.50 N,50 N　　　　D.100 N,50 N
10.(2022湖南永州第四中学月考)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400米,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=8 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法正确的是(　　)
A.船头方向与水流方向垂直
B.cos=-
C.|v|=2 km/h
D.该船到达对岸所需时间为3分钟
11.(多选题)(2022福建闽侯第二中学月考)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个旅行包的情境,如图所示.已知旅行包所受的重力为G,作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则下列结论中正确的是(　　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的取值范围为
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
12.如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为　　　　,力F做的功为　　　　.
13.已知一条东西方向的河流两岸平行,河的宽度为d m,某人从河的北岸出发到河对岸,河水的流速自西向东,大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中的实际速度为v2.
(1)要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)要使此人游的时间最短,且|v1|= m/s,求此人实际前进的方向与水流方向的夹角β和v2的大小.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 2.B 8.B 9.C 10.B 11.AD
1.D　由题意得,
则|
=
=,
故AD的长度为.故选D.
2.B　如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
∴=(3,-4).
则cos∠BDC=.
3.答案　等腰三角形
解析　 ()·()·()·(|2=0,∴||.故△ABC的形状一定为等腰三角形.
4.答案　30
解析　易得,又=(4,-2)·(3,6)=0,所以四边形ABCD为矩形,
易得|,
所以S四边形ABCD=|=30.
5.答案　
解析　设=a,=b,则=a-b,=a+b,
∴||=|a-b|==2,则a·b=,
∴||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b=6,∴|,即AC=.
6.解析　(1)若t=,则,即点D为BC的中点,
所以),
因为∠BAC=,AC=2,AB=4,
所以|
=.
(2)若t=,则),
因为AD恰为BC边上的高,所以,
因为,
所以·()
=
=×2×4×cos∠BAC-×42=0,
所以cos∠BAC=0,则∠BAC=.
(3)由题意得,
所以,
即9=16t2+4(1-2t+t2)+(16t-16t2)cos∠BAC,
易知0因为∠BAC∈(0,π),所以-1又07.解析　以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
则B(0,0),A(3,4),C(6,0),所以=(3,-4),
由于M是AC边上靠近点A的三等分点,
所以,故M,
所以,
假设在线段BM(端点除外)上存在点P使得PC⊥BM,
则可设,0<λ<1,即,所以,
由于PC⊥BM,所以=0,
即4(4λ-6)+λ=0,解得λ=.
由于 (0,1),
所以线段BM(端点除外)上不存在点P使得PC⊥BM.
8.B　设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2 m/s,|v|=10 m/s,v⊥v1,∴v2=v-v1,v·v1=0,∴|v2|=(m/s).故选B.
9.C　如图所示,设两根绳子的拉力分别为,作 OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.
则∠OAC=90°,由题意得||=100 N,
所以||cos 30°=50 N,
||cos 60°=50 N,
故两根绳子的拉力的大小分别为50 N,50 N.
故选C.
10.B　由题意可知v=v1+v2,当船的航程最短时,v⊥v2,而船头的方向与v1同向,所以A选项错误;由v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=0,可得v1·v2=-=-4,则cos=,故B选项正确;
|v|=|v1+v2|=(km/h),故C选项错误;
该船到达对岸所需时间为60×(分钟),故D选项错误.
故选B.
11.AD　根据题意得|G|=|F1+F2|,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),
解得|F1|2=,易知θ∈(0,π),当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2随θ的增大而增大,故θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确,B错误;
当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误;
当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确.
故选AD.
12.答案　25e;1 000 J
解析　∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,
∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60°e=25e.
∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,
∴力F做的功为25×40=1 000(J).
13.解析　(1)要使此人游的路程最短,只需此人的游泳速度和水流速度的和速度与对岸垂直,如图.
此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB,
此时|v2|==1 m/s,α=∠ACB=.
(2)如图,由已知得v0与v2的夹角为β,设v0与v1的夹角为θ,实际游泳的路程为s m,
则|v1|sin(π-θ)=|v2|sin β,即|v1|sin θ=|v2|sin β,sin β=,(过v1,v2的终点作v0所在直线的垂线,构造直角三角形即可得到)
∴,为实际的路程除以实际的速度,即所用的时间,当sin θ最大时,时间最短
∴当θ=时,此人游泳到对岸用时最短,
此时|v2|==2 m/s,tan β=,故β=.
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