2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--6.4.3 余弦定理、正弦定理--第2课时（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
第2课时　余弦定理、正弦定理的实际应用
基础过关练
题组一　距离问题
1.(2023北京师范大学第二附属中学期中)某大学校园内有一个湖,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若设音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是不同的测量方案:①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC.要求能唯一确定A,B两地之间的距离,则甲同学应选择的方案的序号为(　　)
A.①②　　　　B.②③　　　　
C.②④　　　　D.③④
2.(2023广西柳州城中期中)如图,为了测量河的宽度,在岸边选定两点A,B望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,AB=60米,则河的宽度CD=(　　)
A.30(3)米　　　　B.30(3-)米
C.20(+3)米　　　　D.30(-1)米
3.(2023陕西西安中学模拟)如图,从气球A上测得一河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球距离地面的高度AD=46 m(D在直线BC上),则河流的宽度BC约为　　　　m.(参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
4.(2023陕西西安长安期中)要测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离,选取相距 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A、B之间的距离为　　　　km.
题组二　高度问题
5.(2022陕西咸阳泾阳期中)如图,为了测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为观测点,从A点测得M点的仰角为60°,C点的仰角为45°,∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=500 m,则山高MN为(　　)
A.850 m　　　　B.850 m　　　　
C.750 m　　　　D.750 m
6.(2022湖北新高考联考协作体期末)如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,某人先在塔底正西方向的点C处测得塔顶的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 m到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为30°,则铁塔AB的高度是(　　)
A.50 m　　　　B.30 m　　　　
C.25 m　　　　D.15 m
7.如图,为测量塔PO的高度,现在塔底共线的三点A,B,C处分别测得塔顶的仰角为30°,45°,60°,且AB=BC= m,则塔的高度为(　　)
A.20 m　　　　B. m　　　　C. m　　　　D.30 m
题组三　角度问题
8.(多选题)(2023河北石家庄期末)一艘轮船航行到A处时测得灯塔B在A的北偏东75°方向,距离A处12海里,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离A处12海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时测得灯塔B在其南偏东60°方向,则下列结论正确的有(　　)
A.AD=24海里
B.CD=12海里
C.∠CDA=60°或∠CDA=120°
D.∠CDA=60°
9.(2022河南名校期末)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”,在坡脚A处测得∠PAC=15°,沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处,测得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10 m,PB⊥AB,坡角为θ,则cos θ=
(　　)
A.-1
C.
10.(2022河南平顶山月考)在灯塔A的正西方向且与A相距(-1)n mile的B处有一艘甲船,需要海上加油.在灯塔A的北偏东45°方向且与灯塔A相距 n mile的C处有一乙船,求乙船前往B处支援甲船的航行距离和方向.
能力提升练
题组　正、余弦定理的实际应用
1.(多选题)(2023甘肃定西临洮中学期中)如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得汽车在A处的俯角为30°,该汽车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知汽车的速度是20 km/h,O为P在水平面上的射影,且cos∠AOB=-,则(　　)
A.此山的高PO= km
B.汽车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C.PA=2 km
D.汽车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为
2.(2023重庆三峡名校联盟期末)在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程,如图所示,A,B,C为某山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,现需要沿直线AC开通穿山隧道DE,已知BC=5,则隧道DE的长为(　　)
A.5
C.10　　　　 D.4
3.(2022黑龙江哈尔滨第三中学三模)某小区足球场的平面示意图如图所示(长度单位:米),AB为球门,在某次小区居民友谊比赛中,队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球,此时tan∠APB=,假设甲沿着平行于边线的方向向前带球,并准备在点Q处射门,为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大),射门时甲离上方端线的距离为(　　)
A.5米　　　　B.5米　　　　C.10米　　　　D.10米
4.(2022安徽宿州十三所重点中学期中联考)某同学为测量教学楼AB的高度,先在地面上选择一点C,测量出∠ACB=α,再分别执行如下四种测量方案,则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案编号为　　　　.
方案(1):从点C向教学楼前进a米到达点D,测量出∠ADB=β;
方案(2):在地面上另选点D,测量出∠ACD=β,∠ADC=γ,CD=a米;
方案(3):在地面上另选点D,测量出∠BDC=β,CD=a米;
方案(4):从过点C的直线上(不过点B)另选点D、E,测量出CD=2DE=a米,∠ADB=β,∠AEB=γ.
5.(2023山东省实验中学模拟)如图,已知点C为山顶P在水平面上的射影,一艘巡逻船由南向北沿AD方向行驶,在水平面上的A处测得∠BAC=15°,匀速向北航行20分钟到达B处,测得∠DBC=60°,此时测得山顶P的仰角为60°,已知山高为2千米.
(1)求巡逻船的航行速度;
(2)若该船继续航行10分钟到达D处,此时点C位于D处的南偏东什么方向
6.(2023广东广州白云中学期中)如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°方向,且与A相距()海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45°方向以3海里/时的速度向海岸行驶,巡逻艇立即以2海里/时的速度沿着正东方向直线追去,1小时后,巡逻艇到达C处,走私船到达D处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以3海里/时的速度追击.
(1)当走私船发现巡逻艇时,两者相距多少海里
(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 2.B 5.D 6.B 7.B 8.ABD 9.D
1.C　①测量∠A,∠B,∠C,即知道三个角的度数,则三角形有无数组解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;②测量∠A,∠B,BC,即已知两角及一边,则由正弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离;③测量∠A,AC,BC,即已知两边及其中一边的对角,则由正弦定理可知,三角形可能有2个解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;④测量∠C,AC,BC,即已知两边及其夹角,则由余弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离.
综上可得,能唯一确定A,B两地之间的距离的方案的序号是②④.
故选C.
2.B　由题意得∠ACB=180°-45°-60°=75°,
在△ABC中,由正弦定理得,
∴BC=-1)米.
故河宽CD=BCsin∠CBA=60()米.故选B.
3.答案　60
解析　由题意得AD=46 m,∠ACD=30°,∠BAC=37°,∠ABC=113°.
在Rt△ACD中,因为∠ACD=30°,所以AC=2AD=92 m,
在△ABC中,由正弦定理可得,即,
所以BC==60(m),
所以河流的宽度BC约为60 m.
4.答案　
解析　在△ACD中,∠ACD=75°+45°=120°,∠CAD=180°-120°-30°=30°,∴∠CAD=∠ADC,故AC=CD=.
在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=45°+30°=75°,
则∠CBD=180°-45°-75°=60°,
∴BC=.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(×cos 75°=5,∴AB=.故A、B之间的距离为 km.
规律总结　1.当两点A、B不相通,又不可视时,选取点C,测出AC、BC、∠ACB,用余弦定理求解;
2.当两点A、B间可视,但有一点B不可到达时,选取点C,测出∠CAB、∠ACB和AC,用正弦定理解决;
3.当两点A、B都不可到达时,选取对A、B可视的点C、D,测出∠BCA、∠BDA、∠ACD、∠BDC和CD,用正弦定理和余弦定理求解.
5.D　由已知得AC= m,
∠AMC=180°-75°-60°=45°,
在△AMC中,由正弦定理得,即,解得AM=500 m.
在Rt△AMN中,NM=AMsin∠MAN=500sin 60°=750 m.故选D.
6.B　设AB=h m,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴BC=h m.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=30°,∴BD=h m.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 60°,即(,解得h=30或h=-60(舍去).故选B.
7.B　设PO=h m,由题意得∠PCO=60°,∠PBO=45°,∠PAO=30°,
则PA=h(m),
在△PAB中,由余弦定理的推论可得cos∠PBA=,
在△PBC中,由余弦定理的推论得cos∠PBC=.
∵∠PBA+∠PBC=π,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=cos∠PBA+cos(π-∠PBA)=0,即=0,
可得h=.故选B.
8.ABD　如图,
由题意知AB=12海里,AC=12海里.
在△ABD中,B=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得,
故AD==24(海里),故A正确.
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°=(12=144,
所以CD=12海里,故B正确.
在△ACD中,由正弦定理得,
所以sin∠CDA=,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,
因为AD>AC,所以∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,故C不正确,D正确.
故选ABD.
9.D　在△ADP中,由正弦定理可得,易得∠ADP=135°,
则∠APD=180°-135°-15°=30°,
故AP=,
在Rt△ABP中,AB=APcos∠PAB=25cos(θ+15°),PB=APsin∠PAB=25sin(θ+15°),
则tan θ=,
整理可得cos θ=sin 15°=.
故选D.
10.解析　根据题意,画出示意图如图,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 135°==4,
所以BC=2 n mile,由正弦定理得,
即,所以sin C=,
易知C为锐角,
又sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,
所以C=15°.
故乙船航行的距离为2 n mile,方向为南偏西15°+45°=60°.
能力提升练
1.BCD 2.D 3.B
1.BCD　由题意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,OP⊥OA,OP⊥OB,
设OP=x km,则OA=x km,OB=x km.
易得AB=7.5×(km),
在△AOB中,由余弦定理的推论可得,cos∠AOB=,解得x=1(负值舍去),即PO=1 km,故PA=2OP=2 km,故A错误,C正确.
设汽车从A到B的行驶过程中观测P点的仰角为θ,将汽车看作一点D,则tan θ=,则当OD的长度最小时,θ最大,
设点O到AB的距离为h,
因为sin∠AOB=,
所以S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=AB·h,
可得h= km,
则h≤OD≤OA,故最大仰角的正切值为,当汽车位于A处时仰角最小,为30°,故B,D正确.
故选BCD.
2.D　因为α=60°,β=45°,γ=30°,
所以∠PAC=α=60°,∠PBA=β=45°,∠PCA=γ=30°,∠BPC=β-γ=15°,
则sin∠BPC=sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,
在△BPC中,由正弦定理得,
则PB=+5.
易得∠APB=180°-60°-45°=75°,
则sin∠APB=sin 75°=sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
=,
在△APB中,由正弦定理得,
所以AB=
=,
所以DE=AB-AD-EB=.故选D.
3.B　设AB=x米,根据题意作示意图如图,
易知PH=25米,BH=10米,
所以tan∠BPH=,
所以tan∠APH=tan(∠APB+∠BPH)=.
又tan∠APH=,
所以,解得x=5,即AB=5米,
设QH=h米,h∈(0,25),
则AQ=(米),
BQ=(米),
所以在△AQB中,由余弦定理的推论得cos∠AQB=.
令m=h2+150(150所以h2=m-150,
所以cos∠AQB=.
则要使∠AQB最大,即cos∠AQB=要取得最小值,即y=取得最大值,
即y=-+1在m∈(150,775)上取得最大值.
易知y=-+1=-3 750,①
因为150所以为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大),射门时甲离上方端线的距离为5米.
故选B.
4.答案　(1)(2)(4)
解析　对于方案(1),∠CAD=∠ADB-∠ACB=β-α,在△ACD中,由正弦定理可得,所以AD=米,
在Rt△ABD中,AB=ADsin β=米,所以方案(1)满足题意;
对于方案(2),在△ACD中,由正弦定理得,所以AC=米,
在Rt△ABC中,AB=ACsin α=米,方案(2)满足题意;
对于方案(3),在△BCD中,已知CD=a米,∠BDC=β,无法求出BC的长,从而无法求出AB的长,方案(3)不满足题意;
对于方案(4),设AB=x米,则BC=米,BD=米,BE=米,
因为cos∠BDC=cos(π-∠BDE)=-cos∠BDE,
所以cos∠BDC+cos∠BDE==0,可得出关于x的方程,即可解得x的值,方案(4)满足题意.
故满足题意的方案编号为(1)(2)(4).
5.解析　(1)由题意知∠BCP=90°,∠PBC=60°,PC=2,
在Rt△BCP中,tan∠PBC=,
则BC==2,
在△ABC中,可得∠BCA=60°-15°=45°,
由正弦定理得,
即,
所以AB=+1),
故巡逻船的航行速度是+1)(千米/时).
(2)易得BD=+1,
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC×BDcos∠DBC=22+=6,故CD=,
在△BCD中,由正弦定理得,即,解得sin∠CDB=,
因为CD>BC,所以∠CDB为锐角,所以∠CDB=45°,
故点C位于D处的南偏东45°方向.
6.解析　(1)由题意得,BD=3×1=3(海里),AC=2(海里),∠BAC=90°-30°=60°,AB=()海里,
连接BC,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(=12,
所以BC=2 海里,
在△ABC中,由正弦定理得,即,所以sin∠ABC=,
故∠ABC=45°或∠ABC=135°,
又AC所以∠ACB=180°-60°-45°=75°,
若熟悉sin 75°=,则可直接利用求解∠ACB
所以∠CBD=75°-45°=30°.
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 30°=(2=3,
所以CD= 海里,
故当走私船发现巡逻艇时,两者相距 海里.
(2)设巡逻艇沿直线经过t小时恰好在E处追上走私船,
则CE=3t海里,DE=3t海里,
在△BCD中,由正弦定理得,即,
所以sin∠BCD=,sin∠BDC=1,故∠BCD=60°,∠BDC=90°,则∠CDE=∠ACD=135°,
在△CDE中,由正弦定理得,
则sin∠DCE=,
故∠DCE=30°(∠DCE=150°舍去),
则∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°+30°=90°+75°,
故巡逻艇应该沿北偏东75°方向去追,才能最快追上走私船.
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