2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--7.1.1 数系的扩充和复数的概念（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
基础过关练
题组一　复数的概念
1.(2023四川泸州期末)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位,θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉提出的,根据欧拉公式可知,复数的虚部为(　　)
A.-i
2.(2023湖南株洲期中)已知复数(x+y)+(2-x)i的实部和虚部分别为3和 4,则实数x和y的值分别是(　　)
A.2,-4　　　　B.2,5　　　　C.-2,4　　　　D.-2,5
3.(2022河北唐山英才国际学校月考)若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0,则b=(　　)
A.2　　　　B.　　　　D.-2
4.下列命题中,正确命题的个数是(　　)
①-1没有平方根;②复数2i-1的虚部是2i;③复数2i没有实部;④i表示虚数单位,所以它不是一个复数;⑤若x,y∈C,且x2+y2=0,则x=y=0.
A.0　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.5
题组二　复数的分类
5.(2023北京二中期中)若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)是纯虚数,则(　　)
A.a=0或a=2　　　　B.a=0
C.a≠1且a≠2　　　　D.a≠1或a≠2
6.(2023河北唐山月考)设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},则下列结论正确的是(　　)
A.A∪B=C　　　　B.A=B
C.A∩( CB)= 　　　　D.( CA)∪( CB)=C
7.(2022安徽芜湖一中月考)若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为　　　　.
8.已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
题组三　复数相等的充要条件及其应用
9.(2023安徽黄山期末)若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则复数z=a+bi的虚部为(　　)
A.-i　　　　B.-1　　　　C.2i　　　　D.2
10.(2023广东佛山期中)已知x,y∈R,i为虚数单位,且(y+2)i+2y=-x,则x+y=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
11.(2023山西运城期中)已知(x+y-3)+(x-2)i=0(x,y∈R),则x-y=　　　　.
12.(2023山东菏泽期中)已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R),若z1为纯虚数,则m=　　　　;若z1=z2,则λ的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 9.D 10.B
1.B　由欧拉公式得i,其虚部为,故选B.
2.D　由复数(x+y)+(2-x)i的实部和虚部分别为3和4,x,y∈R,可得故选D.
3.A　由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0,得2-b=0,即b=2.故选A.
4.A　i2=-1,所以-1的平方根为±i,①错误;2i-1的虚部为2,②错误;2i的实部为0,③错误;④显然错误;当x=i,y=1时,x2+y2=i2+12=0,但x,y都不为0,⑤错误.
5.B　因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)是纯虚数,所以解得a=0,故选B.
6.D　集合A,B,C的关系如下图,
由图可知,只有( CA)∪( CB)=C正确.故选D.
7.答案　3
解析　因为复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,所以解得m=3.
8.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.
9.D　因为2+ai=b-i,a,b∈R,
所以a=-1,b=2,故复数z=a+bi=-1+2i,其虚部为2,故选D.
10.B　因为x,y∈R,(y+2)i+2y=-x,所以
解得所以x+y=4-2=2.故选B.
11.答案　1
解析　因为(x+y-3)+(x-2)i=0(x,y∈R),
所以所以x-y=1.
12.答案　-2;[2,6]
解析　若z1为纯虚数,则解得m=-2.
若z1=z2,则
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1,
∴当sin θ=1时,λmin=2,当sin θ=-1时,λmax=6,
∴实数λ的取值范围为[2,6].
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