2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--7.1.2 复数的几何意义（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
7.1.2　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数与复平面内点的对应关系
1.(2021湖南娄底一中期中)复数z1=1+i在复平面内对应的点关于(　　)
A.实轴对称
B.第一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称
D.第二、四象限的角平分线对称
2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)
A.4+8i　　　　B.8+2i　　　　
C.2+4i　　　　D.4+i
3.(2022安徽池州期中)已知复数z=(m2+3m-4)+(m+2)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-4,1)　　　　B.(-4,-2)
C.(-1,4)　　　　D.(-1,1)
4.(2021江苏苏州模拟)已知i为虚数单位,在复平面内,复数-2+i和1-3i对应的点之间的距离为(　　)
A.　　　　C.5　　　　D.25
5.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则点D对应的复数是(　　)
A.3+i　　　　B.3-I C.-3-i　　　　D.-1+3i
6.(2022福建福州期中)棣莫弗公式[r(cos x+isin x)]n=rn(cos nx+isin nx)(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于第　　　　象限.
7.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第三象限
(2)在实轴负半轴上
(3)位于上半平面(含实轴)
题组二　复数与平面向量的对应关系
8.(2022陕西宝鸡陈仓检测)在复平面内,已知复数z=3+4i对应的点Z关于原点O的对称点为Z1,则向量对应的复数为(　　)
A.-3-4i　　　　B.4+3i　　　　
C.-4-3i　　　　D.-3+4i
9.(2022福建福州期末)已知复平面内的点A,B对应的复数分别为z1=2+i,z2=-1-2i,则向量对应的复数为(　　)
A.1-i　　　　B.-1-i
C.-3-3i　　　　D.3+3i
10.(多选题)(2021湖南长沙雅礼中学期末)在复平面内,复数z,为z的共轭复数)对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列命题中正确的有(　　)
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,
D.当z为实数时,
11.(2023湖南永州第四中学月考)如图,在复平面内有一个平行四边形ABCD,点A对应的复数为-1,对应的复数为2+2i,对应的复数为z,且=4+4i.
(1)求点D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
题组三　复数的模及其应用
12.(多选题)(2022江苏徐州期中)下列四个命题中正确的有(　　)
A.任何复数的模都是非负数
B.若复数z=m(m+1)+(m2-1)i是纯虚数,则实数m=0或m=-1
C.若z1=,z4=2-i,则这些复数对应的点共圆
D.|cos θ+isin θ|的最大值为,最小值为0
13.(2022广东东莞期末)复数z在复平面内对应的点为Z,若1≤|z|≤2,则点Z的集合对应的图形的面积为(　　)
A.π　　　　B.2π　　　　C.3π　　　　D.4π
14.若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是　　　　.
15.(2022安徽六安一中期末)若复数z1=1+2i,z2=3-i所对应的向量分别为(O为坐标原点),则△OZ1Z2的面积为　　　　.
16.设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形
(1)|z|=;
(2)2<|z|≤3.
题组四　共轭复数
17.(2022江苏常州期中)已知复数z=3+2i,则它的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
18.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是(　　)
A.3,3　　　　B.5,1　　　　C.-1,-1　　　　D.-1,1
19.设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z=(　　)
A.+i　　　　C.1　　　　D.-1-2i
20.(2021湖北六校联考)复数z对应的向量(O为坐标原点)与a=(3,4)共线,对应的点Z在第三象限,且|z|=10,则=(　　)
A.6+8i　　　　B.6-8i　　　　
C.-6-8i　　　　D.-6+8i
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 8.A 9.D 10.ABD
12.AC 13.C 17.D 18.D 19.A 20.D
1.A　设z1=1+i和z2=1-i在复平面内对应的点分别为P,Q,
则P(1,),则P,Q关于实轴对称.故选A.
2.C　在复平面内,复数6+5i对应的点A的坐标为(6,5),-2+3i对应的点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C的坐标为(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
3.B　因为z=(m2+3m-4)+(m+2)i在复平面内对应的点在第三象限,所以即-44.C　设复数-2+i对应的点为A,1-3i对应的点为B,则A(-2,1),B(1,-3),
∴|AB|==5.故选C.
5.A　由题可得,A(1,2),B(-2,1),C(0,0),设D(x,y),
因为四边形ABCD是复平面内的平行四边形,
所以,即(-2-1,1-2)=(-x,-y),
所以x=3,y=1,
故D(3,1),其在复平面内对应的复数为3+i.故选A.
6.答案　三
解析　由棣莫弗公式可得,其在复平面内所对应的点为,
因为是第三象限角,所以cos<0,
所以复数在复平面内所对应的点位于第三象限.
7.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第三象限,需满足∴∴3(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足∴
∴m=4.
(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.
8.A　易知复数z=3+4i对应的点Z的坐标为(3,4),∴Z关于原点O的对称点为Z1(-3,-4),
∴向量=(-3,-4),∴向量对应的复数为-3-4i,故选A.
9.D　由题可得A(2,1),B(-1,-2),故=(3,3),则向量对应的复数为3+3i.故选D.
10.ABD　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),=-bi,则z,对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),O,P,Q均在虚轴上,∴P,O,Q三点共线,故A正确;
对于B,由z=1+i得=1-i,易求得=(1,-1),∴=0,且|,
∴△POQ为等腰直角三角形,故B正确;
对于C,=(a,-b),当b=0时,,故C错误;
对于D,当z为实数时,z==(a,0),故D正确.故选ABD.
11.解析　(1)因为点A对应的复数为-1,
所以A(-1,0).
因为=4+4i,所以z=4-4i,所以=(4,-4).
设D(x,y),则=(x+1,y).
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以,即(x+1,y)=(4,-4),解得x=3,y=-4,即D(3,-4),
故点D对应的复数为3-4i.
(2)由题意及(1)可知=(4,-4),
所以=0,故,
则平行四边形ABCD为矩形.
易得|,
故平行四边形ABCD的面积为2=16.
12.AC　易知A正确;
对于B,若复数z=m(m+1)+(m2-1)i是纯虚数,则解得m=0,B错误;
对于C,易得|z1|=,所以题中四个复数所对应的点都在以原点为圆心,为半径的圆上,C正确;
对于D,|cos θ+isin θ|==1,D错误.
故选AC.
13.C　因为复数z在复平面内对应的点为Z,且1≤|z|≤2,
所以点Z的集合对应的图形是以原点为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环边界),
所以所求面积为π×22-π×12=3π,故选C.
14.答案　
解析　易知复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(a-2,a+1),
因为该点位于第二象限,
所以解得-1|z|=
=,
因为-115.答案　
解析　由题意得=(3,-1),
则|,
∴cos∠Z1OZ2=,
∴sin∠Z1OZ2=,
∴△OZ1Z2的面积为|sin∠Z1OZ2=.
16.解析　(1)因为|z|=,即|,所以满足|z|=的点Z的集合是以原点O为圆心,为半径的圆,如图①.
图①
(2)不等式2<|z|≤3可化为不等式组不等式|z|>2的解集是圆|z|=2的外部所有的点组成的集合,不等式|z|≤3的解集是圆|z|=3的内部及圆上所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.
因此,满足条件2<|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,2和3为半径的两个圆所夹的圆环,包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界,如图②.
图②
17.D　因为z=3+2i,所以=3-2i,所以在复平面内对应的点为(3,-2),位于第四象限.故选D.
18.D　∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,
∴
19.A　因为+i,所以复数z=-i.故选A.
20.D　设复数z=x+yi,x,y∈R,则=(x,y),
∵复数z对应的向量与a=(3,4)共线,
∴4x-3y=0①,由|z|=10得x2+y2=100②,
由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8.
∵z对应的点Z在第三象限,
∴z=-6-8i,∴=-6+8i.故选D.
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