2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
基础过关练
题组一　复数的加、减运算
1.已知i为虚数单位,复数z1=2+i,z2=1-2i,则z1+z2=(　　)
A.1+i　　　　B.2-i　　　　C.3-i　　　　D.-i
2.(2022福建泉州月考)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1-z2=(　　)
A.8i　　　　B.6　　　　C.6+8i　　　　D.6-8i
3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=(　　)
A.-3i　　　　B.3i　　　　C.±3i　　　　D.4i
4.(2022河南鹤壁开学考试)设2(z+)=4+6i,则z=(　　)
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.1+i　　　　D.1-i
5.(2022北京师范大学附属中学期中)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别为z1,z2,则z1+z2=　　　　.
6.(2022福建宁德期中)复数z1=1+i,z2=2-2i,则|z1-z2|=　　　　.
7.(2022江苏连云港期中)复数z1=cos θ+isin θ,z2=1-i,其中i是虚数单位,则|z1-z2|的最大值为　　　　.
题组二　复数加、减法的几何意义
8.(多选题)(2022河南开封月考)设复数z的共轭复数为,则下列命题正确的是(　　)
A.z+∈R
B.z-是纯虚数
C.若z=cos,则|z|=1
D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
9.(2022山西怀仁第一中学期中)已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.
10.(2022河南郑州期末)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　　)
A.外心　　　　B.内心　　　　C.重心　　　　D.垂心
11.(2022江苏无锡月考)若z∈C,且|z|=1,则|z-3-4i|的最小值为　　　　.
12.已知|z1|=1,|z2|=,|z1-z2|=2,则|z1+z2|=　　　　.
13.(2022辽宁沈阳回民中学期中)已知复数z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i(a>0),+z2∈R.
(1)求实数a的值;
(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 2.A 3.B 4.C 8.AD 9.B 10.A
1.C　z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i.故选C.
2.A　z1-z2=(3+4i)-(3-4i)=8i.故选A.
3.B　设z=a+bi(a,b∈R),
∵z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
∴a=0,b≠-3,又|z|=3,∴|b|=3,
∴b=3,∴z=3i.
4.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
则2(z+)=4a+6bi=4+6i,
所以故z=1+i.
故选C.
5.答案　2
解析　由题意可知z1=i,z2=2-i,∴z1+z2=i+(2-i)=2.
6.答案　
解析　因为z1=1+i,z2=2-2i,所以|z1-z2|=|1+i-2+2i|=|-1+3i|=
.
7.答案　+1
解析　由题意得z1-z2=(cos θ-1)+(sin θ+1)i,
所以|z1-z2|=
=
=+1.
8.AD　因为复数z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数,所以z+∈R,A正确;
当z为实数时,也为实数,则z-是实数,B错误;
若z=cos,则|z|=≠1,C错误;
对于D,设z=x+yi(x,y∈R),若|z-i|=1,则点(x,y)到点(0,1)的距离为1,即点(x,y)在以(0,1)为圆心,1为半径的圆上,|z|表示圆上的点到原点的距离,故|z|max=1+1=2,D正确.
故选AD.
9.B　设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等,所以点Z的轨迹为x轴,
又|z+1+2i|表示点Z到点P(-1,-2)的距离,
所以问题转化为x轴上的动点Z到定点P(-1,-2)距离的最小值,易知|PZ|min=2,
所以|z+1+2i|的最小值为2.故选B.
10.A　∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,∴z对应的点到△ABC的三个顶点的距离相等,∴z对应的点是△ABC的外心,故选A.
11.答案　4
解析　∵|z|=1,∴z在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,则|z-3-4i|表示圆上一点与点(3,4)之间的距离.
∴|z-3-4i|min=-1=5-1=4.
12.答案　2
解析　设z1对应的向量为,z2对应的向量为,则z1-z2对应的向量为,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则z1+z2对应的向量为,
∵||2,
∴平行四边形OACB为矩形,
∴||,
故|z1+z2|=|z1-z2|=2.
13.解析　(1)由题意得=1-(10-a2)i,
所以+z2=1-(10-a2)i+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i,
因为+z2∈R,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,因为a>0,所以a=3.
(2)由(1)知z2=i,所以满足条件|z-z2|=2的点的集合是以(0,1)为圆心,2为半径的圆,设为圆A,
易知|z|表示圆A上的点到坐标原点的距离,所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.
故|z|的取值范围为[1,3].
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