2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--7.2.2 复数的乘、除运算（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
7.2.2　复数的乘、除运算
基础过关练
题组一　复数的乘、除运算
1.若z=(3+i)(2-i),则z的共轭复数为(　　)
A.5+i　　　　B.7+I C.5-i　　　　D.7-i
2.(2022山西朔州月考)=(　　)
A.-3i　　　　B.-12i　　　　C.1+3i　　　　D.1+12i
3.(2023山东菏泽期末)若复数z=的实部与虚部相等,则实数a的值为(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
4.(2023山东省实验中学开学考试)(+i)·(cos 60°-isin 60°)=(　　)
A.-i　　　　B.2　　　　C.1--i
5.已知复数z=,给出以下说法:①z的实部是;②z的虚部是;③z的共轭复数为i;④|z|=.其中正确说法的个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
6.(多选题)(2022山东潍坊第四中学开学考试)已知i是虚数单位,若(1+i)n=(1-i)n(n∈N*),则n的值可以是　　(　　)
A.102　　　　B.104　　　　C.106　　　　D.108
题组二　in(n∈N)的周期性及其应用
7.(2022湖北黄冈月考)若复数z满足z=+i2 022(i为虚数单位),则z的
虚部为(　　)
A.-2　　　　B.-2i　　　　C.2　　　　D.2i
8.(2022湖北圆创联盟第二次联考)已知复数z=-i(i为虚数单位),则z2 022=(　　)
A.1　　　　B.-1 C.-i
9.计算:1+i+i2+i3+…+i100=　　　　.
题组三　复数范围内一元二次方程根的问题
10.(2023河南高考适应性考试)已知m,n为实数,1-i(i为虚数单位)是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,则m+n=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
11.(2022山东枣庄期末)设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个解,则(　　)
A.|z1-z2|=C.z1+z2=1　　　　D.z1z2=1
12.(2022安徽马鞍山一模)复数z满足z2-2z+2=0,则|z|=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.1或
13.(2022天津第四中学质检)已知方程x2+x+m=0(m∈R)有两个虚根α,β,若|α-β|=3,则m的值是　　　　.
14.(2023山东临沂蒙阴第一中学月考)已知复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R),其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数,求实数m的值;
(2)若m=3,z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,求实数a,b的值.
能力提升练
题组一　复数运算的综合应用
1.(2023山西阳泉期末,)已知复数z=,则复数z的虚部是(　　)
A.i
2.(多选题)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=,z1+z2=1+i,则下列结论中正确的是(　　)
A.z1+z2的共轭复数为1-i
B.=32
C.若z1+z2是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根,则m=1
D.|z1-z2|=
3.(2023重庆缙云教育联盟三诊,)已知集合M {x|x=in+i-n,n∈N*}(其中i为虚数单位),则满足条件的集合M的个数为　　　　.
4.已知复数z满足z2-2z+4=0,虚数z1满足+az1+b=0(a,b∈R).
(1)求|z|;
(2)若z1+,求a的值.
5.(2022山西忻州期末)已知复数z1=a+bi,a,b∈R,b≠0,z2=z1+,-2(1)求实数a的取值范围;
(2)若ω=,求|z2-ω2|的最小值.
题组二　复数范围内方程根的问题
6.(多选题)(2022山东泰安期末)已知复数z满足方程(z2+9)(z2-2z+4)=0,则(　　)
A.z可能为纯虚数
B.该方程共有两个虚根
C.z可能为1-i
D.该方程的各根之和为2
7.已知关于x的实系数方程x2+ax+b=0有一个模为1的虚根,则a的取值范围是　　　　.
8.(2023上海复旦大学附属中学开学考试)已知关于x的方程x2-3ax-3a=0(a∈R)的两个虚数根分别为x1,x2.
(1)求|x1|的取值范围;
(2)若|x1-x2|=1,求实数a的值.
9.已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a+4=0(a∈R)在复数范围内的两根分别为α,β.
(1)若该方程没有实数根,求实数a的取值范围,并在复数范围内对x2-2ax+a2-4a+4进行因式分解;
(2)若|α|+|β|=3,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 6.BD 7.A 8.A
10.D 11.D 12.B
1.B　z=(3+i)(2-i)=7-i,故z的共轭复数为7+i,故选B.
2.A　=-3i,故选A.
3.A　z=i,因为复数z的实部与虚部相等,所以,解得a=0.故选A.
4.D　原式=(-i,故选D.
5.C　z=i,则z的实部是,虚部是-,z的共轭复数为,故①③④正确,②不正确.故选C.
6.BD　∵(1+i)2=1+2i-1=2i,(1-i)2=1-2i-1=-2i,
∴(1+i)n=[(1+i)2,
若(1+i)n=(1-i)n,则(2i,
所以为偶数.故选BD.
7.A　由题得z=+i2 020×i2=-1-2i-1=-2-2i,所以z的虚部为-2.故选A.
8.A　由题意得z2=i,
z3==1,
z4=z=-i,
……
∴z2 022=z3×674=1.
故选A.
9.答案　1
解析　原式=(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i96+i97+i98+i99)+i100=0+0
+…+0+1=1.
方法技巧　i的乘方有如下性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N.
10.D　由1-i是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,可得方程的另一个根为1+i,则m=1-i+1+i=2,n=(1-i)(1+i)=2,则m+n=4,故选D.
11.D　由方程x2+x+1=0得Δ=1-4=-3<0,
所以x=,
不妨设z1=-i.
则|z1-z2|=|=1,
z1+z2=-1,z1z2=-i·=1.
故选D.
12.B　∵复数z满足z2-2z+2=0,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴z==1±i,
∴|z|=.故选B.
13.答案　
解析　由题意可设α=a+bi(a,b∈R),则β=a-bi,
由|α-β|=3得|a+bi-(a-bi)|=|2bi|=3,解得|b|=.
易得(a+bi)2+(a+bi)+m=0,
即(a2-b2+a+m)+(2ab+b)i=0,
∴
14.解析　(1)因为复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,
所以解得m=-1.
(2)当m=3时,z=(m+1)(m-2)+(m-2)i=4+i.
因为z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,所以z的共轭复数=4-i也是实系数方程x2+ax+b=0的根,
所以(4+i)+(4-i)=-a,(4+i)(4-i)=b,
解得a=-8,b=17.
能力提升练
1.A 2.AD 6.ACD
1.A　z==
=,
故z的虚部为.故选A.
2.AD　对于A,因为z1+z2=1+i,所以z1+z2的共轭复数为1-i,所以A正确;
对于B,因为z1+z2=1+i,所以=(1+i)2=2i,
所以=[(z1+z2)2]5=(2i)5=32i5=32i,所以B错误;
对于C,易知方程x2+mx+n=0的根为1-i和1+i,所以(1-i)+(1+i)=-m,解得m=-2,所以C错误;
对于D,设z1-z2=a+bi(a,b∈R),因为z1+z2=1+i,所以z1=i,因为|z1|=|z2|=,所以=2,解得a2+b2=6,所以|z1-z2|=,所以D正确.
故选AD.
3.答案　8
解析　对于x=in+i-n,n∈N*,当n=1时,x=i+i-1=0;当n=2时,x=i2+i-2=-2;当n=3时,x=i3+i-3=0;当n=4时,x=i4+i-4=2.
结合in的周期性,可知x=in+i-n,n∈N*以4为周期,所以{x|x=in+i-n,n∈N*}={-2,0,2},其子集个数为23=8.故满足条件的集合M的个数为8.
4.解析　(1)由z满足z2-2z+4=0,Δ=(-2)2-4×1×4=-12<0,可得z=i,所以|z|==2.
(2)由(1)及已知得,z1+=-1,
因为虚数z1满足+az1+b=0,所以z1+=-a,所以a=1.
5.解析　(1)z2=z1+i,
∵-2∴z2是实数(只有当z2是实数时才能比较大小),
∴b=,又b≠0,∴a2+b2=4,
∴z2=2a,
∴-2<2a≤1,即-1故a的取值范围为.
(2)由(1)得a2+b2=4,z2=2a,
∴ω=,
z2-ω2=2a--5,
∵-1∴2(a+2)+-5≥2-5,当且仅当=2(a+2),即a=-2时,等号成立.
故|z2-ω2|的最小值为4-5.
6.ACD　由(z2+9)(z2-2z+4)=0,得z2+9=0或z2-2z+4=0,
即z2=-9或(z-1)2=-3,
解得z=±3i或z=1±i,
故方程的根分别为z1=3i,z2=-3i,z3=1+i,
所以z1+z2+z3+z4=3i+(-3i)+(1+i)=2.
故选ACD.
7.答案　(-2,2)
解析　设方程的一个根为m+ni(m,n∈R),则方程的另一个根为m-ni,
∵方程有一个模为1的虚根,
∴m2+n2=1,由根与系数的关系得b=m2+n2=1,
又Δ=a2-4b=a2-4<0,∴-2∴a的取值范围为(-2,2).
8.解析　(1)因为关于x的方程x2-3ax-3a=0(a∈R)的两个虚数根分别为x1,x2,
所以Δ=9a2+12a<0,解得-则|x1|=,
因为-所以|x1|的取值范围是(0,2).
(2)-4x1x2|=|9a2+12a|=1,
因为9a2+12a<0,所以9a2+12a=-1,
所以a=-.
9.解析　(1)若该方程没有实数根,则Δ=4a2-4(a2-4a+4)<0,解得a<1,
由x2-2ax+a2-4a+4=0,得(x-a)2-4(a-1)=0,
即(x-a)2-(2i)2=0,
即(x-a+2i)=0.
∴在复数范围内,x2-2ax+a2-4a+4=(x-a+2i)·(x-a-2i).
(2)当Δ=4a2-4(a2-4a+4)≥0,即a≥1时,α,β都是实数,
由根与系数的关系可知故α,β都是非负数,∴|α|+|β|=α+β=2a=3,解得a=.
当Δ=4a2-4(a2-4a+4)<0,即a<1时,方程有两个共轭虚根,设为m+ni,m-ni(m,n∈R),
则
故|α|+|β|=2=2|a-2|=3,
解得a=或a=(舍去).
综上所述,a=或a=.
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