2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--7.3 复数的三角表示（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
基础过关练
题组一　复数的三角形式及其与代数形式的互化
1.若非零复数z有一个辐角为-,则(　　)
A.z的辐角唯一
B.z的辐角主值唯一
C.z的辐角主值为-
D.z的辐角主值为
2.-1-i的三角形式是(　　)
A.-2
B.2
C.2
D.2
3.(2022河南开封月考)设z1=-1+,则arg z2=(　　)
A.π
4.(2022广东广州实验中学期中)复数z=cos的辐角主值为(　　)
A.
5.已知复数z-1的一个辐角为,z+1的一个辐角为,则复数z等于(　　)
A.i
C.i
6.(2022安徽合肥第八中学期中)复数z=+i的三角形式是　　　　.
7.把下列复数表示成代数形式.
(1)z1=3;
(2)z2=;
(3)z3=2.
题组二　复数三角形式的乘、除运算
8.(2021江苏丹阳高级中学月考)已知复数z1=cos,则z1z2的代数形式是(　　)
A.
C.i
9.(多选题)(2022湖北仙桃中学月考)已知单位向量对应的复数分别为z1,z2,且=0,则可能为(　　)
A.i　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-i
10.(多选题)(2022福建莆田一中期中)已知i为虚数单位,若z1=
r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),……,zn=rn(cos θn+isin θn),则z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].根据上述公式,可判断下列命题错误的是(　　)
A.若z=cos,则z4=-i
B.若z=cos,则z5=1+i
C.若z1=2,z2=3cos,则z1z2=6+6i
D.若z1=3,z2=4cos,则z1z2=6-6i
11.复数z=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　　　　.
12.计算:
(1)8;
(2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)];
(3)4÷.
13.(2022山东济宁邹城期中)(1)在复平面内画出复数z=1-i对应的向量,并把z=1-i表示成三角形式;
(2)已知z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=,θ1,θ2∈,试求z1z2.(结果表示为代数形式)
题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用
14.(多选题)已知在正方形OABC中,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　)
A.点B对应的复数为1+3i
B.向量对应的复数为-1+2i
C.向量对应的复数为1+2i
D.|
15.设复数z1=2sin θ+icos θ,将向量绕原点O按顺时针方向旋转对应的复数为z2=r(cos φ+isin φ),则tan φ=　　　　.
16.(2021福建漳州第一中学期末)如果向量对应的复数为-2i,绕原点O按顺时针方向旋转后,再把模变为原来的,则对应的复数为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.A 5.B 8.D 9.AD 10.BCD
14.ABD
1.B　∵辐角主值的范围是[0,2π),任何一个非零复数都有唯一的辐角主值,
∴非零复数z有唯一的辐角主值,为.
故选B.
2.B　由题意得r==2,cos θ=-,复数-1-i在复平面内对应的点在第三象限,
所以arg(-1-,
所以-1-=2cos,故选B.
3.B　z2=i,复数z2在复平面内对应的点是,位于第三象限,设z2的辐角为θ,则tan θ=,
所以arg z2=.
故选B.
4.A　设复数z=cos的辐角为θ,
则tan θ=,
所以θ=-π+2kπ,k∈Z,
因为arg z∈[0,2π),所以arg z=.
故选A.
5.B　设z=a+bi(a,b∈R),
∵z-1=a-1+bi的一个辐角为,
∴tan,①
∵z+1=a+1+bi的一个辐角为,
∴tan,②
联立①②,得∴z=-i.故选B.
6.答案　z=2(答案不唯一)
解析　z=.
7.解析　(1)z1=3cosi.
(2)z2=i.
(3)z3=2i.
8.D　z1z2=
=
=i.故选D.
9.AD　设复数z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,θ1,θ2∈R,
因为=0,所以,即θ1-θ2=±+2kπ,k∈Z,
所以=±i.故选AD.
10.BCD　A.若z=cos,则z4=cosi,所以A中命题正确;
B.若z=cos,则z5=cos π+isin π=-1,所以B中命题错误;
C.若z1=2,
z2=3,
则z1z2=6=-6i,所以C中命题错误;
D.若z1=3,z2=4,
则z1z2=12+6i,所以D中命题错误.
故选BCD.
11.答案　
解析　
=cos
=cos,
∴复数z=+i与它的共轭复数 　对应的两个向量的夹角为.
12.解析　(1)8
=32cos
=32
=32+16i.
(2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)]
=[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]
=(cos 75°+isin 75°)=
=i.
(3)4÷
=4(cos 0+isin 0)÷
=4i.
13.解析　(1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1),
所以z对应的向量如图所示.
易得r=,设z的辐角的主值为θ,
则tan θ=-1,所以θ=,
所以1-i=.
(2)因为cos(π+θ1+θ2)=-cos(θ1+θ2)=,
所以cos(θ1+θ2)=-.
因为θ1,θ2∈,所以θ1+θ2∈,
所以sin(θ1+θ2)=,
所以z1z2=(cos θ1+isin θ1)(cos θ2+isin θ2)
=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)=-i.
14.ABD　把向量绕点O按逆时针方向旋转45°,再把模变为原来的,
故向量对应的复数为(2+i)(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,故点B对应的复数为1+3i,选项A正确;
把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,故对应的复数为(2+i)(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,选项B正确;
由四边形OABC是正方形可知,对应的复数,即-(2+i)=-2-i,选项C不正确;
|,选项D正确.
故选ABD.
15.答案　
解析　因为|z1|=,
所以z1=,
设cos β=,sin β=,
则β∈,tan β=,
z2=
=,
即r=,cos φ=cos,
sin φ=sin,
故tan φ=
=.
16.答案　-i
解析　因为-2i=2,
所以由题意可得对应的复数为
2
=3
=3i.
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