2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.2 立体图形的直观图（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.2　立体图形的直观图
基础过关练
题组一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
1.(2022江苏徐州沛县月考)斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是(　　)
A.矩形的直观图一定是矩形
B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C.平行四边形的直观图一定是平行四边形
D.菱形的直观图一定是菱形
2.水平放置的△ABC的直观图如图,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,则在△ABC中,下列四个结论中正确的是　　(　　)
A.AB=BC=AC
B.AD⊥BC
C.AC>AD>AB
D.AC>AD>AB=BC
3.用斜二测画法画水平放置的边长为2 cm的正三角形的直观图.
题组二　空间几何体的直观图的画法
4.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
5.已知一个正六棱柱的底面边长为1 cm,高为3 cm,画出它的直观图.
题组三　平面图形直观图的有关计算
6.(2023湖南邵阳二中期中)如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为2 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(　　)
A.16 cm　　　　B.8 cm　　　　
C.8 cm　　　　D.(4+4)cm
7.(2023上海华东师范大学第二附属中学月考)有一块四边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示,∠ABC=45°,AD∥BC,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为　　　　.
8.已知坐标原点O为AC的中点,且点A在x轴上,等边三角形ABC的面积为,将△ABC水平放置,用斜二测画法画出它的直观图为△A'B'C',则点B'到A'C'的距离为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 2.C 4.C 6.A
1.C　根据斜二测画法的规则知线段的平行性不变,所以平行四边形的直观图一定是平行四边形,故选C.
2.C　根据斜二测画法,把直观图中的△A1B1C1还原成原图形,如图所示:
则△ABC为直角三角形,AB⊥BC,且AB=2BC,BD=DC,
则AC>AD>AB.故选C.
3.解析　(1)如图①,在边长为2 cm的正三角形ABC中,取AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,两轴相交于点O,如图②,画出对应的x'轴,y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°;
(2)在图②中,以O'为中点,在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'C'=OC,连接A'C',B'C';
(3)擦去辅助线,则所得三角形A'B'C'即为正三角形ABC水平放置的直观图,如图③.
4.C　由比例可知,所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法可知,直观图的相应尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm和1.6 cm.
5.解析　(1)画轴.如图①,画x轴,y轴,z轴,三轴相交于O,使得∠xOy
=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC,使FC=2 cm,在y轴上以O为中点取线段GH,使GH= cm,分别过点G,H作x轴的平行线,并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=1 cm,ED=1 cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取3 cm长的线段AA',BB',CC',DD',EE',FF'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到所要求作的正六棱柱的直观图了,如图②所示.
　
6.A　∵直观图中正方形O'A'B'C'的边长为2 cm,
∴O'B'=2 cm,
由题中直观图画出原平面图形,如图所示,易知四边形OABC为平行四边形,OA=BC=O'A'=2 cm,OB=2O'B'=4 cm,
∴AB=CO==6 cm,故原图形的周长为2×6+2×2=16(cm).故选A.
7.答案　2+
解析　∵∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,
∴BC=1+.易知原平面图形为直角梯形,其上底为1,下底为1+,高为2,
故这块菜地的面积为.
一题多解　∵∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,
∴BC=1+,
∴S直观图=,
∴S原图=2.
故这块菜地的面积为2+.
8.答案　
解析　在平面直角坐标系中,等边三角形ABC如图①所示.以O'为原点画出水平放置的△ABC的直观图,如图②所示,过B'作B'D⊥x'轴,垂足为D,则B'到A'C'的距离为B'D的长.
因为等边三角形ABC的面积为,所以它的边长为2,则BO=,
又∠A'O'B'=45°,所以B'D=,
故点B'到A'C'的距离为.
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