2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基础过关练
题组一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.(2022辽宁营口第二高级中学月考)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2a2 C.a2a2
2.(2022河南周口期末)已知一个直三棱柱的高为2,如图,其底面ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A'B'C',其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则此三棱柱的表面积为(　　)
A.4+4C.8+4
3.(2023湖北腾云联盟联考)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长4,高为3,则其表面积为　　(　　)
A.36　　　　 B.12+20
C.12+20　　　　D.48
4.(2023安徽宿州期中)一房屋顶部可以看成一个正四棱锥,其底面四边形的对角线长是侧棱长的倍,则该正四棱锥的一个侧面面积与底面面积的比值为(　　)
A.
题组二　棱柱、棱锥、棱台的体积
5.(2022福建宁德期中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为AA1的中点,F为CC1上一点,则三棱锥A1-D1EF的体积是(　　)
A.6　　　　B.
6.(多选题)(2023河南开封期中)已知正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,则(　　)
A.正四棱台的高为2 B.正四棱台的斜高为
C.正四棱台的表面积为20+12D.正四棱台的体积为
7.(2022浙江学业水平测试)某广场设置了一些石凳供大家休息,每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的(如图,从棱的中点截).如果被截正方体的棱长是4 dm,那么一个石凳的体积是　　　　dm3.
8.如图,在三棱锥D-AEF中,A1,B1,C1分别是DA,DE,DF的中点,B,C分别是AE,AF的中点,设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1,三棱锥D-AEF的体积为V2,则V1∶V2=　　　　.
能力提升练
题组一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.(2022山西部分学校期末)在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=,且PA=PB=2,PC=4,则该三棱锥的表面积为(　　)
A.5C.5
2.(2022吉林第一中学期中)如图1所示,已知正方体的面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图2所示的几何体,那么该几何体的表面积为　　　　.
　 图1　　　　　　　　图2
3.(2022上海外国语大学附属外国语学校期中)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,若截去的小正棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为　　　　.
题组二　棱柱、棱锥、棱台的体积
4.(2023河北唐山开滦第二中学模拟)下图是随着粮食生产而发展出来的用具——米斗.若将某个米斗近似看作一个正四棱台,其中两个底面的边长分别为30 cm、60 cm,且米斗的容积为42 000 cm3,则该米斗的侧棱长为(　　)
A.20 cm　　　　B.25 cm C.20 cm　　　　D.25 cm
5.(2023山东青岛第一中学月考)如图1,水平放置的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=AC=2,现往容器内灌进一些水,水深为2.将容器底面的一边AB固定于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面形状恰好为三角形A1B1C,如图2,则容器的高h为(　　)
　
A.3　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.6
6.(多选题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列结论正确的是(　　)
A.直三棱柱的侧面积是4+2
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E-AA1O的体积为定值
D.AE+EC1的最小值为2
7.如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的棱台中,过上底面的边A'B'作一个平面把三棱台分成三棱柱和五面体两部分,则三棱柱和五面体的体积之比为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.BCD
1.A　如图,PA,PB,PC两两垂直且PA=PB=PC,
△ABC为等边三角形,AB=a,
则PA=PB=PC=a,
∴此三棱锥的表面积为a2.
故选A.
2.C　由斜二测画法可得△ABC如图所示,其中OA=2,OB=OC=1,所以AB=AC=,所以所求三棱柱的表面积为2×.
故选C.
3.B　如图,设正四棱台上、下底面的中心为O,O1,侧面上、下底边的中点为C,D,过C作CE⊥O1D,交O1D于点E,则O1O=3,OC=1,O1D=2,所以CD=,所以正四棱台的侧面积为,又正四棱台的上、下底面的面积和为22+42=20,
所以正四棱台的表面积为20+12.
故选B.
4.B　如图所示,将该房屋顶部看成正四棱锥P-ABCD,PO是四棱锥的高,
设AB=a,则底面四边形的对角线长为a,侧棱长为a,
则正四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形,一个侧面的面积为a2,
又S四边形ABCD=a2,
∴该正四棱锥的一个侧面面积与底面面积的比值为=.
故选B.
5.B　易得A1D1·A1E=×2×1=1,
则·C1D1=.
故选B.
6.BCD　对于A,易得正四棱台上、下底面的对角线长分别为2,
∴正四棱台的高为,A错误;
对于B,正四棱台的斜高为,B正确;
对于C,易得正四棱台的侧面积为4×,上、下底面面积分别为4,16,
∴正四棱台的表面积为4+16+12,C正确;
对于D,正四棱台的体积为,D正确.
故选BCD.
7.答案　
解析　正方体的体积为43=64(dm3),正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥,截去的一个正三棱锥的体积为(dm3),
则一个石凳的体积为64-8×(dm3).
8.答案　3∶8
解析　设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则三棱锥D-AEF的高为2h,
因为B,C分别为AE,AF的中点,所以S△AEF=4S△ABC,
由题意知V1=S△ABC·h,V2=S△AEF×2h=×4S△ABC×2h=V1,
所以V1∶V2=3∶8.
能力提升练
1.A 4.B 5.A 6.ACD
1.A　如图,因为PA=PB=2,∠APB=,所以△PAB为等边三角形,AB=2,S△APB=.
在△PBC中,由余弦定理得BC2=PC2+PB2-2PB·PC·cos∠BPC=16+4-2×2×4×=12,所以BC=2,
同理可得AC=2.
因为BC2+PB2=PC2,AC2+PA2=PC2,
所以由勾股定理的逆定理可得BC⊥BP,AC⊥AP,
所以S△APC=S△BPC=.
取AB的中点M,连接CM,则AM=BM=1,
因为AC=BC=2,所以CM⊥AB,
故CM=,
故S△ABC=AB·CM=,
所以三棱锥P-ABC的表面积为5.
故选A.
2.答案　(4+2)a2
解析　因为正方体的面对角线长为a,所以正方体的棱长为a,
易知题图2所示的几何体是平行六面体,上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形,其面积均为a×a2,前、后两个面是由两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形,其面积均为2××a×a=a2,左、右两个面是边长为a的正方形,其面积均为a×a=a2,
则该几何体的表面积为2()a2.
3.答案　5+3
解析　正四棱锥P-ABCD如图所示,设截面四边形为A1B1C1D1,
由题意可知,截面四边形A1B1C1D1与底面四边形ABCD相似且面积之比为1∶4,则,又PA1=PB1=2,所以PA=PB=4,从而AA1=BB1=2,由AB=2,可得A1B1=1,作B1E⊥AB于E,则B1E为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的斜高,易得B1E=.故此棱台的表面积为1×1+2×2+4×.
4.B　设正四棱台的高为h cm,依题意得,42 000×(900+3 600+
30×60)h,解得h=20,
易得两底面的对角线长分别为30 cm,60 cm,故侧棱长为(cm),
故选B.
5.A　在题图1中,V水=×2×2×2=4,
在题图2中,V水=h,
∴h=4,∴h=3.故选A.
6.ACD　由题意得,△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形,三棱柱的侧面全是矩形,所以三棱柱的侧面积为1×2×2+,故A正确;
直三棱柱的体积为S△ABC·AA1=×1×1×2=1,故B不正确;
因为点E是侧棱BB1上的一个动点,所以三棱锥E-AA1O的高为定值,又,所以,故C正确;
将侧面BB1C1C翻折至水平状态,如图,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,则E为BB1的中点,
此时AE+EC1的值最小,为2,故D正确.
7.答案　3∶4
解析　∵三棱台上、下底面的对应边的比为1∶2,
∴上、下底面三角形的面积之比为1∶4,
故设上、下底面的面积分别为S,4S,
易知三棱柱和三棱台的高相同,设为h,
则三棱柱的体积V1=Sh,
三棱台的体积V2=Sh,
∴五面体的体积为V2-V1=Sh,
故三棱柱和五面体的体积之比为1∶=3∶4.
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