2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.(2023福建漳州模拟)已知某圆锥的底面半径为1,高为,则它的侧面积与底面积的比值为(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
2.(2022安徽安庆月考)圆台OO'的母线长为3,两底面半径分别为1,2,则圆台OO'的侧面积为　　(　　)
A.3π　　　　B.9π　　　　C.10π　　　　D.14π
3.(2023河北邯郸月考)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积为(　　)
A.π或(1+)π
C.2π或(2+)π
4.(2022河北秦皇岛期末)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是　　　　.
题组二　圆柱、圆锥、圆台的体积
5.(2023安徽卓越县中联盟开学考试)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为3π,则该圆锥的体积为(　　)
A.π
6.(2022广东汕头金山中学期末)如图,已知圆台的下底面半径为2,高为2,母线长为,则这个圆台的体积为(　　)
A.π
7.(2023辽宁名校联盟月考)若圆锥的侧面积为2π,底面积为π,则该圆锥的体积为(　　)
A.
8.(2023江苏徐州期中)降雨量:从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗透、流失,而在水平面上积聚的深度.降雨量以mm为单位,气象观测中一般取一位小数.现某地10分钟的降雨量为13.1 mm,小王在此地此时间段内用口径为10 cm的圆柱形量筒收集的雨水的体积约为(参考数据:π≈3.14)(　　)
A.1.02×103 mm3　　　　B.1.03×103 mm3
C.1.02×105 mm3　　　　D.1.03×105 mm3
9.已知圆柱O1O2的体积为2π,侧面积为4π.
(1)求圆柱O1O2的底面半径和母线长;
(2)以上底面圆的圆心O1和下底面圆构成圆锥O1O2,求此圆锥的表面积.
题组三　球的表面积和体积
10.记64个直径都为的球的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;1个直径为a的球的体积为V乙,表面积为S乙,则(　　)
A.V甲>V乙且S甲>S乙　　　　B.V甲C.V甲=V乙且S甲>S乙　　　　D.V甲=V乙且S甲=S乙
11.(2023上海普陀模拟)现有一个底面半径为2 cm、高为9 cm的圆柱形实心铁料,若将其熔铸成一个球形实心工件,则该工件的表面积为　　　　cm2.(损耗忽略不计)
12.(2022福建福州期末)如图,过球O的一条半径OP的中点O1,作垂直于该半径的平面,所得截面圆的半径为,则球O的体积是　　　　.
题组四　简单组合体的表面积和体积
13.(2023浙江台州模拟)如图所示的粮仓可以看成圆柱与圆锥的组合体,设圆锥部分的高为0.5米,圆柱部分的高为2米,底面圆的半径为1米,则该粮仓可容纳粮食(　　)
A.立方米　　 B.2π立方米 C.立方米　　　 D.立方米
14.毡帐是牧民居住的一种房子,内部木架结构,外部毛毡围拢,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体,圆锥的高为3米,圆柱的高为2.5米,底面直径为8米,则建造该毡帐需要毛毡(　　)
A.36π平方米　　　　B.40π平方米
C.46π平方米　　　　D.50π平方米
15.(2023重庆西南大学附属中学期中)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=4,BC=5,若将该图形中阴影部分(梯形剪去一个扇形)绕AB所在直线旋转一周,求形成的几何体的表面积与体积.
能力提升练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
1.(2023广东佛山质检)如图,已知四边形ABCD是圆柱O1O2的轴截面,AD∶AB=3∶2,在圆柱O1O2内部有两个圆锥(圆锥PO1和圆锥PO2),若∶=2∶1,则圆锥PO1与圆锥PO2的侧面积之比为(　　)
A.2∶1　　 B.∶C.∶　　D.1∶1
2.(多选题)(2023河北保定统考)沙漏是一种计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(连接管道长度忽略不计).假设该沙漏每秒漏下0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则以下结论正确的是(　　)
A.沙漏的侧面积是9π cm2
B.沙漏中细沙的体积为 cm3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837秒(π≈3.14)
3.(多选题)(2021浙江A9协作体期中)某圆锥的底面半径为3,母线长为4,则下列关于该圆锥的说法正确的是(　　)
A.该圆锥的侧面展开图的圆心角为
B.该圆锥的体积为9π
C.过该圆锥的两条母线所作截面的面积的最大值为8
D.该圆锥轴截面的面积为
4.(2022浙江诸暨中学期中)如图,已知圆台O1O2,在轴截面ABCD中,CD=2AB,且AB=AD=BC=2,则该圆台的体积为　　　　,侧面积为　　　　.
5.(2022福建莆田期末)已知圆台的轴截面面积为10,且轴截面中腰与下底的夹角为45°,则圆台的侧面积为　　　　.
6.(2022河北邢台卓越联盟月考)如图所示,已知母线长为4的圆锥AO,其侧面展开图为半圆.
(1)求圆锥的底面积;
(2)在该圆锥内按如图所示的方式放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.
题组二　球的表面积和体积
7.(2023福建厦门模拟)西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一,是一款非常实用的泡茶工具(如图1).西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体,球缺的体积V=(R为球缺所在球的半径,h为球缺的高).若一个西施壶的壶身的高为8 cm,壶口直径为6 cm(如图2),则该壶壶身的容积约为(不考虑壶壁厚度,π取3.14)(　　)
　
A.494 mL　　　　B.506 mL C.509 mL　　　　D.516 mL
8.(2022湖北省级示范高中模拟)在△ABC中,AB=4,BC=3,AC=5,以AC所在直线为轴旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的内切球的表面积为(　　)
A.π　　　 C.π
9.(2022河南安阳联考)将大小不同的两个空心铁球O2,O1依次放入一倒置、有盖且装满水的圆锥形容器中,其轴截面如图所示.已知两球相切,两球均与圆锥形容器的侧面相切,且上面的大球O1与圆锥形容器的上盖也相切.圆锥形容器的轴截面是边长为6的正三角形ABC,则放入两球后溢出的水的体积为　　　　.
题组三　简单组合体的表面积和体积
10.(2021江苏无锡月考)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一,并为中国所特有,图1、图2是北京故宫太和殿斗拱实物图,图3是斗拱构件之一的斗的几何示意图,图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2,高为9 cm,长方体形凹槽的高为12 cm,斗的密度是0.50 g/cm3,那么这个斗的质量是(　　)
A.3 990 g　　　　B.3 010 g　　　　
C.6 900 g　　　　D.6 300 g
11.(2023浙江杭州第四中学期中)如图所示,以线段AB为直径的半圆上有一点C,且BC=1,AC=,将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体.
(1)求形成的几何体的体积;
(2)求形成的几何体的表面积.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 2.B 3.B 5.A 6.A 7.D 8.D 10.C
13.C 14.B
1.C　圆锥的侧面积S1=π×1×=2π,底面积S2=π×12=π,故=2.
故选C.
2.B　由题可得圆台OO'的侧面积为π×(1+2)×3=9π.故选B.
3.B　需要分类讨论,一种是绕直角边所在直线旋转,一种是绕斜边所在直线旋转.
如果绕直角边所在直线旋转,那么形成的几何体是圆锥,圆锥的底面半径r=1,高h=1,母线长l=,
故所形成的几何体的表面积为πrl+πr2=π×1×)π;
如果绕斜边所在直线旋转,那么形成的几何体是两个圆锥的组合体,每个圆锥的半径是直角三角形斜边上的高,则半径R=,
两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,即母线长L=1,
故所形成的几何体的表面积为2πRL=2π×π.
综上所述,所形成的几何体的表面积为π或(1+)π.
故选B.
4.答案　
解析　设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面展开图的边长为2πr,即圆柱的高为2πr,
∴圆柱的侧面积为(2πr)2=4π2r2,表面积为4π2r2+2πr2,
故圆柱的表面积与侧面积的比值是.
5.A　设圆锥的底面半径为r,根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得,圆锥的高h=r,母线长l=r,
圆锥的侧面积为πrl=π,解得r=,
所以圆锥的体积为π.
故选A.
6.A　设圆台的上底面半径为r,则有()2=(2-r)2+22,解得r=1或r=3(舍去).
∴圆台的体积V=π.故选A.
7.D　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则πrl=2π,πr2=π,故r=1,l=2,
所以圆锥的高为,
故圆锥的体积为.故选D.
8.D　根据题意,口径为10 cm的圆柱形量筒的半径为5 cm=50 mm,
故所收集的雨水的体积V≈3.14×502×13.1=102 835≈1.03×105(mm3).
故选D.
9.解析　(1)设圆柱O1O2的底面半径为r,母线长为l,
则由圆柱O1O2的体积为2π,侧面积为4π得
所以圆柱O1O2的底面半径为1,母线长为2.
(2)由(1)知,圆锥O1O2的底面半径为1,高为2,
所以圆锥O1O2的母线长为,
所以圆锥O1O2的表面积为π×12+π×1×)π.
10.C　V甲=64×,S甲=64×4π×=4πa2,V乙=,S乙=4π×=πa2,故V甲=V乙且S甲>S乙,故选C.
11.答案　36
解析　设球的半径为R cm,则π×22×9=πR3,解得R=3,所以该工件的表面积为4πR2=36π(cm2).
12.答案　π
解析　设球O的半径为R,则R2-)2,解得R=2或R=-2(舍去),
∴球O的体积V=π.
13.C　由题知底面圆的半径r=1米,圆柱的高h1=2米,圆锥的高h2=米,
则圆柱的体积V1=πr2h1=2π(立方米),
圆锥的体积V2=(立方米),
所以该组合体的体积V=V1+V2=(立方米).
故选C.
14.B　圆柱的侧面积为π×8×2.5=20π(平方米),
圆锥的母线长为=5(米),侧面积为π××5=20π(平方米).
所以建造该毡帐需要毛毡20π+20π=40π(平方米).
故选B.
15.解析　由题意知,形成的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球,其表面由圆台下底面、侧面和一半球面组成.
在直角梯形ABCD中,过D点作DE⊥BC,垂足为E,
则DE=AB=4,CE=BC-AD=3.
在Rt△DEC中,CD==5,
∴S半球=×4π×22=8π,S圆台侧=π×(2×5+5×5)=35π,S圆台下底=25π,
∴S表=8π+35π+25π=68π.
∵圆台的体积V=+π×52)×4=52π,半球的体积V1=π,
∴所求几何体的体积为V-V1=π.
能力提升练
1.B 2.BD 3.AC 7.A 8.B 10.C
1.B　设r为圆柱O1O2的底面半径,则AB=2r,由AD∶AB=3∶2,得AD=3r,
由∶=2∶1可得PO1∶PO2=2∶1,故PO1=2r,PO2=r,
则PA=r,故圆锥PO1的侧面积为πr2,圆锥PO2的侧面积为πr2.所以圆锥PO1与圆锥PO2的侧面积之比为∶.故选B.
2.BD　A选项,设下面圆锥的母线长为l,则l=(cm),
故下面圆锥的侧面积S=π×3×3π(cm2),故沙漏的侧面积为2S=18π(cm2),故A错误;
B选项,因为细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的,所以细沙形成的圆锥的底面半径为×3=2(cm),高为6×=4(cm),故其底面积为π×22
=4π(cm2),所以沙漏中细沙的体积为(cm3),B正确;
C选项,由B选项可知,细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为 cm3,其中此锥形沙堆的底面积为π×32=9π(cm2),故其高度为≈1.8(cm),C错误;
D选项,÷0.02≈≈837(秒),故该沙漏的一个沙时大约是837秒,D正确.
故选BD.
3.AC　对于A,因为圆锥的底面半径为3,所以圆锥的底面周长为2π×3=6π,又因为圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为,故A选项正确.
对于B,因为圆锥的底面半径为3,母线长为4,所以圆锥的高h=,故圆锥的体积V=π,故B选项不正确.
对于C,设圆锥的两条母线的夹角为θ,则过这两条母线所作截面的面积为×4×4×sin θ=8sin θ,易知过圆锥母线的截面中,轴截面三角形对应的θ最大,此时cos θ=,所以θ最大是钝角,所以当θ=时,截面的面积最大,为×42=8,故C选项正确.
对于D,易知圆锥的轴截面的面积为,故D选项不正确.故选AC.
4.答案　;6π
解析　易知圆台的高为,上、下底面半径分别为1,2,母线长为2,
则圆台的体积V=π,侧面积S=π×
(1×2+2×2)=6π.
5.答案　10π
解析　如图所示,
设圆台的下底面半径FB=R,上底面半径EC=r,高为h,
过点C作CM⊥AB,交AB于点M,则CM=h.
在Rt△CMB中,∠MBC=45°,MB=R-r,
∴h=R-r,CB=(R-r),
则圆台轴截面的面积为(2R+2r)h=(R+r)(R-r)=10,
故圆台的侧面积S=π(R+r)·π.
6.解析　(1)由题意得圆锥的侧面展开图是以4为半径的半圆,设OB=R,因为半圆的弧长为4π,
所以2πR=4π,所以R=2,
故圆锥的底面积为πR2=12π.
(2)设圆柱的高OO1=h,OD=r,
在Rt△AOB中,AO==6,
易知△AO1D1∽△AOB,
所以,即,所以h=6-r,
所以圆柱的侧面积S=2πrh=2πr(6-π,易得0所以当r=时,圆柱的侧面积最大,此时h=3,所以V圆柱=πr2h=9π.
7.A　如图所示,
依题意,AB=6 cm,O为球心,D为壶口所在圆的圆心,所以AD=DB=3 cm,
因为DE=8 cm,所以OD=OE=4 cm,且OD⊥AB,
则OB==5(cm),
所以球的半径R=5 cm,所以球缺的高h=5-4=1(cm),
所以球缺的体积V=(cm3),所以该壶壶身的容积为≈494(mL).故选A.
8.B　旋转体的轴截面如图所示,其中O为内切球的球心,过O作AB,BC的垂线,垂足分别为E,F,则OE=OF=r(r为内切球的半径),
故AO=r,
故5=AO+OC=r,故r=,
故旋转体的内切球的表面积为4π×π.
故选B.
9.答案　π
解析　设球O2,O1的半径分别为r,R,易知正三角形ABC的高h=3,
由h=O1A+R=2R+R=3,可得R=,
由O2A=h-2R-r=-r=2r,可得r=,
所以放入两球后溢出的水的体积为π.
10.C　由题意可知,棱台的体积为)×9=
5 700(cm3),
设长方体形凹槽的长为x cm,宽为y cm,则xy=900,
因为长方体形凹槽的高为12 cm,
所以长方体形凹槽的体积为12xy-6x·y=9xy=8 100(cm3),
所以斗的体积为5 700+8 100=13 800(cm3),
因此斗的质量为13 800×0.50=6 900(g).故选C.
11.解析　(1)所得几何体为半球挖掉两个半圆锥,过点C作CO1⊥AB,垂足为O1,如图.
因为AC=,BC=1,所以AB=2,故CO1=.
以直线AB为轴将Rt△AO1C旋转180°得到一个半圆锥,其体积V1=×AO1,
以直线AB为轴将Rt△BO1C旋转180°得到一个半圆锥,其体积V2=×BO1,
则V1+V2=,
以直线AB为轴将半圆旋转180°得到一个半球,其体积V3=π,
故V几何体=V3-V1-V2=π.
(2)以直线AB为轴将Rt△AO1C旋转180°得到一个半圆锥,其侧面积S1=π,
以直线AB为轴将Rt△BO1C旋转180°得到一个半圆锥,其侧面积S2=π,
以直线AB为轴将半圆旋转180°得到一个半球,其表面积S3=×4π×12=2π,
正面为一个圆去掉两个三角形,其面积S4=π×12-2×,
故S几何体=S1+S2+S3+S4=.
易错警示　这个几何体是旋转180°得到的,在计算体积的时候,不要忘记乘;在求表面积的时候,需要求四个部分,即两个半圆锥的表面积S1、S2,半球的表面积S3,正面圆挖掉两个三角形后的面积S4,在计算的时候S4容易被忽略,需要注意.
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