2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.4.1 平面（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
基础过关练
题组一　点、直线、平面之间位置关系的三种语言转换
1.点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内可以用符号语言表示为(　　)
A.A a,a α,B∈α　　　　B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α　　　　D.A∈a,a∈α,B∈α
2.(2021河南郑州中学月考)如图所示,点、线、面的关系用符号语言可表示为(　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
题组二　平面的基本事实及其应用
3.在下列条件下,能确定一个平面的是(　　)
A.空间的任意三点
B.空间的任意一条直线和任意一点
C.空间的任意两条直线
D.梯形的两腰所在的直线
4.下列命题是真命题的是(　　)
A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面
B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面
C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上
D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面
5.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必过(　　)
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
题组三　共点、共线、共面问题
6.在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩GH=P,则点P　　(　　)
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.既在直线AC上也在直线BD上
D.既不在直线AC上也不在直线BD上
7.(2022重庆第十八中学月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱D1C1的中点,设AM与平面BB1D1D的交点为O,则(　　)
A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1
B.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1
C.D1,O,B三点共线,且OB=OD1
D.D1,O,B三点不共线,且OB=OD1
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,求证:D1,E,F,B四点共面.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A
1.B　
2.A　平面α与平面β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表示为α∩β=m,n α,m∩n=A,故选A.
3.D　当三点共线时不能确定一个平面,A错误;
当点在直线上时不能确定一个平面,B错误;
若两条直线既不平行也不相交,则不能确定一个平面,C错误;
梯形的两腰所在的直线在梯形所在的平面上,可以确定一个平面,D正确.
故选D.
4.D　对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A,B错误;
对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误;
对于D,一条直线与两条平行直线都相交,易得这三条直线确定一个平面,故D正确.
故选D.
5.D　对于A,B,易得A,B β,故A,B不在γ与β的交线上,故A,B错误;
对于C,D,因为过A,B,C三点的平面记作γ,所以AB 平面γ,C∈γ.因为直线AB∩l=M,所以M∈AB,则M∈γ,又C∈γ,所以MC γ.
因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l β,又C∈β,所以MC β,所以β∩γ=MC,
所以γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确.
故选D.
6.B　如图,
∵EF 平面ABC,GH 平面ACD,EF∩GH=P,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD,
又平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,即点P一定在直线AC上.
故选B.
7.A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,C1D1∥CD∥AB,连接AD1,BD1,BC1,如图,
易知平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,
∵M为棱D1C1的中点,D1C1 平面ABC1D1,
∴M∈平面ABC1D1.
又A∈平面ABC1D1,
∴AM 平面ABC1D1.
又O∈AM,∴O∈平面ABC1D1,
∵AM与平面BB1D1D的交点为O,
∴O∈平面BB1D1D,
∴O∈BD1,即D1,O,B三点共线.
显然D1M∥AB,且D1M=AB,
∴OD1=OB,即OB=2OD1.
故选A.
8.证明　∵D1,E,F三点不共线,∴D1,E,F三点可确定一个平面,设为α,由题意可知D1E与DA共面于平面AA1D1D且不平行,故分别延长D1E,DA相交于点G,则G∈D1E,又D1E 平面α,∴G∈平面α.如图.
同理,设D1F与DC的延长线交于点H,则H∈平面α.
又∵点G,B,H均属于平面AC,E为AA1的中点且AE∥DD1,
∴AG=AD=AB,
∴△AGB为等腰直角三角形,
∴∠ABG=45°,同理∠CBH=45°.
又∵∠ABC=90°,∴点G,B,H共线.
又∵GH 平面α,∴B∈α.
∴点D1,E,F,B四点共面.
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