2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.5.1 直线与直线平行（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
基础过关练
题组一　基本事实4及其应用
1.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线　　(　　)
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,且在平面α内
C.有无数条,一定在平面α内
D.有无数条,不一定在平面α内
2.若直线a∥b,c,d为不重合的两条直线,且a∥c,b∥d,则c与d的位置关系是　　　　.
3.(2023上海奉贤致远高级中学开学考试)如图,在正方体中,A,B,C,D分别是顶点或所在棱的中点,则A,B,C,D四点共面的图形是　　　　(填上所有正确答案的序号).
　
　
4.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心,求证:DE∥AC,DE=AC.
题组二　等角定理及其应用
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,BB1的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等　　　　　　　B.互补
C.相等或互补　　　　　　　D.不确定
6.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
7.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是(　　)
A.相交　　　　B.异面 C.平行　　　　D.以上均有可能
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M是平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 5.B 6.BD 7.D
1.B　若过点P的直线不在α内,则l与该直线相交或异面,故过点P且平行l的直线在平面α内.假设过点P且平行于l的直线有两条,分别为m,n,则m∥l,n∥l,则由平行线的传递性得m∥n,与m,n相交于点P矛盾,故选B.
2.答案　c∥d
解析　因为a∥b,且a∥c,
所以b∥c或b与c重合,
又因为b∥d,所以c∥d或c与d重合,
因为c,d为不重合的两条直线,所以c∥d.
3.答案　①③④
解析　对于题图①,取GD的中点F,连接BF,EF,如图,
∵B,F均为所在棱的中点,∴BFHG,
又∵HGAE,∴BFAE,
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴AB∥EF.
同理,CD∥EF,
∴AB∥CD,故A,B,C,D四点共面,题图①符合;
对于题图②,显然AB与CD异面,故题图②不符合;
对于题图③,连接AC,BD,EF,如图,
∵BEFD,∴四边形BDFE为平行四边形,
∴BD∥EF.
∵A,C分别为所在棱的中点,∴AC∥EF,
∴BD∥AC,故A,B,C,D四点共面,题图③符合;
对于题图④,连接AC,BD,EF,GH,如图,
∵GEHF,∴四边形GEFH为平行四边形,∴GH∥EF,
∵A,C分别为所在棱的中点,∴AC∥EF,∴GH∥AC.
同理,BD∥GH,
∴BD∥AC,故A,B,C,D四点共面,题图④符合.
故答案为①③④.
4.证明　如图,连接PD,PE并延长,分别交AB于点G,交BC于点H,
则G,H分别是AB,BC的中点,连接GH,则GH∥AC,且GH=AC.
在△PHG中,,
所以DE∥GH,且DE=GH.所以DE∥AC,DE=AC.
5.B　因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,
所以EF∥A1B1,FG∥BC1,
又A1B1∥AB,所以EF∥AB,
所以∠EFG与∠ABC1的两条边分别对应平行,一组对应边方向相同,一组对应边方向相反,
故∠EFG与∠ABC1互补.
6.BD　由等角定理可知,A错误,B正确;由基本事实4可知,D正确;对于C,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但∠A1D1C1=,∠A1BC1=,故C错误.故选BD.
7.D　如图①②③所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,AC与A1C1的位置关系分别是平行、相交、异面.故选D.
图①　　　　　　　　图② 图③
8.证明　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点,∴MM1 AA1,
又AA1 BB1,∴MM1 BB1,
∴四边形BB1M1M是平行四边形.
(2)证法一:由(1)知四边形BB1M1M是平行四边形,∴B1M1∥BM.
同(1)可得四边形CC1M1M是平行四边形,
∴C1M1∥CM,
又∠BMC的两边和∠B1M1C1的两边方向相同,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
证法二:由(1)知四边形BB1M1M是平行四边形,
∴B1M1=BM.
同(1)可得四边形CC1M1M是平行四边形,
∴C1M1=CM,
又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1(SSS),
∴∠BMC=∠B1M1C1.
方法归纳　证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)等角定理.
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