2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.5.2 直线与平面平行（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.5.2　直线与平面平行
基础过关练
题组一　直线与平面平行的判定
1.下列说法正确的是(　　)
A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
B.若直线a在平面α外,则a∥α
C.若直线a∥b,b∥α,则a∥α
D.若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线
2.(2023山东潍坊昌邑月考)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,AC,BD交于点O,M为PB的中点,给出下列结论:①OM∥PD;
②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确结论的个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.在四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,BC=AD,E是PD的中点,则CE与平面PAB的位置关系是　　　　.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面ABB1A1.
题组二　直线与平面平行的性质
5.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,过BC的平面与平面PAD交于EF,E在线段PD上且异于P,D,则四边形EFBC是(　　)
A.空间四边形　　　　B.矩形
C.梯形　　　　 D.平行四边形
6.(2022广东中山期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P,则PC1=　　　　.
7.(2022山东青岛第十七中学期中)如图,P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面,交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
能力提升练
题组一　直线与平面平行的判定
1.(多选题)(2023重庆八中月考)如图所示,A,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足PQ∥平面ABC的有(　　)
　　　　
　　　　
2.(2022广东广州统考)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,下面结论错误的是(　　)
A.直线AE与直线BF异面
B.直线AE与直线DF异面
C.直线EF∥平面PAD
D.直线EF∥平面ABCD
3.(2023宁夏银川一中期中,)如图所示,P为 ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:BC∥l;
(2)MN与平面PAD是否平行 证明你的结论.
4.(2022山东聊城一中期中,)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,F,G分别为PB,AD的中点.
(1)证明:AF∥平面PCG;
(2)在线段BD上是否存在一点N,使得FN∥平面PCG,并证明你的结论.
题组二　直线与平面平行的性质
5.(2023河南洛阳期中)如图,已知圆锥的顶点为S,AB为底面圆的直径,M,C为底面圆周上的点,并将弧AB三等分,过AC作平面α,使SB∥平面α,设α与SM交于点N,则的值为　　(　　)
A.
6.(2022四川成都第七中学诊断)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P1,P2分别是线段AB,BD1上的动点(不包括端点),且P1P2平行于平面A1ADD1,则四面体P1P2AB1的体积的最大值为(　　)
A.2　　　　B.
7.如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长都为2,E为线段SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,求四边形CDEF的周长.
8.(2022福建福州第一中学期中,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:F为PD的中点;
(3)在棱AB上是否存在点N,使得FN∥平面BDE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 2.C 5.C
1.D　对于A,无数个点不是所有点,故A错误.
对于B,若直线a在平面α外,则a∥α或a与α相交,B错误.
对于C,D,若直线a∥b,b∥α,则a∥α或a α,C错误,
当a∥α时,a平行于平面α内的无数条直线,当a α时,a也平行于平面α内的无数条直线,D正确.
故选D.
2.C　由题意得O为BD的中点,在△PBD中,M是PB的中点,所以OM是△PBD的中位线,所以OM∥PD,又OM 平面PCD,PD 平面PCD,所以OM∥平面PCD,同理,OM∥平面PDA.因为M∈平面PBA,M∈平面PBC,所以OM与平面PBA、平面PBC均相交.
3.答案　CE∥平面PAB
解析　取PA的中点F,连接EF,BF,易得EF∥AD,且EF=AD,
又BC∥AD,且BC=AD,
所以EF∥BC,且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,则CE∥BF,又BF 平面PAB,CE 平面PAB,所以CE∥平面PAB.
4.证明　证法一:如图所示,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,
则.
易知B1C=BD,又CM=DN,∴B1M=BN.
∴.
∵BC=AD,
∴ME=NF.
∵ME∥BC,AD∥NF,AD∥BC,
∴ME∥NF,
∴四边形MNFE为平行四边形,∴MN∥EF.
∵MN 平面ABB1A1,EF 平面ABB1A1,
∴MN∥平面ABB1A1.
证法二:如图所示,连接CN并延长,交BA的延长线于点P,连接B1P.
易知△DNC∽△BNP,
∴.
∵CM=DN,B1C=BD,∴B1M=BN,
∴,∴MN∥B1P.
∵MN 平面ABB1A1,B1P 平面ABB1A1,
∴MN∥平面ABB1A1.
导师点睛　证明线线平行的常用方法
(1)基本事实4;(2)三角形、梯形中位线定理;
(3)平行四边形的性质;(4)平行线分线段成比例.
5.C　因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以BC∥平面PAD,
因为BC 平面EFBC,平面EFBC∩平面PAD=EF,
所以BC∥EF,
因为BC=AD,EF所以EF所以四边形EFBC为梯形,故选C.
6.答案　1
解析　连接AB1,交A1B于点E,连接PE,
∵AC1∥平面A1BP,AC1 平面AB1C1,平面A1BP∩平面AB1C1=PE,
∴PE∥AC1,
∵E是AB1的中点,∴P是B1C1的中点,
∴PC1=1.
7.证明　如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点.
又因为M是PC的中点,
所以AP∥OM.
因为AP 平面BDM,OM 平面BDM,
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM=GH,AP 平面PAHG,
所以AP∥GH.
能力提升练
1.BD 2.B 5.C 6.C
1.BD　对于A,如图(1),连接BD,则BD∥PQ,
因为BD∩平面ABC=B,所以PQ与平面ABC不平行,故A不符合题意;
对于B,因为PQ∥AC,PQ 平面ABC,AC 平面ABC,所以PQ∥平面ABC,故B符合题意;
对于C,如图(2),取FN的中点D,连接EF,MN,CD,BD,DQ,CP,
则AB∥EF,PQ∥MN,EF∥MN∥CD,故AB∥CD∥PQ,则A,B,C,D四点共面,易得AC∥DQ,D∈平面ABDC,所以DQ 平面ABDC,同理可得CP 平面ABDC,
所以A,B,C,D,P,Q六点共面(易错点:虽然PQ∥AB,但是PQ 平面ABC),故C不符合题意;
对于D,如图(3),连接PD,交AB于点O,连接OC,
则O为PD的中点,
又C为DQ的中点,所以OC∥PQ,
因为PQ 平面ABC,OC 平面ABC,所以PQ∥平面ABC,故D符合题意.
故选BD.
2.B　由题意知,该几何体是底面为正方形的四棱锥,如图所示,连接AE,EF,BF,DF,
易得EF∥BC,BC∥AD,则EF∥AD,故EF,AD共面,则AE,DF共面,故B中结论错误;因为F∈平面AEFD,B 平面AEFD,F不在直线AE上,所以直线AE与直线BF异面,故A中结论正确;
由EF∥AD,EF 平面PAD,AD 平面PAD,得直线EF∥平面PAD,故C中结论正确;
由EF∥AD,EF 平面ABCD,AD 平面ABCD,得直线EF∥平面ABCD,故D中结论正确.
故选B.
3.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD.因为AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,BC 平面PBC,
所以BC∥l.
(2)MN∥平面PAD.证明如下:
如图所示,取PD的中点E,连接NE,AE,则NE∥CD,且NE=CD.
因为CDAB,M为AB的中点,所以AM∥CD,且AM=CD,所以NEAM,所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE.又AE 平面PAD,MN 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
4.解析　(1)证明:取PC的中点H,连接GH,FH,
在△PBC中,H,F分别为PC,PB的中点,
∴FH∥BC,且FH=BC.
∵ADBC,G为AD的中点,
∴AG∥BC,且AG=BC,∴AGFH,
∴四边形AGHF为平行四边形,∴AF∥GH.
∵GH 平面PCG,AF 平面PCG,∴AF∥平面PCG.
(2)存在,证明如下:
连接BD,设BD∩CG=O,取OB的中点K,连接FK.
在△POB中,F,K分别为PB,OB的中点,
∴FK∥OP,
∵OP 平面PCG,FK 平面PCG,
∴FK∥平面PCG.
易知△DOG∽△BOC,∴=2,
∴BO=2DO,又BO=2KB,
∴K为BD上靠近点B的三等分点.
∴N在点K处时满足FN∥平面PCG,
即线段BD上存在满足条件的点N,且点N为线段BD上靠近点B的三等分点.
5.C　如图,连接MB,交AC于点D,连接ND,NA,NC,MC,BC,则平面NAC即为平面α.
因为SB∥平面α,平面SMB∩平面α=DN,SB 平面SMB,
所以SB∥DN.
因为AB为底面圆的直径,点M,C将弧AB三等分,
所以∠ABM=∠MBC=∠BMC=∠BAC=30°,MC=BC=AB,
所以MC∥AB,
所以,
因为SB∥DN,所以,
所以.故选C.
6.C　连接AD1,∵P1P2∥平面A1ADD1,P1P2 平面ABD1,平面A1ADD1∩平面ABD1=AD1,∴P1P2∥AD1,∴△P1P2B∽△AD1B,则.
设P1B=x,x∈(0,2),则P2B=x,
设P2到平面AA1B1B的距离为h,则,
∴h=x,
∴四面体P1P2AB1的体积V=×(2-x)×2×x
=,
∵0∴当x=1时,四面体P1P2AB1的体积取得最大值,为.
7.解析　由题意得四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB.
因为CD 平面SAB,AB 平面SAB,
所以CD∥平面SAB,
因为CD 平面CDE,平面CDE∩平面SAB=EF,
所以EF∥CD,则EF∥AB.
因为E为SA的中点,所以F为SB的中点,
所以EF=AB=1.
因为△SAD是边长为2的等边三角形,所以DE⊥SA,故DE=2sin 60°=,
同理可得CF=,
所以四边形CDEF的周长为3+2.
8.解析　(1)证明:连接AC,交BD于点G,连接GE,如图所示.
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以G为AC的中点,
又E为PC的中点,所以GE∥PA.
因为GE 平面BDE,PA 平面BDE,
所以PA∥平面BDE.
(2)证明:因为CD∥AB,AB 平面ABEF,CD 平面ABEF,
所以CD∥平面ABEF,又CD 平面PDC,平面PDC∩平面ABEF=EF,所以CD∥EF,
因为E为PC的中点,
所以F为PD的中点.
(3)在棱AB上存在点N,使得FN∥平面BDE,且=1,理由如下:
取AB的中点H,连接FH,
则BH=CD,且BH∥CD,
由(2)知CD∥EF,且EF=CD,
所以BH EF,所以四边形BHFE为平行四边形,
所以FH∥BE,而BE 平面BDE,FH 平面BDE,
所以FH∥平面BDE,故所求点N即为点H,
故在棱AB上存在点N,使得FN∥平面BDE,且=1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)