2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--8.6.1 直线与直线垂直（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
基础过关练
题组一　求异面直线所成的角
1.(2022陕西咸阳期末)在空间中,直线AB平行于直线EF,直线BC与EF为异面直线,若∠ABC=150°,则异面直线BC与EF所成角的大小为(　　)
A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°
2.一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中,下列说法正确的是(　　)
A.AB∥CD B.AB与CD相交
C.AB⊥CD D.AB与CD所成的角为60°
3.(2023浙江绍兴期末)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=3,点M为A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成角的余弦值为　　(　　)
A.C.
4.(2022江苏淮安淮海中学开学考试)如图,在四面体C-ABD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为(　　)
A.90°　　　　B.45°　　　　 C.60°　　　　D.30°
5.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小是　　　　.
题组二　空间两条直线所成的角的应用
6.(2022浙江精诚联盟返校考试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,异面直线AB与A1C所成角的大小为,则该长方体的表面积与体积的比值是(　　)
A.　　 C.
7.在四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD与AC所成的角为60°,且BD=AC=1.则EF的长度为　　　　.
8.已知空间四边形ABCD的两条对角线的长分别为AC=6,BD=8,AC与BD所成的角为30°,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积为　　　　.
能力提升练
题组一　求异面直线所成的角
1.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是(　　)
A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°
2.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　)
A.C.
3.(2021江苏无锡天一中学月考)已知四面体ABCD的棱都相等,G为△ABC的重心,则异面直线AG与CD所成角的余弦值为　　　　.
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线AC1与B1C所成角的余弦值等于　　　　.
5.(2022广东梅州南口中学月考)如图,已知圆锥CO的轴截面是正三角形,AB是底面圆O的直径,点D在上,且∠AOD=2∠BOD,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为　　　　.
题组二　异面直线所成角的应用
6.(2022福建泉州月考)在四面体ABCD中,AB=CD=1,BC=2,且AB⊥BC,CD⊥BC,异面直线AB与CD所成的角为,则该四面体外接球的表面积为　　　　.
7.(2022河南濮阳第一高级中学月考)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,求AA1的长度.
8.如图,在圆柱OO1中,底面半径为1,OA⊥O1B,异面直线AB与OO1所成角的正切值为,求圆柱OO1的体积.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 2.D 3.A 4.D 6.D
1.A　∵AB∥EF,∴异面直线BC与EF所成的角为∠ABC(或其补角),又∠ABC=150°,∴异面直线BC与EF所成角的大小为30°.
2.D　根据展开图还原成正方体,如图,记过点B且与棱AD平行的棱的另一个端点为E,连接DE,CE,
易得AB∥DE,∴∠CDE是异面直线AB与CD所成的角(或其补角),
∵CD,DE,CE均为正方体的面对角线,
∴CD=DE=CE,∴∠CDE=60°,
∴在原来的正方体中,AB与CD所成的角为60°.
故选D.
3.A　如图所示,取AB的中点N,连接B1N,CN,
因为点M为A1B1的中点,A1B1=AB,所以MB1=AN,又MB1∥AN,所以四边形ANB1M为平行四边形,所以AM∥B1N,
所以异面直线AM与B1C所成的角为∠CB1N(或其补角),设∠CB1N=θ,
在正△ABC中,由AB=4,可得CN=2,
在直角△BNB1中,BB1=3,BN=2,所以B1N=,
在直角△BCB1中,BC=4,BB1=3,所以B1C==5,
在△B1CN中,由余弦定理的推论可得cos θ=.
故选A.
4.D　设G为AD的中点,连接GF,GE,
则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.
∴GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2,则EF与CD所成的角即为∠GEF(或其补角).
∵EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF,
则△GEF为直角三角形,
在直角△GEF中,sin∠GEF=,
∴∠GEF=30°,即EF与CD所成的角为30°.
故选D.
5.答案　60°
解析　设G为AC的中点,连接EG,FG,
∵E,F分别是AB,CD的中点,
∴EG∥BC,EG=BC=1,FG∥AD,FG=AD=1,
∴∠EGF(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角,
在△EGF中,cos∠EGF=,
∴∠EGF=120°,
∴异面直线AD与BC所成的角为60°.
6.D　∵AB∥DC,∴∠A1CD(或其补角)即为异面直线AB与A1C所成的角,由图可知∠A1CD为锐角,∴∠A1CD=.
设DD1=x,连接A1D,则A1C=.
在△A1CD中,cos ,解得x=(负值舍去),
∴长方体的表面积S=2+4×,体积V=,
∴该长方体的表面积与体积的比值为.故选D.
7.答案　
解析　如图,取BC的中点O,连接OE,OF,
易得OE∥AC,且OE=,OF∥BD,且OF=,
∴OE与OF所成的角即为AC与BD所成的角.
∵AC与BD所成的角为60°,
∴∠EOF=60°或∠EOF=120°.
当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=.
当∠EOF=120°时,由余弦定理的推论得cos 120°=,∴EF=.
综上,EF的长度为.
解后反思　通过立体图形无法直接判断∠EOF是锐角、直角还是钝角,因此∠EOF可能是异面直线所成的角,也可能是其补角,所以需要进行分类讨论.
8.答案　6
解析　∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴FG∥BD,EH∥BD,EF∥AC,HG∥AC,且EF=HG=BD=4,∴EF∥HG,FG∥EH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AC∥EF,BD∥FG,∴EF与FG所成的角即为AC与BD所成的角,∴∠EFG=30°或∠EFG=150°,
∴S EFGH=EF·FG·sin∠EFG=3×4×=6.
能力提升练
1.B　连接FE1,FD,易得FE1∥BC1,故∠FE1D(或其补角)为E1D与BC1所成的角.
在△EFD中,EF=ED=1,∠FED=120°,
∴FD2=EF2+ED2-2EF·ED·cos 120°=3,∴FD=.
易得E1F=E1D=,
∴△FE1D是等边三角形,∴∠FE1D=60°.
故选B.
2.C　如图,连接AD1,AP,
易得AD1∥BC1,所以∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角.
设正方体的棱长为1,DP=x,x∈[0,1],
在△AD1P中,AD1=,
故cos∠AD1P=,
∵x∈[0,1],∴cos∠AD1P=,
又∠AD1P是△AD1P的内角,
∴∠AD1P∈,故选C.
3.答案　
解析　设四面体ABCD的棱长为a,直线AG交BC于E,取BD的中点F,连接EF,AF.
由题意知E为BC的中点,所以CD∥EF,EF=a,
所以∠AEF或其补角为异面直线AG与CD所成的角.
易得AE=AF=a,则在△AEF中,cos∠AEF=.
故异面直线AG与CD所成角的余弦值为.
4.答案　
解析　设正三棱柱的底面边长为a,高为h,外接球的半径为R,由题意知3ah=12,即ah=4,
易得△ABC外接圆的半径r=.
则R2=r2+,当且仅当a=h时取等号,此时外接球的表面积最小.
将三棱柱补成一个四棱柱,如图,连接DB1,DC,则AC1∥DB1,
∴∠DB1C(或其补角)为异面直线AC1与B1C所成的角,易得B1C=DB1=a,
∴cos∠DB1C=.
5.答案　
解析　如图,取AC的中点E,劣弧BD的中点F,AO的中点G,连接OF,OE,
易知OE∥BC,AD∥OF,则异面直线AD与BC所成的角是∠EOF(或其补角).
连接EG,GF,EF,易得EG⊥GF,
设OG=1,则OF=2,OE=2,EG=,
在△OGF中,GF2=OG2+OF2-2OG·OF·cos,
则EF2=EG2+GF2=8+2,
在△OEF中,cos∠EOF=,
故异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
6.答案　或8π
解析　由题意,可以将四面体ABCD补成一个直三棱柱,如图所示.
∵异面直线AB与CD所成的角为,
∴∠ABE=或∠ABE=.
设△ABE外接圆的半径为r,
当∠ABE=时,AE=BE=AB=1,则2r=,解得r=;
当∠ABE=时,AE=,则2r=,解得r=1.
设四面体外接球的半径为R,
则R=,∴R=或R=,
则外接球的表面积为4πR2=或8π.
7.解析　如图,连接AC,CD1,
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC且A1D1=BC,
所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥CD1,
所以异面直线A1B和AD1所成的角为∠AD1C,故∠AD1C=90°,
因为四边形ADD1A1,四边形CDD1C1均为矩形,
所以DD1⊥AD,DD1⊥CD,
在△ABC中,∠ABC=120°,AB=BC=2,
由余弦定理可得AC==6,
设DD1=a,则AD1=CD1=,
因为∠AD1C=90°,所以A=AC2,即2(a2+12)=36,解得a=(负值舍去).
故AA1=DD1=.
8.解析　如图,过点B作BH垂直于底面圆O,交圆O于点H,连接OH,AH,由题意及图可知∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角,则tan∠ABH=.
易知OH∥O1B,OH=O1B,
由OA⊥O1B,可得OA⊥OH,
所以AH=.
又tan∠ABH=,
所以圆柱OO1的高BH==4,
所以圆柱OO1的体积为π·OA2·BH=4π.
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