2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--10.1.3 古典概型（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
10.1.3　古典概型
基础过关练
题组一　对古典概型的理解
1. (多选题)下列有关古典概型的说法中正确的是(　　)
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件发生的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.下列试验是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两枚骰子,向上面的点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,求从中任取一球为白球的概率
D.抛掷一枚均匀的硬币直到出现正面向上为止,抛掷的次数作为样本点
题组二　古典概型的概率
3.(2022安徽六安中学期中)若同时抛掷三枚完全相同的硬币,则抛掷一次出现两枚正面、一枚反面的概率为(　　)
A.　　　　
C.
4.(2023河北统考)某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班恰有40名同学的成绩在[60,90]内,将这40名学生的成绩整理,绘制成频率分布直方图(如图所示),从成绩在[60,70)内的同学中任取2人的测试成绩,恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是(　　)
A.
5.(2023湖北孝感期中)若a,b∈{1,2,3,4},则方程x2+ax+b=0有实根的概率为(　　)
A.C.
6.(多选题)(2022广东佛山二中期中)随机排列数字1,5,6得到一个三位数,则(　　)
A.可以排成9个不同的三位数
B.所得的三位数是奇数的概率为
C.所得的三位数是偶数的概率为
D.所得的三位数大于400的概率为
7.(多选题)(2022山东淄博实验中学开学考试)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,记第一次和第二次出现的点数分别为a,b,则下列结论正确的是　　(　　)
A.a+b=7的概率为
B.≥2的概率为
C.ab=6的概率为
D.a+b是6的倍数的概率为
8.(2023四川广安二中期中)如图所示,a,b,c,d,e是处于断开状态的开关,任意闭合其中的两个,电路接通的概率是　　　　.
9.(2023北京房山期末)某中学调查了某班30名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表(单位:人):
参加书法 社团 未参加 书法社团 合计
参加 演讲社团 6 8 14
未参加演讲社团 4 12 16
合计 10 20 30
从该班随机选1名同学,则该同学参加书法社团的概率为　　　　;该同学至少参加上述一个社团的概率为　　　　.
10.(2022陕西宝鸡期中)某机器人兴趣小组有3名男生,记为a1,a2,a3,2名女生,记为b1,b2,从中任意选取2名学生参加机器人大赛.
(1)求参赛学生中恰好有1名女生的概率;
(2)求参赛学生中至少有1名女生的概率.
11.(2023陕西商洛统考)清明期间,某校为缅怀革命先烈,要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动,学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为4∶5∶6,为了解学生参与“清明祭英烈”活动的情况,现采用分层随机抽样的方法进行调查,得到如下数据.
方式 人数
初一年级 初二年级 初三年级
前往革命烈士 纪念馆 2a-1 8 10
线上网络 a b 2
(1)求a,b的值;
(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生中任选两人,求这两人是同一个年级的概率.
能力提升练
题组　古典概型概率的求解及其应用
1.(2023河北承德月考)计划将包括甲在内的3名男性志愿者和另外4名女性志愿者分配到A,B两个社区参加服务工作,其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去A社区,其他人都去B社区,则甲去A社区的概率为(　　)
A.
2.(2023山东临沂期中)“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠,是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将10拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,在加数都大于2的条件下,两个加数均为素数的概率是(　　)
A.
3.(2023辽宁重点高中联合体模拟)甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另一人,由甲开始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为(　　)
A.
4.(2023北京东城期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,将第一次得到的点数记为x,第二次得到的点数记为y,那么事件“2x+y≤16”的概率为(　　)
A.
5.(多选题)一个不透明的袋子中装有6个小球,其中有4个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同,则下列结论正确的有(　　)
A.若一次摸出3个球,则摸出的球均为红球的概率是
B.若一次摸出3个球,则摸出的球为2个红球,1个白球的概率是
C.若第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再摸出一个球,则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D.若第一次摸出一个球,不放回袋中,再摸出一个球,则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
6.(2023湖北武汉第二十中学月考)算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态,自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值,例如,个位拨动一粒上珠,十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的四位数大于5 500”,则P(A)=　　　　.
7.(2023北京通州期末)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹,分3组各进行一场比赛,胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率为　　　　;若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,则田忌获胜的概率为　　　　.
8.(2023江苏扬州中学月考)某校为了选择奥赛培训对象,进行了一次数学竞赛,从参加竞赛的同学中,选取50名同学将其成绩分成六组,第1组:[40,50),第2组:[50,60),第3组:[60,70),第4组:[70,80),第5组:[80,90),第6组:[90,100],得到频率分布直方图(如图),根据图中信息,回答下列问题:
(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数;
(2)估计样本的第65百分位数;
(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不低于90分为优秀,若从第5组和第6组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.
9.(2023河南南阳期末)某商场做促销活动,顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球,其中3个红球、1个黑球、1个黄球.某顾客购满100元,可抽奖一次.
(1)若从中依次不放回地取出2个球,取出的球中有黄球,则送一件价值10元的礼品,求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率;
(2)若从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,当取出的2个球中没有红球时,送一件价值50元的礼品,问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ACD 2.C 3.B 4.B 5.C 6.BD 7.CD
1.ACD　由古典概型的概念可知,试验的样本空间的样本点总数有限,且每个样本点出现的可能性相等,故A,C正确;
每个事件不一定是一个样本点,可能包含若干个样本点,所以B不正确;
根据古典概型的概率计算公式可知D正确.
故选ACD.
2.C　A选项中由于点数之和出现的可能性不相等,故A不是古典概型;
B选项中的样本点的个数是无限的,故B不是古典概型;
C选项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是古典概型;
D选项中样本点既不是有限个,也不具有等可能性,故D不是古典概型.
解后反思　判断一个试验是不是古典概型,主要看其是否具备有限性和等可能性两个特征.
3.B　抛掷三枚硬币一次的样本空间Ω={正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反},共8个样本点,设事件A为“出现两枚正面、一枚反面”,则A={正正反,正反正,反正正},共3个样本点,故P(A)=.故选B.
4.B　由题中频率分布直方图知,成绩在[60,65)内的有40×0.01×5=2人,不妨记为a,b;成绩在[65,70)内的有40×0.02×5=4人,不妨记为1,2,3,4.从6人中任取2人的样本空间为{(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共15个样本点,事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点有8个,所以所求的概率为.故选B.
解后反思　在列举样本点时,经常借助于字母或数字.此题中成绩在[60,65)内的人用字母表示,在[65,70)内的人用数字表示,不仅方便书写,而且方便查找符合“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点.
5.C　若方程有实根,则Δ≥0,即Δ=a2-4b≥0,
用数组(a,b)表示a,b的取值情况,
则Ω={(a,b)|a,b∈{1,2,3,4}},共有16个样本点.
设事件A=“a2-4b≥0”,则A={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},所以n(A)=7,
故P(A)=.故选C.
6.BD　随机排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确;
奇数有165,561,615,651,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为,故B正确;
偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为,故C不正确;
大于400的数有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为,故D正确.
故选BD.
7.CD　先后抛掷两枚质地均匀的骰子,共有36种不同的情况,
满足a+b=7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种,故a+b=7的概率为,故A错误;
满足≥2的情况有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9种,故≥2的概率为,故B错误;
满足ab=6的情况有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4种,故ab=6的概率为,故C正确;
满足a+b是6的倍数的情况有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6),共6种,故a+b是6的倍数的概率为,故D正确.
故选CD.
8.答案　
解析　“任意闭合其中的两个开关”所包含的情况如下:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种.其中电路接通所包含的情况有(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),共6种.
所以电路接通的概率P=.
9.答案　
解析　由题表得该班参加书法社团的同学有10人,
所以从该班随机选1名同学,该同学参加书法社团的概率为;该同学至少参加上述一个社团的概率为.
10.解析　从5名学生中任意选取2名学生参加机器人大赛,所包含的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10个.
(1)记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件A,则事件A包含的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个,
所以P(A)=.
(2)记“参赛学生中至少有1名女生”为事件B,则事件B包含的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7个,
所以P(B)=.
11.解析　(1)由题可知,4∶5∶6=(3a-1)∶(b+8)∶12,解得a=3,b=2.
(2)由(1)知,选择线上网络方式参与活动的初一年级学生有3人(分别记为a1,a2,a3),初二年级和初三年级学生都有2人(分别记为b1,b2和c1,c2),
从中任选两人,所包含的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c1),(a3,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2),共21个.
其中两人来自同一个年级包含的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1,b2),(c1,c2),共5个.
故所求概率P=.
能力提升练
1.C 2.B 3.C 4.C 5.BC
1.C　设其他2名男性志愿者为乙、丙,4名女性志愿者为A1,B1,C1,D1.
1名男性志愿者和1名女性志愿者被分配到A社区的所有可能情况有(甲,A1),(甲,B1),(甲,C1),(甲,D1),(乙,A1),(乙,B1),(乙,C1),(乙,D1),
(丙,A1),(丙,B1),(丙,C1),(丙,D1),共12种,
其中甲被分配到A社区的情况有(甲,A1),(甲,B1),(甲,C1),(甲,D1),共4种,
故甲被分配到A社区的概率P=.
故选C.
2.B　记“两个加数都大于2”为事件A,“两个加数都为素数”为事件B,
则A={(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3)},n(A)=5,B={(3,7),(5,5),(7,3)},n(B)=3,故所求概率P=.故选B.
3.C　由题意可知,传球的所有情况如下:
(把球传给下一个人,相邻之间不能重复,适合用树状图来表示)
故所求概率为.故选C.
4.C　用数组(x,y)表示可能的结果,则所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种.
由2x+y≤16,得2x+y≤24,
因为y=2x在R上单调递增,
所以x+y≤4,满足x+y≤4的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,
所以事件“2x+y≤16”的概率P=.
故选C.
5.BC　设4个红球分别为a,b,c,d,2个白球分别为1,2.对于A,B,从中一次摸出3个球,所有样本点有(a,b,c),(a,b,d),(a,b,1),(a,b,2),(a,c,d),(a,c,1),(a,c,2),(a,d,1),(a,d,2),(a,1,2),(b,c,d),(b,c,1),(b,c,2),(b,d,1),(b,d,2),(b,1,2),(c,d,1),(c,d,2),(c,1,2),(d,1,2),共20个.摸出的球均为红球的样本点为(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d),共4个,所以摸出的球均为红球的概率是,摸出的球为2个红球,1个白球的样本点为(a,b,1),(a,b,2),(a,c,1),(a,c,2),(a,d,1),(a,d,2),(b,c,1),(b,c,2),(b,d,1),(b,d,2),(c,d,1),(c,d,2),共12个,所以摸出的球为2个红球,1个白球的概率是,故A错误,B正确.
对于C,所有样本点有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,1),(c,2),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,1),(d,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(2,1),(2,2),共36个,
两次摸出的球为不同颜色的球的样本点为(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),共16个,故所求概率是,故C正确.
对于D,所有样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,a),(b,c),(b,d),(b,1),
(b,2),(c,a),(c,b),(c,d),(c,1),(c,2),(d,a),(d,b),(d,c),(d,1),(d,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(1,2),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(2,1),共30个,
两次摸出的球为不同颜色的球的样本点有(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),
(c,2),(d,1),(d,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),共16个,故所求概率是,故D错误.
故选BC.
6.答案　
解析　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,表示出四位数,
则样本空间Ω={1 111,1 115,1 151,1 155,1 511,1 515,1 551,1 555,
5 111,5 115,5 151,5 155,5 511,5 515,5 551,5 555},∴n(Ω)=16,
则A={5 511,5 515,5 551,5 555},
∴n(A)=4,
∴P(A)=.
7.答案　
解析　设齐王的上、中、下等马分别为a1,a2,a3,田忌的上、中、下等马分别为b1,b2,b3,
齐王与田忌赛马,双方对阵的情况如下:
(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),田忌获胜;
(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),齐王获胜;
(a3,b1),(a2,b2),(a1,b3),齐王获胜,共6种.
其中田忌获胜的情况只有一种,
所以田忌获胜的概率为.
若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,
则双方对阵的情况为(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3)和(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),共2种,
其中田忌获胜的情况只有一种,
所以田忌获胜的概率为.
8.解析　(1)估计本次考试成绩的平均数=(45×0.01+55×0.026+65×
0.02+75×0.03+85×0.008+95×0.006)×10=66.8.
(2)∵成绩在[40,70)内的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56,成绩在[40,80)内的频率为0.56+0.03×10=0.86,
∴第65百分位数位于[70,80)内,
设其为x,
则0.56+(x-70)×0.03=0.65,解得x=73,
∴第65百分位数为73.
(3)第5组有50×0.008×10=4人,分别记为A,B,C,D;第6组有50×0.006×10=3人,分别记为a,b,c.
从中随机抽取2人,所有的情况有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(A,c),
(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(B,c),(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共21种,
其中至少1人成绩优秀的情况有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),
(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15种,
∴至少1人成绩优秀的概率P=.
9.解析　(1)3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b.
从袋中依次不放回地取出2个球,所包含的样本点为(1,2),(1,3),(2,3),
(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(2,1),(3,1),(3,2),(a,1),(a,2),(a,3),
(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共20个,
有黄球的样本点为(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共8个,所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为.
(2)从袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,所包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25个,
取出的2个球中没有红球的样本点为(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4个,
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为<20%,
所以这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性不会超过20%.
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