2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--10.1.4 概率的基本性质（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
10.1.4　概率的基本性质
基础过关练
题组一　对概率的基本性质的理解
1.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是(　　)
A.[0,0.9]　　　　B.[0.1,0.9]　　　　
C.(0,0.9]　　　　D.[0,1]
2.(2023河北邢台第一中学开学考试)下列说法正确的是(　　)
A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
B.事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大
C.事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小
D.设A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
3.(多选题)(2023北京丰台第十二中学期中)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是(　　)
A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.(A1∪A2)∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.P(A1∪A2)≤0.5
题组二　利用概率的基本性质求概率
4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,
P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)
A.0.3　　　　B.0.35　　　　C.0.5　　　　D.0.4
5.(2022福建泉州三校期中联考)已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=(　　)
A.0.3　　　　B.0.6　　　　C.0.7　　　　D.0.9
6.(2023湖北十堰天河英才高中月考)抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一个点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=(　　)
A.
7.在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是0.25,在[80,90]内的概率是0.48,在[70,80)内的概率是0.11,在[60,70)内的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.求:
(1)小江在此次数学考试中成绩在80分及以上的概率;
(2)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.
8.(2022湖北武汉青山期末)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道题,其中选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
能力提升练
题组　利用概率的基本性质求概率
1.(2023江西南昌外国语学校月考)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)=(　　)
A.
2.(2023陕西宝鸡统考)已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或白球的概率为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的球是黄球或白球的概率为(　　)
A.0.7　　　　B.0.5　　　　C.0.3　　　　D.0.6
3.(多选题)(2022广东潮州松昌中学期中)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,则(　　)
A.他只属于音乐小组的概率为
B.他只属于英语小组的概率为
C.他属于至少2个小组的概率为
D.他属于不超过2个小组的概率为
4.(2023上海青浦高级中学月考)若随机事件A与B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为　　　　.
5.甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为,则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为　　　　.
6.(2022浙江S9联盟期中联考)袋中有黑球、黄球、绿球共9个,这些球除颜色外完全相同,从中任取1个球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是.
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少
(2)从所有黑球、黄球中任取2个球,黑球与黄球各1个的概率是多少
(3)从袋中任取2个球,这2个球颜色不相同的概率是多少
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 2.D 3.ABC 4.B 5.C 6.C
1.A　由于事件A和B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A+B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,即-0.1≤P(B)≤0.9,又P(B)≥0,所以0≤P(B)≤0.9,故选A.
2.D　对于A,互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,故A错误;
对于B,当事件A与事件B为对立事件时,事件A与事件B中至少有一个发生的概率和A与B中恰有一个发生的概率相等,故B错误;
对于C,当A=B时,事件A与事件B同时发生的概率等于A与B中恰有一个发生的概率,故C错误;
易知D正确.故选D.
3.ABC　事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A,B,C中说法错误.故选ABC.
4.B　事件“抽到的产品不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”,而事件A=“抽到一等品”,且P(A)=0.65,
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为1-P(A)=1-0.65=0.35.
故选B.
5.C　因为P(C)=0.6,B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.
6.C　∵抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一个点数的概率都是,
∴P(A)=,P(A∩B)=,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=.故选C.
7.解析　(1)分别记小江的成绩在90分以上,在[80,90],[70,80),[60,70)内为事件B,C,D,E,易知B,C,D,E彼此互斥.
小江在此次数学考试中成绩在80分及以上的概率为P(B∪C)=P(B)+
P(C)=0.25+0.48=0.73.
(2)解法一:小江考试及格(成绩不低于60分)的概率P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.25+0.48+0.11+0.09=0.93.
解法二:小江考试不及格(成绩在60分以下)的概率是0.07,根据对立事件的概率公式,得小江考试及格(成绩不低于60分)的概率是1-0.07=0.93.
解题模板　一般地,如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么事件A1+A2+…+An发生(即A1,A2,…,An中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
8.解析　用x,y分别表示甲、乙抽到的题,则可以用(x,y)表示可能的结果.记3道选择题分别为x1,x2,x3,2道判断题分别为p1,p2,
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙两人都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙两人都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.
因此样本点总数为6+6+6+2=20.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)=.记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,则P(B)=,显然事件A与事件B互斥,故所求概率为P(A+B)=.
(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C,则为“甲、乙两人都抽到判断题”,易得P(,故P(C)=1-P(.
解题模板　在求事件的概率时,会遇到含“至少”或“至多”的事件的概率问题,如果从正面考虑比较烦琐或情况比较多,那么可先求事件的对立事件的概率,再用1减去对立事件的概率即为所求概率,这是“正难则反”思想的具体体现.
能力提升练
1.B 2.A 3.CD
1.B　因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=,
所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=.
故选B.
2.A　设事件A=“摸出红球”,事件B=“摸出白球”,事件C=“摸出黄球”,则A,B,C两两互斥,
由题意得,P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4,P(A∪C)=P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,
则P(C)=0.6,P(B)=0.1,
所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.7.故选A.
3.CD　由题图知参加兴趣小组的人数为6+7+8+8+10+10+11=60,
只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8,
故他只属于音乐小组的概率为,
他只属于英语小组的概率为,
“属于至少2个小组”包含“属于2个小组”和“属于3个小组”两种情况,
故他属于至少2个小组的概率为,
“属于不超过2个小组”包含“属于1个小组”和“属于2个小组”,
其对立事件是“属于3个小组”,故他属于不超过2个小组的概率是1-.
故选CD.
4.答案　
解析　因为随机事件A与B互斥,A,B发生的概率均不等于0,所以即5.答案　
解析　设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”(A与B并不是互斥事件),则P(A)=.
记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则可以用(x,y)表示甲、乙的接力情况,所有可能的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.
其中甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),故P(A∩B)=.
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=.
6.解析　(1)从袋中任取1个球,记得到黑球、黄球、绿球分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥,
所以
解得P(A)=,
所以袋中黑球的个数为9×=3,黄球的个数为9×=2,绿球的个数为9×=4.
(2)用A1,A2,A3分别表示3个黑球,B1,B2分别表示2个黄球,则从所有黑球、黄球中任取2个球的样本空间Ω1={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点,记“黑球与黄球各1个”为事件D,则D={A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2},共6个样本点,所以P(D)=.
(3)用C1,C2,C3,C4分别表示4个绿球,则从袋中任取2个球的样本空间Ω2={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A1C3,A1C4,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A2C3,A2C4,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,A3C3,A3C4,B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B1C4,B2C1,B2C2,B2C3,B2C4,C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共36个样本点.
记“2个球都是黑球”为事件E,则E={A1A2,A1A3,A2A3},共3个样本点,记“2个球都是黄球”为事件F,则F={B1B2},共1个样本点,记“2个球都是绿球”为事件G,则G={C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共6个样本点,
则P(E)=,
所以从袋中任取2个球,这2个球颜色相同的概率P=P(E)+P(F)+P(G)=,
则这2个球颜色不相同的概率是1-.
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