2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--10.2 事件的相互独立性（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
10.2　事件的相互独立性
基础过关练
题组一　相互独立事件的判断
1.(多选题)(2023海南中学期中)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　　)
A.运动员甲射击一次,“射中10环”与“射中9环”　　
B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两名运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”　　
2. (多选题)(2022广东佛山荣山中学期中)设A,B为两个随机事件,以下命题正确的为(　　)
A.若A,B是互斥事件,P(A)=,则P(A∪B)=
B.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1
C.若事件A与事件B相互独立,P(A)=,则P(A
D.若P(,且P(,则A与B相互独立
3.(2023湖北十堰高中联合体期中)已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)表示的是(　　)
A.事件A,B同时发生的概率
B.事件A,B至少有一个发生的概率
C.事件A,B至多有一个发生的概率
D.事件A,B都不发生的概率
题组二　相互独立事件的概率计算
4.(2023陕西咸阳模拟)某中学举行疾病防控知识竞赛,其中某道题甲队答对的概率为,乙队和丙队答对的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题,则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为(　　)
A.
5.(2023上海奉贤期中)甲、乙两位选手进行围棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛的结果相互独立,若采用三局两胜制(前两局为同一选手胜,则不进行第三局),则甲最终获胜的概率为(　　)
A.0.72　　　　B.0.704　　　　C.0.604　　　　D.0.648
6.(2022湖湘大联考)已知甲、乙两人投篮,甲的命中率为0.6,乙的命中率为p(0A.0.3　　　　B.0.4　　　　C.0.6　　　　D.0.5
7.(多选题)(2023山西晋中介休一中期中)甲袋中有2个黑球,2个白球,乙袋中有2个黑球,1个白球,这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球,则(　　)
A.2个球都是黑球的概率为
B.2个球都是白球的概率为
C.1个黑球1个白球的概率为
D.2个球中最多有1个黑球的概率为
8.(2023上海洋泾中学期中)甲、乙两人各进行一次投篮,两人投中的概率分别为0.8,0.5,已知两人投中与否互不影响,则两人中至少有一人投中的概率为　　　　.
9.(2023北京房山期中)已知甲、乙、丙参加某项测试时,通过的概率分别为0.6,0.8,0.9,而且这3人之间的测试互不影响.
(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率;
(2)求甲未通过测试且乙、丙通过测试的概率;
(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率.
10.已知某种高射炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高射炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率;
(2)要使敌机进入某个区域后有0.9以上的概率被击中,则至少需要布置几门高射炮 (参考数据:lg 2≈0.301 0)
11.(2022江苏南通期末)某产品在出厂前需要经过质检,质检分为2个过程.第1个过程:将产品交给3位质检员分别进行检验,若3位质检员的检验结果均为合格,则产品不需要进行第2个过程就可以出厂;若3位质检员的检验结果均为不合格,则产品为不合格产品,不可以出厂;若只有1位或2位质检员的检验结果为合格,则需要进行第2个过程.第2个过程:将产品交给第4位和第5位质检员检验,若这2位质检员的检验结果均为合格,则可以出厂,否则视为不合格产品,不可以出厂.设每位质检员的检验结果为合格的概率均为,且每位质检员的检验结果相互独立.
(1)求产品需要进行第2个过程的概率;
(2)求产品不可以出厂的概率.
能力提升练
题组　相互独立事件的概率计算
1.(2022北京平谷期末)一个盒子里有3个分别标有1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取两次,每次取球是相互独立的,则在两次取球中,标号的最大值是3的概率为(　　)
A.
2.(2023辽宁本溪月考,)某中学的信息、足球、摄影三个社团考核挑选新社员,已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假设他通过信息、足球、摄影三个社团考核的概率依次为,m,n,且他是否通过每个考核相互独立,若三个社团考核他都通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,则m+n=(　　)
A.
3.(2022上海浦东新区期末)投壶是我国古代的一种娱乐活动,比赛投中的得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算“十筹”,三场比赛累计得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为,投中“贯耳”的概率为,投中“散射”的概率为,投中“双耳”的概率为,投中“依竿”的概率为,未投中(0筹)的概率为.乙的投掷水平与甲相同,且甲、乙投掷相互独立.比赛第一场两人平局,第二场甲投中“有初”,乙投中“双耳”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为(　　)
A.
4.(2023安徽合肥模拟)甲、乙两位同学组队代表班级参加学校举办的谜语竞猜活动,比赛共两轮,每轮活动由甲、乙各猜一个谜语.已知甲每轮猜对谜语的概率为,乙每轮猜对谜语的概率为,若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响,各轮结果也互不影响,则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为　　　　.
5.(2023福建福州格致中学期末)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第一局甲当裁判,在前三局中乙恰好当1次裁判的概率为　　　　.
6.(2022福建厦门第一中学月考,)某同学高考后参加国内3所名牌大学A,B,C的“强基计划”招生考试.已知该同学能通过这3所大学的“强基计划”招生考试的概率分别为x,y,,该同学能否通过这3所大学的“强基计划”招生考试相互独立,且该同学恰好能通过其中2所大学的“强基计划”招生考试的概率为,则该同学至少通过1所大学的“强基计划”招生考试的概率为　　　　;该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率的最大值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ACD 2.BC 3.C 4.C 5.D 6.D 7.ABD
1.ACD　对于A,甲射击一次,“射中10环”与“射中9环”两个事件不可能同时发生,二者不相互独立;对于B,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;对于C,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者不相互独立;对于D,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因为P(A)≠1,所以P(AB)≠P(A)P(B),故事件A,B不相互独立.
2.BC　对于A,若A,B是互斥事件,P(A)=,则P(A∪B)=,故A错误;
对于B,若A,B是对立事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B正确;
对于C,若事件A与事件B相互独立,P(A)=,则A,也相互独立,P(,则P(A,故C正确;
对于D,由P(,得P(B)=,又P(,所以P(≠P(B),则,B不相互独立,故A,B也不相互独立,故D错误.
故选BC.
3.C　由题意知,P(AB)=P(A)P(B),故P(A)P(B)表示A,B同时发生的概率,故1-P(A)P(B)表示的是A,B不同时发生的概率,即事件A,B至多有一个发生的概率.
4.C　记“甲队答对该题”为事件A,“乙队答对该题”为事件B,“丙队答对该题”为事件C,
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为P(A)P(B)·P()P(C)
=
=.
故选C.
5.D　由题意可知,甲最终获胜的情况为胜胜,胜输胜,输胜胜,故甲获胜的概率为0.6×0.6+0.6×0.4×0.6+0.4×0.6×0.6=0.648.故选D.
6.D　由题意得甲、乙都未投中的概率为(1-0.6)×(1-p),故甲、乙两人中至少有一人命中的概率为1-(1-0.6)×(1-p)=0.8,解得p=0.5.
7.ABD　从甲袋中任取1个球,该球为黑球的概率为,该球为白球的概率为,
从乙袋中任取1个球,该球为黑球的概率为,该球为白球的概率为.
对于A,2个球都是黑球的概率为,A正确;
对于B,2个球都是白球的概率为,B正确;
对于C,1个黑球1个白球的概率为,C错误;
对于D,2个球中最多有1个黑球的概率为,D正确.
故选ABD.
8.答案　0.9
解析　由题得两人都没有投中的概率为(1-0.8)×(1-0.5)=0.1,
所以两人中至少有一人投中的概率为1-0.1=0.9.
9.解析　(1)甲、乙、丙都通过测试的概率为0.6×0.8×0.9=0.432.
(2)甲未通过测试且乙、丙通过测试的概率为(1-0.6)×0.8×0.9=0.288.
(3)甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为1-(1-0.6)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.992.
10.解析　(1)敌机进入这个区域后未被击中的概率为(1-0.2)5=0.327 68.
(2)设需要布置n(n∈N*)门高射炮才能有0.9以上的概率击中敌机,
敌机未被击中的概率为(1-0.2)n=,
所以敌机被击中的概率为1-(1-0.2)n=1-,
令1-≥0.9,即,
两边取常用对数得lg≤lg,即nlg≤-1,所以n≥≈10.309 3,
因为n∈N*,所以n≥11.
因此,至少需要布置11门高射炮才能有0.9以上的概率击中敌机.
11.解析　(1)记事件A为“产品需要进行第2个过程”.
在第1个过程中,只有1位质检员的检验结果为合格的概率P1=,
在第1个过程中,只有2位质检员的检验结果为合格的概率P2=,故P(A)=P1+P2=.
(2)记事件B为“产品不可以出厂”.
在第1个过程中,3位质检员的检验结果均为不合格的概率P3=,
产品需要进行第2个过程,且在第2个过程中,产品不可以出厂的概率P4=P(A)×,故P(B)=P3+P4=.
能力提升练
1.C 2.B 3.C
1.C　记每次取到标号为3的球为事件A,则P(A)=.
记在两次取球中,标号的最大值是3为事件M,则其对立事件是两次都没有取到标号为3的球,
则P(,则P(M)=1-P(.
故选C.
2.B　因为此人至少通过一个社团考核的概率为,
所以三个社团考核都没有通过的概率为,
则
即所以m+n=.故选B.
3.C　要使三场比赛结束时甲获胜,则第三局比赛甲、乙对应的投中情况可能为(散射,未投中),(双耳,未投中),(依竿,未投中),(依竿,有初),(依竿,贯耳),(依竿,散射),(根据前两场的比赛结果,知第三场甲至少要比乙多五筹才能获胜)
所以甲获胜的概率为.故选C.
4.答案　
解析　设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个谜语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个谜语的事件,则P(A1)=.
设A=“甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=.
5.答案　
解析　在前三局中乙恰好当1次裁判,有两种情况:①第一局乙、丙比赛时乙负,第二局乙当裁判,甲、丙比赛无论胜负如何第三局乙均不当裁判;
②第一局乙、丙比赛时乙胜,第二局丙当裁判,乙、甲比赛时甲胜,第三局乙当裁判,丙、甲比赛.
∴在前三局中乙恰好当1次裁判的概率为.
6.答案　
解析　该同学恰好能通过其中2所大学的“强基计划”招生考试的概率P=,
∴该同学至少通过1所大学的“强基计划”招生考试的概率为1-.由得x+y-xy=,
∴x+y=+xy≥2(当且仅当x=y时,等号成立),即xy-2≥0,解得xy≤或xy≥,
又∵0∵该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率为xy,∴其最大值为.
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