2024人教版高中数学必修第二册同步练习题--10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟（含解析）

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2024人教版高中数学必修第二册同步练习题
10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
基础过关练
题组一　概率与频率的意义
1.(2023湖北武汉常青联合体期中)在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验,发现有560次正面朝上,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A.0.56,0.56　　　　B.0.56,0.5
C.0.5,0.5　　　　 D.0.5,0.56
2.(2023陕西师范大学附属中学月考)下列四个命题中真命题的个数为(　　)
①有一批产品的次品率为0.05,从中任意取出200件产品,则必有10件是次品;
②抛100次硬币,结果有51次正面朝上,则出现正面朝上的概率是0.51;
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率;
④掷骰子100次,得点数为6的结果有20次,则出现6点的频率为0.2.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.某种福利彩票的中奖概率为0.1%,若某人每次买一张这种彩票,买了999次,均未中奖,则此人第1 000次买这种彩票中奖的概率为　　　　.
题组二　用频率估计概率
4.(2022安徽六安中学期中)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验最可能的是(　　)
A.抛一枚硬币,正面朝上的概率
B.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率
C.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
5.如果一袋中装有数量差别很大的白球和黄球若干个(只有颜色不同),有放回地从中任取1球,取了10次,有7次是白球,则估计袋中数量较多的是　　　　球.
6.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示.
(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.
　
7.对一批衬衣进行质量抽检,抽检结果如表所示:
抽取 件数 50 100 200 500 600 700 800
次品 件数 0 20 12 27 27 35 40
次品 频率 0 0.20 0.06 0.054
(1)将上面的统计表补充完整;
(2)记事件A为任取一件衬衣为次品,求P(A)(计算结果保留两位小数);
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,若销售1 000件衬衣,则至少需要进多少件衬衣(计算结果保留整数)
题组三　用随机模拟的方法估计概率
8.掷两枚正六面体的骰子,用随机模拟的方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数随机数中,每　　　　个数字为一组(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.9　　　　D.12
9.(2023湖北仙桃期中)已知某种豚鼠感染A病毒的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率:先由计算机产生0~9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染;再以每三个随机数为一组,代表三只豚鼠的感染情况.经随机模拟产生了如下20组随机数:
192　907　966　925　271　932　812　458
569　683　257　393　127　556　488　730
113　537　989　431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为　　(　　)
A.0.25　　　　B.0.4　　　　C.0.6　　　　D.0.75
10.(2022陕西榆林横山中学月考)假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为　　　　.
11.某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投中的概率是60%,若该篮球爱好者连续投篮4次,求至少投中3次的概率,用随机模拟的方法估计上述概率.
能力提升练
题组一　用频率估计概率
1.已知一个容量为20的样本,其数据具体如下:
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 11
那么频率为0.4的范围是(　　)
A.5.5~7.5　　　　B.7.5~9.5 C.9.5~11.5　　　　D.11.5~13.5
2.(2023湖南湘潭一模)某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了下面两个问题:
问题一:你的父亲阳历生日中的日期是不是奇数
问题二:你是否经常吸烟
调查者设计了一个随机化装置:一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子,每个被调查者随机从袋子中摸取1个球(摸出的球再放回袋子中),摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不要做,如果一年按365天计算,且最后盒子中有60个小石子,则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为(　　)
A.7%　　　　B.8% C.9%　　　　D.30%
3.(2022湖北部分省级示范高中期中)甲、乙两位同学参加100米达标训练,下面是这两位同学5次训练的成绩(单位:秒):
甲:11.6,12.2,13.2,13.9,12.6;
乙:12.1,11.3,12.0,12.9,12.7.
从甲、乙这5次训练成绩中各随机抽取一次,则抽取的成绩(单位:秒)中仅有一个比12.8大的概率为　　　　.
4.(2023山西汾阳育才中学月考)如图,A地到火车站共有L1和L2两条路径,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:
时间 (分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现位于A地的甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站.
(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径
(2)根据第(1)问中选择的路径,求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率.
题组二　随机模拟方法的应用
5.(2022福建福州期末)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用计算机产生1到4之间的整数随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
343　432　341　342　234　142　243　331
112　342　241　244　431　233　214　344
142　134
由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为　　(　　)
A.
6.通过模拟试验产生了20组随机数:
6830　3013　7055　7430　7740　4422
7884　2604　3346　0952　6807　9706
5774　5725　6576　5929　9768　6071
9138　6754
若恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中表示恰好有三次击中目标,则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为　　　　,四次射击中全都击中目标的概率约为　　　　.
7.某家电企业生产一种智能音箱,在其官网上销售,根据以往销售数据绘制出了一周内销量的频率分布直方图如图所示.
(1)估计每周销量的平均数(结果保留整数,同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)用一周销量不低于100件的频率作为每周销量不低于100件的概率.
①估计未来10周内周销量不低于100件的有多少周
②现采用随机模拟的方法估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率,先由计算机产生0到9之间的整数随机数,用0,1,2,…,k表示周销量低于100件,k+1,k+2,…,9表示周销量不低于100件,再以每三个随机数为1组表示3周周销量的结果,经随机模拟产生如下20组随机数:
807　966　191　925　271　932　812　458
569　683　489　257　394　027　552　488
740　113　537　741
确定k的值,并根据以上数据估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.A 4.D 8.B 9.D
1.B　由题意得出现正面朝上的频率为=0.56,
由于每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的可能性相等,故出现正面朝上的概率为0.5.
故选B.
2.A　对于①,一批产品的次品率即出现次品的概率,它表示的是产品中出现次品的可能性的大小,并非表示200件产品中必有10件次品,故①不是真命题;
对于②,抛100次硬币,结果有51次正面朝上,则出现正面朝上的频率是0.51,而非概率,故②不是真命题;
对于③,随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化,是事件的一种固有属性,而随机事件发生的频率会发生变化,随着试验次数的增加,频率会稳定于概率,但频率只是概率的近似值,并不表示概率就是频率,故③不是真命题;
对于④,掷骰子100次,得点数为6的结果有20次,即100次试验中,“出现6点”这一事件发生了20次,则出现6点的频率为=0.2,故④为真命题.
综上所述,真命题的个数为1.故选A.
3.答案　0.1%
解析　概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率,“某彩票的中奖概率为0.1%”意味着购买彩票中奖的可能性为0.1%.
4.D　用频率估计概率,可知符合这一结果的试验的概率在30%~35%之间.
对于A,抛一枚硬币,正面朝上的概率为×100%=50%,A不符合;
对于B,掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率为×100%≈16.7%,B不符合;
对于C,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为×100%≈66.7%,C不符合;
对于D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为×100%≈33.3%,D符合.
故选D.
5.答案　白
解析　取了10次,有7次是白球,则取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
6.解析　(1)甲品牌产品使用寿命小于200 h的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品使用寿命小于200 h的概率为.
(2)根据抽样结果知,使用寿命至少200 h的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,使用寿命至少200 h的产品是甲品牌的频率是,用频率估计概率,可得已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为.
7.解析　(1)∵=0.05,
∴题表后三格中应依次填入0.045,0.05,0.05.
(2)∵抽取的总数是50+100+200+500+600+700+800=2 950,
次品总数是20+12+27+27+35+40=161,
∴P(A)≈≈0.05.
(3)设需要进x件衬衣,则(1-0.05)x≥1 000,
解得x≥≈1 052.6,∴至少需要进1 053件衬衣.
8.B　掷两枚正六面体的骰子,设它们出现的点数分别为x,y,则x+y=9,由此可得用随机模拟的方法产生的整数随机数中,每2个数字为一组.故选B.
9.D　事件“三只豚鼠中至少一只被感染”的对立事件为“三只豚鼠都没被感染”,随机数组中满足三只豚鼠都没被感染的有907,966,569,556,989,共5组,故三只豚鼠都没被感染的概率约为=0.25,则三只豚鼠中至少一只被感染的概率约为1-0.25=0.75,
故选D.
10.答案　
解析　表示两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的随机数组是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10组,因此所求的概率约为.
11.解析　利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6表示投中,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%,因为投篮4次,所以每4个随机数为一组,例如5727,7895,0123,…,4560,4581,4698,共100组这样的随机数,若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n,则至少投中3次的概率的近似值为.
能力提升练
1.C 2.C 5.B
1.C　5.5~7.5的频率为=0.1,7.5~9.5的频率为=0.3,9.5~11.5的频率为=0.4,11.5~13.5的频率为=0.2,所以C选项符合题意.
故选C.
2.C　从一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中,随机摸出1个球,摸到白球和红球的概率都为,因此,估计这200人中回答第一个问题和第二个问题的人数均为100,而一年365天中,日期为奇数的有186天,所以对第一个问题回答“是”的概率为≈0.51,所以这100个回答第一个问题的学生中,约有51人回答了“是”,从而可以估计,在回答第二个问题的100人中,有9人回答了“是”,所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%.
故选C.
3.答案　
解析　甲的这5次训练成绩中比12.8大的有2个,则抽取的甲的成绩大于12.8的概率P1=,
乙的这5次训练成绩中比12.8大的有1个,则抽取的乙的成绩大于12.8的概率P2=,
故抽取的成绩中仅有一个比12.8大的概率P=P1.
4.解析　(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.
用频率估计概率,则有P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5.
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择路径L1.
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9.
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择路径L2.
(2)甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内赶到火车站的概率为P(A1)·P(B2)=0.6×0.1+0.4×0.9=0.42.
5.B　随机模拟产生的18组随机数中,表示恰好第三次就停止摸球的随机数组有142,112,241,142,共4组,
由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选B.
6.答案　0.25;0.1
解析　随机数组中表示恰好有三次击中目标的是3013,2604,5725,6576,6754,共5组,所以所求的概率约为=0.25.随机数组中表示四次射击中全都击中目标的为4422,3346,共2组,故概率约为=0.1.
7.解析　(1)每周销量的平均数约为85×10×0.015+95×10×0.025+105×10×0.030+115×10×0.020+125×10×0.010≈104(件).
(2)①由题中频率分布直方图可知周销量不低于100件的频率为(0.030+0.020+0.010)×10=0.6==6,
所以估计未来10周内周销量不低于100件的有6周.
②根据周销量不低于100件的频率为0.6,可得k=3,(总共10个随机数,用6个随机数表示周销量不低于100件,用4个随机数表示周销量低于100件)
这20组随机数中,表示3周恰有2周周销量不低于100件的有807,925,683,257,394,552,740,537,741,共9组,
所以估计所求概率为.
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